高數(shù)課件第八章

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)解析幾何就是利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.本章的主要內(nèi)容:數(shù)量積、向量積;向量及其線性運(yùn)算;空間的曲面及其方程;空間的平面及其方程;空間的曲線及其方程;空間的直線及其方程。1四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算2一、向量的概念既有大小,又有方向的量，稱為向量(矢量).用有向線段表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示例如向量也可用一個(gè)字母表示.例如a,b,v,F

或向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.1.向量:2.向量的表示:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量。3.自由向量:若

大小相等,方向相同,則稱

相等，4.兩個(gè)向量相等:3向量的大小叫做向量的模，記作模等于１的向量叫做單位向量，記作模等于零的向量叫做零向量，記作零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，其方向看作是任意的.兩非零向量方向相同或相反,稱兩個(gè)向量平行,記作零向量與任何向量都平行.5.向量的模:6.兩向量平行:規(guī)定：或因?yàn)槠叫邢蛄靠善揭频酵恢本€上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.49.向量的夾角:特別地，兩向量垂直記為與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面

.7.負(fù)向量:8.向量共面:.5這種方法稱為向量加法的三角形法則。二、向量的線性運(yùn)算作規(guī)定向量另外，有向量加法的平行四邊形法則。(1)交換律向量加法的運(yùn)算規(guī)律(2)結(jié)合律1.向量的加法：6

推廣：n個(gè)向量相加,做法為：將n個(gè)向量首尾相接依次作出，然后從首向量的起點(diǎn)到末向量的終點(diǎn)引一向量即為和向量.72.向量的減法：規(guī)定兩向量的差：不難證明：83.向量與數(shù)的乘法（數(shù)乘向量）特別地，⑴向量與數(shù)的乘積的規(guī)定：⑵運(yùn)算規(guī)律:(1)結(jié)合律(2)分配律顯然有記做它的模為：它的方向：9⑶定理1的充分必要條件是存在唯一的即即非零向量除以它的模等于與原向量同向的單位向量。顯然與方向相同，又由于的模為：所以與的模也相同，因此有:⑷10解求：已知例1MA11坐標(biāo)軸:x軸(橫軸)；y

軸(縱軸)；z

軸(豎軸).三、空間直角坐標(biāo)系右手系坐標(biāo)原點(diǎn)：

o1.基本概念：12zyxo空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)面:13zyxo.

空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)面:14八個(gè)卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧoMxyNz(x,y,z)M(x,y,z)點(diǎn)的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)面:150zyxoMxyNz(x,y,z)(x,y,z)

M空間直角坐標(biāo)系x橫坐標(biāo)y縱坐標(biāo)z豎坐標(biāo)16

x

軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)為

y軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)為z軸上的點(diǎn)，坐標(biāo)為原點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn),其坐標(biāo)各有一定的特點(diǎn)，例如第一卦限:

第二卦限:

第三卦限:

第四卦限:

第五卦限:第六卦限:

第七卦限:第八卦限:

17x0zyM點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于xOy面:(x,y,z)(x,y,-z)關(guān)于x軸:(x,y,z)(x,-y,-z)Qo關(guān)于原點(diǎn):(x,y,z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)空間直角坐標(biāo)系182.向量的坐標(biāo)表示:在空間直角坐標(biāo)系下,任意向量r可用向徑OM

表示.設(shè)點(diǎn)

M的坐標(biāo)則為記

坐標(biāo)軸方向的分向量,此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,沿三個(gè)19四、向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)則注當(dāng)中有一個(gè)或兩個(gè)為零，中對(duì)應(yīng)的值也為零.例如20解求例2

已知21得點(diǎn)M

的坐標(biāo)點(diǎn)M

叫做有向線段的定比分點(diǎn)。當(dāng)時(shí),點(diǎn)M是有向線段的中點(diǎn),其坐標(biāo)為22五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間距離公式:則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與230zyxoNPQM(x,y,z)d1d2d3考慮:M點(diǎn)到坐標(biāo)面的距離?M點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離?24即為等腰三角形解例3求證以三角形是一等腰三角形.三點(diǎn)為頂點(diǎn)的解解得所求的點(diǎn)為例4在z軸上求與兩點(diǎn)等距離的點(diǎn).由題意即25例5設(shè)求以向量的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.該平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度各為:

對(duì)角線的長(zhǎng)為:解為邊262.向量的方向角與方向余弦:它與三條坐標(biāo)軸的夾角：來(lái)表示它的方向。對(duì)于非零向量可以用稱為向量的方向角。叫做的方向余弦.則有27所以，任一向量的方向余弦的平方和等于1。與非零向量同方向的單位向量為：28例6

已知計(jì)算向量的模，方向余弦和方向角。解29解

角依次為求點(diǎn)A

的坐標(biāo).因點(diǎn)A

在第一卦限,故于是故點(diǎn)A

的坐標(biāo)為:向徑OA

與x

軸y軸的夾設(shè)點(diǎn)A

的坐標(biāo)為則例7

設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,30解例8

已知求方向與AB一致的單位向量313.向量在數(shù)軸u上的投影：點(diǎn)A在軸u上的投影.如圖，與軸u正向的夾角為，稱為向量在軸u上的投影，