《電路理論基礎》學習指導李曉濱第3章課件

第3章線性電阻電路的一般分析法

3.1內(nèi)容提要3.2重點、難點3.3典型例題3.4習題解答3.1內(nèi)容提要1.KCL、KVL方程的獨立性圖：點與線的集合。電路的圖：每一支路用一“線段”表示，每一節(jié)點用一“點”表示。回路：一個路徑的起點和終點為同一點。平面電路：若一個電路可畫在一個平面上，且在非節(jié)點處不相交，則稱之為平面電路，否則為非平面電路。網(wǎng)孔：內(nèi)部不含其他支路的回路。KCL方程的獨立性：若電路有n個節(jié)點，則有n-1個獨立的KCL方程。獨立KCL方程對應的節(jié)點稱為獨立節(jié)點。KVL方程的獨立性:若電路有n個節(jié)點，b條支路，則有L＝b-n+1個獨立KVL方程。與獨立KVL方程對應的回路稱為獨立回路。

4.網(wǎng)孔分析法和回路分析法沿網(wǎng)孔連續(xù)流動的假想電流稱為網(wǎng)孔電流。以網(wǎng)孔電流為變量列方程求解電路的方法稱為網(wǎng)孔分析法。以L個獨立回路電流為變量列方程求解電路的方法稱為回路分析法。3.2重點、難點1.支路電流法(1)標好支路電流參考方向；(2)選擇n-1個獨立節(jié)點列KCL方程；(3)選擇b-n+1個獨立回路列KVL方程，方程中的電阻、電壓用支路電流表示。獨立KVL回路的選擇有三種方法。方法一：每選一個回路，讓該回路包含新的支路，選滿L個為止。方法二：對平面電路，L個網(wǎng)孔是一組獨立回路。方法三：選定一棵樹，每一連支與若干樹支可構成一個回路，稱為基本回路(單連支回路)。L條連支對應的L個基本回路是獨立的。

2.節(jié)點分析法若電路的節(jié)點數(shù)為n，則獨立的節(jié)點數(shù)為n-1。只含電阻和電流源的電路的節(jié)點方程為3.網(wǎng)孔分析法若電路的網(wǎng)孔數(shù)為l，則只含電阻和電流源的電路的網(wǎng)孔方程為含電流源、受控源電路網(wǎng)孔電流方程的列寫：(1)當電路中含有理想電流源時，盡可能使電流源的電流成為網(wǎng)孔電流，這樣，網(wǎng)孔電流就成為已知量，可以不用列該網(wǎng)孔的網(wǎng)孔方程；(2)當電流源的電流不能成為網(wǎng)孔電流時，設該電流源的兩端電壓為u，再列一個該電流源支路的補充方程。(3)當電路中含有受控源時，將受控源當作獨立源用上述(1)、(2)同樣的方法列方程，然后列一個有關控制量的補充方程。3.3典型例題【例3-1】圖3-1所示電路中，已知R1=R2=10，R3=R5=10,R6=4，us3=20V，us6=40V，用支路電流法求解電流i5。圖3-1圖3-2【解題指南與點評】支路電流法以六條支路電流為基本變量，列出六個獨立的KCL和KVL方程。六個變量，六個獨立方程，因此可以求解?！纠?-2】試用網(wǎng)孔電流法求解圖3-3所示電路中的電流。圖3-3【解題指南與點評】一般電路的網(wǎng)孔數(shù)遠小于支路數(shù)，所以為了簡化計算，用網(wǎng)孔電流法，選網(wǎng)孔電流作為變量，列回路獨立的KVL方程求解。網(wǎng)孔電流是在一個網(wǎng)孔上連續(xù)流動的假想電流，而支路電流是流經(jīng)某一支路的實際電流，所以支路電流可以通過流經(jīng)它的網(wǎng)孔電流的疊加而得。本題中只有一個網(wǎng)孔電流im2流經(jīng)R5支路，所以i5=im2。例3-3用回路電流求解圖3-1所示電路中的電流i5。解取回路電流il1、il2、il3，如圖3-4所示。列各回路的KVL方程：代入已知量，得

求解可得

由此可得支路電流為i5=il2=-0.956A【解題指南與點評】一般電路的獨立回路數(shù)小于支路數(shù)，采用回路電流法可以簡化計算。回路電流法以回路電流作為變量，列獨立回路的KVL方程求解?；芈冯娏魇窃谝粋€回路上連續(xù)流動的假想電流，而支路電流是流經(jīng)某一支路的實際電流，所以支路電流可以通過流經(jīng)它的回路電流的疊加而得。本題中只有一個電流il3流經(jīng)R5支路，則有i5=il3。對于平面電路圖，按自然網(wǎng)孔取回路電流，可以取到全部的獨立回路電流，所以本題的回路電流法方程與上題的網(wǎng)孔電流法所有方程完全相似。當電路中僅含電阻與電壓源時，運用電阻的概念列寫回路電流方程很有規(guī)律，是一種常規(guī)的分析方法。【例3-4】用回路電流法求解圖3-5所示電路中的電壓U0。圖3-5解注意當電路中含理想電流源支路時，可以取一個回路經(jīng)過該電流源，如圖3-5所示，取Il3=3A。如圖3-5所示，設回路電流為Il1、Il2、Il3，列各回路的KVL方程：

解方程得Il1=8A，Il2=6A，Il3=3A所以支路電壓U0為U0=(Il1-Il2)×40=80V圖3-6解取回路電流Il1、Il2、Il3，如圖3-6所示。列寫各回路的KVL方程： Il2=0.1I(附加方程)解方程得Il1=-5AIl2=0.5AIl3=-43.75A則支路電壓U=276.25V。圖3-7(2)同理，在圖3-7(b)中標明節(jié)點電壓，則節(jié)點電壓方程為 (補充的約束關系)【解題指南與點評】(1)圖3-7(a)所示電路中只含有電導和電流源，可以直接套用節(jié)點電壓方程的一般形式；(2)在圖3-7(b)中有電流源is1與電阻R1串聯(lián)支路，R1對其他支路的電壓、電流不起作用，該元件稱為“虛元件”，不能列入節(jié)點電壓方程內(nèi);(3)圖3-7(b)中因含有受控源，需補充控制量與節(jié)點電壓之間的附加方程?！纠?-7】列出圖3-8所示電路的節(jié)點電壓方程。解按圖3-8所示標明各節(jié)點電壓，則節(jié)點電壓方程為整理可得圖3-8【解題指南與點評】應先把電壓源與電阻串聯(lián)支路等效變換為電流源與電導并聯(lián)支路，然后套用節(jié)點電壓方程的一般形式?！纠?-8】列出圖3-9所示電路的節(jié)點電壓方程，并求出兩個獨立電流源發(fā)出的功率。圖3-9解列寫各節(jié)點的節(jié)點電壓方程如下：

解上述方程得un1=-1.2V，un2=0.8V因此，2A電流源發(fā)出功率為p發(fā)出=2×(un1+2×2-un2)=4W(實際發(fā)出4W)6A電流源發(fā)出功率為p發(fā)出=6×(un2-un3)=-8.4W(實際吸收8.4W)【解題指南與點評】在本題中，應注意兩點：(1)與2A電流源串聯(lián)的2Ω電阻是“虛元件”，不能出現(xiàn)在節(jié)點電壓方程中；(2)題意指明求兩個獨立電流源的發(fā)出功率，所以最好取電流源兩端的電壓參考方向與電流的參考方向非關聯(lián)，這樣可給計算帶來方便。計算結果為負，表明該電流源實際是吸收功率；若結果為正，表明實際是發(fā)出功率。2.2V的獨立源一端接在參考節(jié)點，另一端接在節(jié)點③上，則un3=2.2V?！纠?-9】假設要實現(xiàn)圖3-10所示電路的輸出u0為：-u0=3u1+0.2u2，并已知R3=10kΩ，求R1和R2。圖3-10解在圖3-10所示電路中標上節(jié)點電壓un1、un2及支路電流i1、i2、i3。根據(jù)理想運放的兩條規(guī)則：un1=un2=0(虛短)，i1+i2=i3(虛斷)，可列出方程:即題目給定的已知條件為-u0=3u1+0.2u2比較上兩式的系數(shù)，可得

【解題指南與點評】分析含有理想運算放大器的電阻電路，一定會用到理想運放的兩個規(guī)則：“虛短”與“虛斷”；而其他獨立方程的列寫方法與電阻電路的分析方法一樣?！纠?-10】圖3-11所示電路起著減法器的作用，求輸出電壓u0與輸入電壓u1、u2之間的關系。

圖3-11解令同相端的電壓為u+，反相端的電壓為u－，如圖3-11所示。應用理想運放兩條規(guī)則：虛斷i－=i+=0；虛短u－=u+，則列節(jié)點電壓方程如下：

【解題指南與點評】分析計算含有理想運算放大器的電阻電路時，應把“虛斷”、“虛短”概念巧妙地運用到節(jié)點電壓方程與回路電流方程等直流電流的分析方法中去。從輸出電壓u0與輸入電壓u1、u2之間關系式可知，該電路起著減法器的作用?！纠?-11】含有運放的電阻電路如圖3-12所示，試求：(1)Rin=∞，A≠∞；(2)Rin=∞，A=∞(理想運放)兩種情況下的開路電壓u0，從電壓源us兩端看進去的輸入電阻Ri及輸出電阻Rout。圖3-12解(1)Rin=∞，A≠∞，為非理想運放。①求開路電壓u0。因為Rin=∞，所以i－=0，i+=0，i1=i2，在圖3-13中的1-2-4-1回路應用KVL，得可得(1)圖3-13在回路1-3-4-2-1中應用KVL，得(2)聯(lián)立式(1)、式(2)可得(3)②求輸入電阻Ri。將式(3)代入式(1)可得

于是有③求輸出電阻Rout。把獨立源置零，在輸出端口加電流源(注意，只能加電流源，理由請看分析結果)后的電路如圖3-14所示。對回路3-4-2-1-3應用KVL：(4)對節(jié)點1應用KCL，得i1=i2，i－=0(5)對回路1-2-4-1應用KVL，得-ud+R1i1=0i+=0(6)聯(lián)立式(4)、(5)、(6)，可得

在的情況下，有u0=0，由此可得輸出電阻為

上述結果就是輸出口加電流源is的原因。圖3-14(2)Rin=∞，A=∞(理想運放)時。①求開路電壓u0。因為Rin=∞，所以i－=0，i+=0，i1=i2(虛斷)。又因為A=∞，ud=0，u2=u1(虛短)，由此可得u0=-R2i2，us=R1i1于是

式中的“-”號表示u0與us反相，且u0與us成正比例，因此稱圖3-13為反相輸入比例器電路。②求輸入電阻Rin。由us=R1i1，可得Rin=us/is=0③求輸出電阻Rout。由圖3-14可得u0=-R2i2=-R2i1，在回路1-2-4-1中，i1=0，所以u0=0。由此可得輸出電阻為Rout=u0/is=0?！窘忸}指南與點評】本題的第(1)小題是非理想運算放大器應用于電路中的情況，利用Rin=∞這一條件可以推導出i－=0，i+=0，即“虛斷”同樣適用；由于A≠∞，因此不能利用“虛短”，輸入與輸出之間關系式必須利用u0=Aud求解。本題的第(2)小題是理想運算放大器的電阻電路分析。通過理想與非理想運放的具體應用分析，有助于提高讀者的分析能力。【例3-12】含有理想運放的電阻電路如圖3-15所示，試求u0與us的關系式。

圖3-15解應用理想運放的虛斷概念，則i－=0，i+=0，i1=iC；應用理想運放的虛短概念，節(jié)點①與節(jié)點②的電壓相等，即

un1=un2=0，u0=-uC式中

又因為，所以

對于初始儲能為零的電容，uC(0－)=0，由此可得

即響應u0是激勵us的積分。這表明圖示電路能實現(xiàn)積分運算。式中“-”號是反相輸入的?！窘忸}指南與點評】由于電容C的存在，由uC與iC之間的積分關系，建立起響應u0與激勵us的積分關系，從而實現(xiàn)反相輸入積分器功能。3.4習題解答3-1用支路法求圖3-16電路中的電流iR。解選節(jié)點1為獨立節(jié)點，網(wǎng)孔為獨立回路，設i1，i2是兩個支路電流，回路的繞行方向如圖中所示。節(jié)點1的KCL方程為i1=i2+iR(1)網(wǎng)孔2的KVL方程為40i2+80－10iR=0(2)對于網(wǎng)孔1，有i1=－2A(3)(1)、(2)、(3)聯(lián)立解得iR=0圖3-163-2用支路法求圖3-17電路中的電流i。

圖3-17解選節(jié)點1為獨立節(jié)點，網(wǎng)孔為獨立回路，網(wǎng)孔的繞行方向如圖中所示。節(jié)點1的KCL方程為i1+i=i2(1)網(wǎng)孔1的KVL方程為10i1-5i1-5=0(2)網(wǎng)孔2的KVL方程為10i-5i1-25=0(3)(1)、(2)、(3)聯(lián)立得i1=1A，i=3A，i2=4A3-3用支路電流法計算圖3-18電路中的支路電流i1、i2和i3。圖3-18解選節(jié)點1為獨立節(jié)點，網(wǎng)孔為獨立回路，網(wǎng)孔的繞行方向如圖中所示。節(jié)點1的KCL方程為i1=i2+i3(1)網(wǎng)孔1的KVL方程為3i1+45i2+2i1=40(2)網(wǎng)孔2的KVL方程為4i3+1.5i3-45i2=64(3)(1)、(2)、(3)聯(lián)立求解，得i1=9.8A，i2=-0.2A，i3=10A3-4用節(jié)點分析法求圖3-19所示電路中的u1和u2。圖3-19解選節(jié)點3為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為(1)(2)(1)、(2)聯(lián)立得解得3-5用節(jié)點分析法求圖3-20所示電路中的i1和i2。圖3-20解先將原電路等效為如圖3-21所示。選節(jié)點2為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為(1)解得un1=18V，則圖3-213-6用節(jié)點分析法求圖3-22所示電路中的u1、u2和u3。圖3-22解選節(jié)點1為參考節(jié)點，則un3=u3，un2=u2，u1=u3-u2列出節(jié)點方程為化簡得解得u2=-4V，u3=20V，u1=24V3-7圖3-23所示電路中，如果元件x是一個上端為正極的4V獨立電壓源，用節(jié)點分析法求電壓u。圖3-23解選節(jié)點4為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為un1=4V(1)(2)(3)un3-un1=24V(4)因為要求u，而u=un3-un2，所以只需求出un3、un2即可。式(1)、(2)、(3)、(4)聯(lián)立，可解得un1=4V，un3=28V，un2=8V從而 u=20V3-8在上題圖中，如果元件x是一個上端為正極等于5i的受控電壓源，求u。解若x為5i的受控電壓源，仍選節(jié)點4為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為un1=5i(1)(2)(3)un3-un1=24(4)輔助方程為(5)式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)聯(lián)立解得un1=40Vun2=32Vun3=24+un1=64Vu=un3-un2=64-32=32V3-9用節(jié)點分析法求圖3-24所示電路中的i。圖3-24解選節(jié)點3為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為(1)(2)輔助方程為(3)(4)式(1)、(2)、(3)、(4)聯(lián)立解得un1=14V，un2=32V，i=8A3-10用節(jié)點分析法求圖3-25所示電路中的u和i。圖3-25解原電路等效為如圖3-26所示的電路。選節(jié)點3為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為(1)(2)輔助方程為un2-un1=8V(3)式(1)、(2)、(3)聯(lián)立解得un1=2V，un2=10V所以

圖3-263-11用節(jié)點分析法求圖3-27所示電路中的uo。圖3-27解選節(jié)點4為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為un1=50V(1)(2)(3)輔助方程為un3-un2=-0.2u1(4)u1=un1-un2(5)式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)聯(lián)立解得un2=30V，un1=50V，un3=26V所以 uo=un3=26V3-12電路如圖3-28所示，(1)用節(jié)點分析法求獨立源產(chǎn)生的功率；(2)通過計算其他元件吸收的總功率檢驗(1)中的結果。圖3-28解(1)原電路等效為如圖3-29所示電路。選節(jié)點3作為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程如下：(1)(2)輔助方程為(3)圖3-29式(1)、(2)、(3)聯(lián)立得解得因而，5A電流源產(chǎn)生功率為(2)其他元件吸收功率3-13用節(jié)點分析法計算圖3-30所示電路中的uo值。圖3-30解選節(jié)點4為參考節(jié)點，列出節(jié)點方程為un1=4(1)(2)(3)輔助方程為ux=un3-un1(4)式(1)、(2)、(3)、(4)聯(lián)立，整理得解得 un2=1.5V，un3=9V所以 uo=1.5V3-14用網(wǎng)孔分析法或回路分析法求出圖3-31所示電路中的ig。圖3-31解選定兩個網(wǎng)孔的電流方向都為順時針，列出網(wǎng)孔方程為(2+6+4)im1-(6+4)im2=125(1)-(6+4)im1+(6+4+13+12+15)im2=0(2)解得im1=12.5A，im2=2.5A所以 ig=im1=12.5A3-15用網(wǎng)孔分析法或回路分析法求圖3-32所示電路中4Ω電阻上消耗的功率。圖3-32解三個網(wǎng)孔電流如圖中所示，列出網(wǎng)孔方程如下：(1)2im2-2im3=u1(2)-4im1-2im2+(4+2+20)im3=0(3)輔助方程為im2-im1=7(4)u1=(im2-im3)×2(5)式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)聯(lián)立得解得im1=2A，im2=9A，im3=1A所以4Ω電阻消耗的功率為(im1-im3)2×4=4W3-16用回路法求圖3-33中的電流iR。圖3-33解選擇如圖中所示三個回路電流，列出回路方程：(1)(2)(3)式(1)、(2)、(3)聯(lián)立得(4)(5)(6)整理得

解得從而3-17圖3-34所示電路：(1)R=4Ω；(2)R=12Ω，用網(wǎng)孔法分別求兩種情況時的i1和u。圖3-34解網(wǎng)孔電流如圖中所示，列出網(wǎng)孔方程如下：4im1=-3+3i1(1)Rim2=3-9(2)i1=im1-im2(3)當R=4Ω時，解得im1=1.5A，im2=-1.5A，i1=3A，u=4im1=6V當R=12Ω時，解得im1=-1.5A，im2=-0.5A，i1=-1A，u=im1×4=-6V3-18用網(wǎng)孔法求出圖3-35所示電路中產(chǎn)生功率的元件，并求所產(chǎn)生的總功率。圖3-35解網(wǎng)孔電流如圖中所示，列出網(wǎng)孔方程為im1(17.5+2.5+5)-5im2-2.5im3=0(1)-5im1+(5+7.5)im2-7.5im3=125-50(2)im3=0.2u1(3)輔助方程為u1=(im2-im1)×5(4)式(1)、(2)、(3)、(4)聯(lián)立得解得im1=3.6A，im2=13.2A，im3=9.6A可見，125V電壓源是產(chǎn)生功率元件，產(chǎn)生功率為125×im2=1650W

3-19用網(wǎng)孔法求圖3-36所示電路中受控電壓源產(chǎn)生的功率。圖3-36解網(wǎng)孔電流如圖中所示，列出網(wǎng)孔方程為輔助方程為u1=(im1-im2)×100整理得解得im1=1.2A，im2=2A，im3=7A