剛體力學(xué)課件

（上）

電子課件經(jīng)典力學(xué)（上）第四章剛體力學(xué)4.1剛體的運(yùn)動(dòng)剛體

各質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)元）之間距離均保持不變的質(zhì)點(diǎn)系，或整體及各部分的形狀、大小均保持不變的物體一、剛體自由度

描述一個(gè)力學(xué)體系在空間的幾何位置所需要的獨(dú)立變量數(shù)二、剛體的自由度受到約束的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度會(huì)降低。N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，并有k個(gè)約束，描寫該質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的自由度為：S=3N－k距離保持不變的二質(zhì)點(diǎn)系，在直角坐標(biāo)系下，兩質(zhì)點(diǎn)的位矢為約束條件為該二質(zhì)點(diǎn)系的自由度為：S＝3×2－1＝5三、剛體運(yùn)動(dòng)的幾種形式平動(dòng)

在剛體上選任意兩點(diǎn)連一條直線，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，該條直線的方位保持不變（與最初始的方位保持平行）運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全一樣自由度

S＝3可將作平動(dòng)的剛體視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)研究，常將質(zhì)心作為代表點(diǎn)彼此距離保持不變，且不共線三個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。其自由度為：S＝3×3－3＝6剛體的自由度自由剛體的自由度S=6平面平行運(yùn)動(dòng)

在剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上每一點(diǎn)都在與某固定平面相平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)為稱平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

剛體內(nèi)任一與固定平面相垂直的直線上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全一樣在研究作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體時(shí)，只需考察剛體上與固定平面相平行的任一剖面即可自由度

S＝3定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

在剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在空間總存在固定點(diǎn)，其位置保持不變，剛體繞著該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)為稱定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，在任一瞬時(shí)總可視為是繞過(guò)固定點(diǎn)的瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。（瞬時(shí)軸的方位在變化）自由度S＝3一般運(yùn)動(dòng)（自由剛體）

剛體不受任何約束的運(yùn)動(dòng)?？梢暈閯傮w隨某基點(diǎn)（通常是質(zhì)心）的平動(dòng)與剛體繞基點(diǎn)作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。自由度S＝3＋3＝6角速度

角速度定義為（弧度/秒）大小方向

轉(zhuǎn)動(dòng)平面的正法向（逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）角加速度

（弧度/秒2）角量與線量的比較角量

線量

線量與角量的關(guān)系

線速度與角速度的關(guān)系速度加速度二、轉(zhuǎn)動(dòng)定理作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量OωαiO’z在轉(zhuǎn)軸上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，剛體上任一小質(zhì)元Δm，其位矢，線速度，相對(duì)于O的角動(dòng)量為即有總角動(dòng)量在直角坐標(biāo)系中的描述當(dāng)轉(zhuǎn)軸為剛體的對(duì)稱軸時(shí)，J與ω方向平行。在軸對(duì)稱位置的任意兩質(zhì)元Δmi和Δmj，總有令I(lǐng)稱為剛體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則剛體相對(duì)于固定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量具有的形式轉(zhuǎn)動(dòng)定理?yè)?jù)質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量定理（方向與軸向垂直）令（軸向）說(shuō)明剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通常受到力矩的作用當(dāng)轉(zhuǎn)軸為剛體的對(duì)稱軸時(shí)，

稱為轉(zhuǎn)動(dòng)定理當(dāng)ω為常量時(shí)，剛體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)圓柱圓筒圓球細(xì)棒球殼回轉(zhuǎn)半徑圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量總可以寫成如圓筒圓球細(xì)棒球殼k

稱為回轉(zhuǎn)半徑外力矩作元功：外力矩作總功：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理4.3剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)一、基點(diǎn)法處理平面平行運(yùn)動(dòng)

平面平行運(yùn)動(dòng)＝剛體隨基點(diǎn)的平動(dòng)＋剛體繞過(guò)基點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)說(shuō)明基點(diǎn)可以任意選擇角速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)通常將質(zhì)心作為基點(diǎn)OPAABCDABCDA’B’D’B”D”Δφ1Δφ2C”Δφ1＝Δφ2幾何證明ω與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，通常將質(zhì)心選作基點(diǎn)證明：O為固定參考點(diǎn)，P為剛體上任一點(diǎn)，考察P點(diǎn)的速度PABO以A為基點(diǎn)以B為基點(diǎn)以A為基點(diǎn)，考察B點(diǎn)的速度將（3）式代入（2）式得即或而即所以二、剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程質(zhì)心（基點(diǎn)）的平動(dòng)剛體繞過(guò)質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)的能量動(dòng)能重力勢(shì)能在任何瞬時(shí)，作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體上（或其延伸體）總有一點(diǎn)P，其速度vP＝0，該P(yáng)點(diǎn)稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，

簡(jiǎn)稱瞬心。在此瞬間，剛體繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)意義剛體剖面點(diǎn)上所有點(diǎn)在瞬時(shí)都繞瞬心作轉(zhuǎn)動(dòng)。經(jīng)無(wú)限多次繞一系列的瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)了平面平行運(yùn)動(dòng)剛體在作平面平行運(yùn)動(dòng)中過(guò)程中，通常瞬心在空間運(yùn)動(dòng)，若瞬心不隨剛體的運(yùn)動(dòng)而變化，則該瞬心為定軸四、瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心如何確定瞬心幾何法計(jì)算法 若已知?jiǎng)傮w上一點(diǎn)A的位矢、速度和角速度，則瞬心的位矢為例一半徑為r的小球在半徑為R的半球形碗的內(nèi)壁作無(wú)滑滾動(dòng)，以φ代表極角，試導(dǎo)出與角速度ω的關(guān)系式。ROCPφ【解】c為小球的質(zhì)心，小球任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可分解為球整體隨c的平動(dòng)和該點(diǎn)相對(duì)于c的轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)樾∏蜃鳠o(wú)滑滾動(dòng)，所以球與碗的接觸點(diǎn)P即是瞬心。應(yīng)滿足其數(shù)值關(guān)系為應(yīng)為c點(diǎn)繞碗心o作圓周運(yùn)動(dòng)，故有代入上式得五.慣量張量xyzωoαβγ在o－xyz坐標(biāo)系下五.慣量張量由得代入1.動(dòng)量矩可得即令顯然有則其中Ixx、Iyy、Izz分別是剛體相對(duì)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ixy、Iyx、Ixz、Izx、Iyz、Izy是交叉項(xiàng)，稱作慣量積。若是連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)組，應(yīng)該是積分角動(dòng)量的矩陣形式以上，Ixx、Ixy、…、Izz等9個(gè)量組成了一個(gè)張量，稱為慣性張量。當(dāng)z軸與轉(zhuǎn)軸重合時(shí)，ωx＝ωy＝0。角動(dòng)量矩陣簡(jiǎn)化為即2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即代入可得而對(duì)比上兩式，可得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

的表達(dá)式又因?yàn)榇肷鲜娇傻萌魧osα，cosβ，cosγ分別記為α，β和γI的矩陣形式為對(duì)于具有幾何對(duì)稱性的勻質(zhì)剛體，若選擇其對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，則可消除掉交叉項(xiàng)Iij。例如z軸是剛體的幾何對(duì)稱軸，則剛體上任意一點(diǎn)（xi，yi，zi），總存在一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)（xj，yj，zj），并有xi＝－xj，yi＝－yj，zi＝zj

使得慣量積為0時(shí)，J、I、Ek的劃簡(jiǎn)形式

①角動(dòng)量②轉(zhuǎn)動(dòng)慣量③動(dòng)能矩陣形式①角動(dòng)量②轉(zhuǎn)動(dòng)慣量③動(dòng)能例一個(gè)質(zhì)量為m，半徑是R的圓盤繞過(guò)其盤中心的豎直軸以勻角速ω旋轉(zhuǎn)，盤面的法線與豎直軸的夾角為α。求（1）圓盤相對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）設(shè)支撐軸承A、B距盤心O的距離為L(zhǎng)，求A、B處附加壓力。LLyxzαABωROαωωzωxzxαJJzJxJ1xzJ2以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，z軸沿盤面的法線方向，建立O－xyz坐標(biāo)系，z軸、x軸和轉(zhuǎn)軸在一個(gè)平面內(nèi)則而則有本題可以這樣考慮，將Jx和Jz分別向轉(zhuǎn)軸方向投影并求和，得到J的轉(zhuǎn)軸分量為J1而得到求附加壓力角動(dòng)量J的大小不變，方向改變，它隨剛體繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，所以J是一個(gè)變量。αJJzJxJ1xzJ2J2(t)J2(t+△t)△φΔJ2＝J2ΔφτJ的變化是由于J的與軸垂直的分量J2變化所致。J2繞轉(zhuǎn)軸以ω的角速度旋轉(zhuǎn)。J2的大小不變，但方向變化。陀螺、又稱為回轉(zhuǎn)儀具有大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)稱軸，并繞該對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的剛體稱為回轉(zhuǎn)儀，或稱陀螺4.4回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（陀螺的運(yùn)動(dòng)）ωΩmgO玩具陀螺θ常平架陀螺儀杠桿回轉(zhuǎn)儀無(wú)外力矩作用時(shí)，自轉(zhuǎn)軸方向不變?nèi)敉勇?、軸及重物系統(tǒng)的重心C偏離Z軸一距離l，導(dǎo)致有重力矩τ，杠桿仍保持水平，并按逆時(shí)針?lè)较蚶@豎直軸（Z軸）緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)。一、杠桿陀螺的進(jìn)動(dòng)回轉(zhuǎn)儀在繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，自轉(zhuǎn)軸還將繞某豎直軸回轉(zhuǎn)的現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)杠桿回轉(zhuǎn)儀運(yùn)動(dòng)特性APZmgωlOZXO進(jìn)動(dòng)角速度Ω而可得矢量形式二、玩具陀螺的進(jìn)動(dòng)ωΩmgOθlcO進(jìn)動(dòng)角速度Ω矢量形式陀螺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)當(dāng)對(duì)著旋轉(zhuǎn)著的有一點(diǎn)固定的陀螺施加外力時(shí)，它不順著外力方向傾斜，而向著與外力垂直的方向即力矩方向傾斜；在外力矩作用下，陀螺并不產(chǎn)生與力矩成正比的角加速度，而是產(chǎn)生與力矩成正比的進(jìn)動(dòng)角速度?？紤]陀螺進(jìn)動(dòng)所產(chǎn)生的附加角動(dòng)量陀螺進(jìn)動(dòng)所產(chǎn)生的附加角動(dòng)量它使總角動(dòng)量的方向略有上翹若陀螺在初始時(shí)刻的角動(dòng)量沿水平方向，然后由靜止釋放，在穩(wěn)定進(jìn)動(dòng)時(shí)，陀螺的頭略向下傾斜，使總的角動(dòng)量仍沿水平方向?；剞D(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用自動(dòng)導(dǎo)航槍管炮筒中的來(lái)復(fù)線例

在長(zhǎng)為l的軸的一端，裝上回轉(zhuǎn)儀的輪子，軸