山重水復疑無路模型指引把路找

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幾何問題變化多端，往往使人困惑難解。這時需要探索一個“支點”，運用平面幾何的相關學識作為推理過渡的“橋梁”。通過適當?shù)耐评?，從已知條件順遂過渡到待求結果。對于一般的平面幾何問題從已知或待求的有關點、線、圖的某些特殊關系啟程，只要找到或構造出相應的根本模型，問題都能順遂得到解決。下面以中點模型以及角平分線模型為例來理解上訴所說內(nèi)容。

例1，如圖，AD為△ABC的中線，BE交AC于E，

交AD于F且AE=EF.求證AC=BF

分析：拿到這道題后，條件簡樸，由AD為△ABC的中線，可以得到BD=CD,由AE=EF可以推得∠EAF=∠EFA=∠BFD,再往前走就察覺對比困難，條件分散，不能集中到一起；從圖中鮮明看出：要證的結論AC、EF兩條線段也不在一對能夠全等的三角形中。這時覺得有勁使不上，心有余而力缺乏，往往使人覺得困惑難解。這時就需要我們探索一個“支點”。已知當中有一個特殊的點――中點D，我們可以選取BD或CD所在的任意一個三角形為根基，構造出以點D為對稱中心的一對中心對稱圖形。

證明：延長AD到H，使DH＝AD，連結BH，

∵AD是△ABC的中線

∴BD＝DC

又∵∠BDH＝∠CDA，DH＝AD

∴△BDH≌△CDA

∴BH＝CA，∠H＝∠DAC

∴AE＝EF

∴∠AFE＝∠BFD

又AFE＝∠BFD

∴∠H＝∠BFD

∴BH＝BF

∴BF＝AC

小結：題中涉及單個中點，當遇到困難打不開思路時，可以選擇中點作為“支點”，利用中點的中心對稱性構造全等三角形來解答。

例2，如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD．

分析：這一題同上一題一樣，條件簡樸，好多同學面對此題一籌莫展。留心查看可以選取角平分線AD作為“支點”，以∠1或∠2所在的三角形為根基，利用角平分線的對稱性來構造全等三角形。在AB上截取AE＝AC，構造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只要證DE＝BE問題便可以解決．

證明：在AB上截取AE＝AC，連結DE

∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD

∴△AED≌△ACD

∴DE＝DC，∠AED＝∠C

∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B

∴2∠B＝∠B＋∠EDB

即∠B＝∠EDB

∴EB＝ED，即ED

∴AB＝AC＋DC

小結：當題中涉及角平分線時，可選擇角平分線作為“支點”，利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形作為過渡。

在幾何問題中的大片面問題都需要同時探索或構造幾個一致或不同的根本模型，把他們放在推理過程的適當位置，通過他們的特殊性質(zhì)與已知條件的規(guī)律傳遞才能求解。應用模型的思維方式我們可以把眾多的平面幾何問題按探索到的不同“支點”得到的根本模型舉行歸類，這樣可以取得化多為少，思路明顯自然的效果。問題的已知條件或待證結論中給出的某些點、線、圖所具有的特殊關系，是我們構造根本幾何模型的根基。模型思維方法在這里有“章”可循。在有些問題中，從不同的條件或結論入手，從不同的特殊點、線、圖啟程，可以構造同一種根本幾何模型求解而且都是可行的，也可以