概率論ppt課件 第二章 隨機(jī)變量

第二章隨機(jī)變量第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義1:上一頁下一頁返回稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).定義2:設(shè)X是一隨機(jī)變量，x為任意實數(shù)，函數(shù)上一頁下一頁返回證明：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回由概率的連續(xù)性得：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回例1：口袋里裝有3個白球2個紅球，從中任取三個球，求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù).解：設(shè)X表示取出的3個球中的白球數(shù).X的可能取值為1，2，3.由古典概率可算得上一頁下一頁返回于是，X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回例2:考慮如下試驗：在區(qū)間[0,1]上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)X,那么X是一隨機(jī)變量.根據(jù)試驗條件可以認(rèn)為X取到[0,1]上任一點(diǎn)的可能性相同，求X的分布函數(shù)。當(dāng)x<0時,解：由幾何概率的計算不難求出X的分布函數(shù)所以,上一頁下一頁返回第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布分布律常用表格形式表示：Xx1x2

…xk…pk

p1p2

…pk…

如果隨機(jī)變這種量所有的可能取值為有限個或可數(shù)無限多個，則稱隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為xk(k=1,2,…),事件發(fā)生的概率為pk,即稱為隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.上一頁下一頁返回分布律的兩條基本性質(zhì)：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回(１)確定常數(shù)a的值;(２)求Ｘ的分布函數(shù).因此,解(１)由分布律的性質(zhì)知Ｘ０１２pa上一頁下一頁返回（2）由分布函數(shù)計算公式易得Ｘ的分布函數(shù)為：上一頁下一頁返回1.兩點(diǎn)分布若在一次試驗中X只可能取x1

或x2

兩值(x1<x2),它的概率分布是則稱X服從兩點(diǎn)分布.當(dāng)規(guī)定x1=0,x2=1時,兩點(diǎn)分布稱為（0－1）分布.簡記為X~(0-1)分布.X01pk1-pp上一頁下一頁返回若離散型隨機(jī)變量X的分布律為2.二項分布(binomialdistribution)其中0<p<1,稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為X~b(n,p).上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回當(dāng)n=1時，二項分布化為：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,在n重貝努里試驗中，假設(shè)A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p，若以X表示n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),那么由二項概率公式得X的分布律為：即X服從二項分布.因此，(0－1)分布可用b(1,p)表示.即為(0－1)分布,上一頁下一頁返回例４:某交互式計算機(jī)有10個終端，這些終端被各個單位獨(dú)立使用，使用率均為0.7，求同時使用的終端不超過半數(shù)的概率.在涉及二項分布的概率計算時，直接計算很困難時，可采用近似計算.下面給出其近似公式：解:設(shè)X表示10個終端中同時使用的終端數(shù)，則X~b(10,0.7).所求的概率為上一頁下一頁返回泊松定理：設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是任意整數(shù)，設(shè)npn=λ，則對任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回定理的條件npn=λ，意味著n很大時候pn必定很小.因此,當(dāng)n很大，p很小時，有近似公式其中λ=np.

在實際計算中，當(dāng)時用（λ=np）作為的近似值效果很好.而當(dāng)時，效果更佳.

的值可查附表3.上一頁下一頁返回例5：有同類設(shè)備300臺，各臺工作狀態(tài)相互獨(dú)立.已知每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺設(shè)備發(fā)生故障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時修理的概率小于0.01？解：設(shè)X表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)，依題意知X~b(300,0.01).若配備N位維修人員，所需解決的問題是確定最小的N，使得P{X>N}<0.01,(λ=np=3).上一頁下一頁返回查附表3可知，滿足上式最小的N是8.至少需配備8個工人才能滿足要求.

上一頁下一頁返回3.泊松(Poisson)分布上式給出的概率滿足：pk=P{X=k}

0,且設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2…,而取各值的概率為其中λ>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~P().上一頁下一頁返回

下列大量實驗中稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的概率近似服從Pisson分布：大量產(chǎn)品中抽樣檢查時得到的不合格品數(shù)。一集團(tuán)中員工生日是元旦的人數(shù)。書的一頁中印刷錯誤出現(xiàn)的數(shù)目。數(shù)字通信中傳輸數(shù)字時發(fā)生誤碼的個數(shù)。

例6:由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述.為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？上一頁下一頁返回

小結(jié)：隨機(jī)變量分為：離散型的、連續(xù)型的。離散型：隨機(jī)變量的可能取值及其相應(yīng)的概率能被逐個列出。連續(xù)型：隨機(jī)變量的可能取值連續(xù)地充滿某

個區(qū)間甚至整個數(shù)軸。

連續(xù)型隨機(jī)變量取某個特定值的概率總是0，即討論連續(xù)型隨機(jī)變量在某點(diǎn)的概率毫無意義。第三節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量及其分布（4）若x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則有概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：定義3:

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x).若存在非負(fù)函數(shù)f(t)使得對于任意實數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(t)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或分布密度.上一頁下一頁返回由性質(zhì)（2）知：介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1（見圖1）.由性質(zhì)（3）知：X落在區(qū)間（x1,x2）的概率等于區(qū)間（x1,x2）上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積（見圖2）.由性質(zhì)（4）知：若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，求導(dǎo)得概率密度f(x).圖１圖２上一頁下一頁返回(1)若X為具有概率密度f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量。則有如果x0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有f(x)在x0處的函數(shù)值f(x0)反映了概率在x0點(diǎn)處的“密集程度”，而不表示X在x0處的概率。

設(shè)想一條極細(xì)的無窮長的金屬桿，總質(zhì)量為1，概率密度相當(dāng)于各點(diǎn)的質(zhì)量密度.兩點(diǎn)說明：（2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，由定義知X的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。X取一個點(diǎn)a的概率為零，事實上在計算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，即有事件{X=a}并非不可能事件.概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件不一定是必然事件.

上一頁下一頁返回求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F(x).（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2.

例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回例2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回試求：(1).系數(shù)A;(2).X落在區(qū)間(0.3，0.7)內(nèi)的概率；(3).X的密度函數(shù)。上一頁下一頁返回則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b).1.均勻分布（uniformdistribution）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為X的分布函數(shù)為：上一頁下一頁返回均勻分布概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)的圖形為上一頁下一頁返回解：設(shè)乘客于7:00過X分鐘到達(dá)車站，由于X在[0,30]上服從均勻分布，即有例3：設(shè)某公共汽車站從上午7:00開始，每15分鐘來一輛車，如某乘客到達(dá)站的時間是7:00-7:30之間的均勻分布的隨機(jī)變量，試求乘客等車少于5分鐘的概率。上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X~E().2.指數(shù)分布(Expanentialdistribution)X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回指數(shù)分布的密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)可用圖形表示上一頁下一頁返回

下面利用證明3.正態(tài)分布(Normaldistribution)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為X~N(,2).上一頁下一頁返回X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回（1）最大值在x=μ處，最大值為;（3）曲線y=f(x)在處有拐點(diǎn)；正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的幾何特征：（2）曲線y=f(x)關(guān)于直線x=μ對稱.于是對于任意h>0，有;（4）當(dāng)時，曲線y=f(x)以x軸為漸近線.

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(5)當(dāng)固定，改變的值，y=f(x)的圖形沿Ox軸平移而不改變形狀，故又稱為位置參數(shù).若固定，改變的值，y=f(x)的圖形的形狀隨的增大而變得平坦,越小，X落在附近的概率越大.上一頁下一頁返回參數(shù)=0，=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(0,1).其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用和表示，即和的圖形如圖所示。上一頁下一頁返回由正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性易知一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)F(x)可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表達(dá)。若X~,X的分布函數(shù)F(x)為寫不出的解析表達(dá)式，人們已編制了它的函數(shù)表附表2，可供查用。上一頁下一頁返回因此，對于任意的實數(shù)a,b(a<b)，有上一頁下一頁返回例5：設(shè)X~N(0,1)，求P{1<X<2}，P{}.上一頁下一頁返回例6：某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時即可.現(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802).問應(yīng)選擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時，又如何？上一頁下一頁返回比較兩個概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品.

解：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和Y，則X~N(1100,502)，Y~N(1150,802).(1)依題意要比較概率的大小,兩個概率如下：上一頁下一頁返回比較兩個概率的大小就知應(yīng)選乙廠的產(chǎn)品.

(2)依題意要比較概率的大小,兩個概率如下：上一頁下一頁返回第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)Y=g(X),那么Y也是離散型隨機(jī)變量。設(shè)y=g(x)為一個通常的連續(xù)函數(shù)，X為定義在概率空間上的隨機(jī)變量，令Y=g(X)，那么Y也是一個定義在概率空間上的隨機(jī)變量。上一頁下一頁返回(2)Y=-2X2分布律為Y-18-8-20P0.30.30.30.1例1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-10123P0.20.10.10.30.3求：（1）Y=X-1；(2)Y=-2X2的分布律。

P0.20.10.10.30.3X-10123X-1-2-1012-2X2-20-2-8-18解：由X的分布律可得由上表易得Y的分布律（1）Y=X-1的分布律為Y-2-1012P0.20.10.10.30.3上一頁下一頁返回1).逐點(diǎn)法：對此類問題，先由X的取值xk，（k=1，2…）求出Y=g(X)的取值yk=g（xk），（k=1，2…）；本例1(2)中，X的兩個取值-1和1都對應(yīng)Y的一個值-2，這樣,

P{Y=-2}=P{X=-1或X=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.1=03.如果諸yk各不相同，則由X的分布律

P{X=xk}=pk,k=1，2…，可得y的分布律：P{Y=yk}=pk,k=1，2…。如諸yk中有些值相同，則應(yīng)把相同的值合并并將對應(yīng)的概率加在一起。上一頁下一頁返回

2).分布函數(shù)法：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度fX(x)。又Y=g(X)，在大部分情況下Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量。為了求出Y的概率密度fY(y)，可以先求出Y的分布函數(shù)FY(y):由FY(y)可求出Y的概率密度fY(y)=F’Y(y)。計算的關(guān)鍵是給出上式的積分區(qū)間。即將事件轉(zhuǎn)化為用X表示的事件。其中。這種方法稱之為分布函數(shù)法。上一頁下一頁返回例2:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度求Y=2X+1的概率密度fY(y)。解:先求出Y的分布函數(shù)FY(y)

：從而,Y的概率密度為