《數(shù)學(xué)分析（第4版）》21-1二重積分概念

一、平面圖形的面積二、二重積分的定義及其存

在性三、二重積分的性質(zhì)二重積分是定積分在平面上的推廣,不同之處在于:定積分定義在區(qū)間上,區(qū)間的長度容易計算,而二重積分定義在平面區(qū)域上,其面積的計算要復(fù)雜得多.§1二重積分概念數(shù)學(xué)分析

第二十一章重積分*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容我們首先定義平面圖形的面積.如果存在一矩形R,設(shè)P是一平面有界圖形,用平行于二坐標(biāo)軸的某一組直線網(wǎng)T分割這個圖形(圖21-1),的網(wǎng)眼(小閉矩形)可分為三類:(i)上的點(diǎn)都是P的內(nèi)點(diǎn);(ii)上的點(diǎn)都是P的外點(diǎn),即§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)平面圖形的面積(iii)

上含有P的邊界點(diǎn).我們稱平面圖形P是有界的,

使得這時直線網(wǎng)T將所有屬于第(i)類小矩形(圖21-1中紫色部分)的面積加起來,里表示包含P的那個矩形R的面積);面積加起來(圖21-1中除青色部分),則有則有(這§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)將所有第(i)類與第(iii)類小矩形的記這個和數(shù)為記這個和數(shù)為定義1由確界存在定理可以推得,顯然有通常稱為P的內(nèi)面積,為P的外面積.若平面圖形P滿足=,則稱P為可求面積的圖形,數(shù)集有上確界,有下確界.

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)記對于平面上所有直線網(wǎng),作為P的面積.并把共同值定理20.1對任給的總存在直線網(wǎng)T,證必要性設(shè)有界圖形P的面積為由及的定義知道,分別存在直線網(wǎng)與使得記T為由與這兩個直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng),可證得§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)

平面有界圖形P可求面積的充要條件是:使得由定義1,有

于是由(3)可得從而對直線網(wǎng)T有充分性設(shè)對任給的存在某直線網(wǎng)T,使得但§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)由的任意性,得因而平面圖形P可求面積.

所以推論平面有界圖形

P的面積為零的充要條件是它即對任給的存在直線網(wǎng)T,

使得或?qū)θ谓o的平面圖形P能被有限個面積總和

小于的小矩形所覆蓋.

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)的外面積定理21.2

平面有界圖形

P可求面積的充要條件是:P的邊界K的面積為零.

證由定理21.1,P可求面積的充要條件是:的存在直線網(wǎng)T,使得

所以也有由上述推論,P的邊界K的面積為零.§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)由于對任給證由于在閉區(qū)間上連續(xù),因而,當(dāng)

，可使在每個小區(qū)間上的振幅都成

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)上一致連續(xù).時,定理21.3的圖象,若曲線K為定義在上的連續(xù)函數(shù)

則曲線K的面積為零.

所以它在

立推論1因此由定理21.1的推論即得曲線

K的面積為零.參量方程所表示的光滑曲線或按段光滑曲線,§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)由于這

n個小矩形面積的總和

即若把曲線K按

,分成n個小段則每一小段都能被以為寬,為高的小矩形所覆蓋.其面積一定為零.使得在每一段上，(或)存在

上的曲線面積為零,從而整個曲線面積為零.分成

n段:于是在上(或反函數(shù)(或有連續(xù)的§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)

所以在證

由光滑曲線的定義，均存在且不同時為零.由隱函數(shù)存在性定理,(或因此(或)在上有反函數(shù).再由有限覆蓋定理,可把區(qū)間注1平面中并非所有的點(diǎn)集都是可求面積的.例如易知因此是不可求面積的.§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)推論2由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面圖形都是可求面積的.注2以下討論的有界閉區(qū)域都是指分段光滑曲線圍成的有界閉區(qū)域.二重積分的幾何背景是求曲頂柱體的體積.

為定義在可求面積的有界閉域

D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).面為頂,D為

底的柱體

(圖21-2)的體積

V.圖21-2§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)二重積分的定義及其存在性設(shè)求以曲采用類似于求曲邊梯形面積的方法.(1)分割:先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)T把區(qū)域D分成n個小區(qū)域(稱T為區(qū)域D

以表示小區(qū)域的面積.線網(wǎng)也相應(yīng)地把曲頂柱體分割成n個以為底的小

曲頂柱體(2)近似求和:由于

在D上連續(xù),相差無幾,在上各點(diǎn)的函數(shù)值

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)的一個分割).這個直

故當(dāng)每個

上任取一點(diǎn)因而可在的直徑都很小時,的小平頂柱體的體積作為的體積的近似值(如圖21-3),

把這些小平頂柱體的體積加起來,就得到曲頂柱體體積

V的近似值§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)為高,為底

用以即(3)取極限:當(dāng)直線網(wǎng)

T的網(wǎng)眼越來越細(xì)密,T的細(xì)度(

為的直徑)趨于零時,有這類問題在物理學(xué)與工程技術(shù)中也常遇到,均勻平面的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等等.所要討論的二重積分的實際物理背景.

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)即分割就如求非這些都是上面敘述的問題都可歸為以下數(shù)學(xué)問題.

可求面積的小區(qū)域以表示小區(qū)域的面積,這些小區(qū)域構(gòu)成

D的在每個上任取一點(diǎn)作和式一個分割

T,以表示小區(qū)域的直徑,

設(shè)

D為

xy

平面上可求面積的有界閉域,為用任意的曲線網(wǎng)把

D分成

n個§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)定義在

D上的函數(shù).稱為T的細(xì)度.稱它為函數(shù)在

D上屬于分割

T的一個積分和.定義2

設(shè)

是定義在可求面積的有界閉域

D上的函數(shù).總存在某個正數(shù)使對于

D的任何分割

T,當(dāng)它的細(xì)度時,§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)有J是一個確定的實數(shù),若對任給的正數(shù)

屬于T的所有積分和都則稱在

D上可積,數(shù)

J稱為函數(shù)

在D上二重積分,記作

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)其中稱為二重積分的被積函數(shù),x,y稱為積分變量,D稱為積分區(qū)域.就表示以為曲頂,D為底的曲頂柱體的當(dāng)

時,二重積分的值就等于積分區(qū)域

D的面積.

當(dāng)時,二重積分在幾何上體積.注1由二重積分定義知道,若在區(qū)域

D上可積,則與定積分情形一樣,時,(4)式都成立.選取一些特殊的分割方法,直線網(wǎng)來分割

D,則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的的面積§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)此時通常把記作對任何分割

T,只要當(dāng)因此為方便計算起見,常

如選用平行于坐標(biāo)軸的注2如定積分那樣類似地可證明:可求面積的

D上可積的必要條件是它在

D上有界.設(shè)函數(shù)在

D上有界,T為

D的一個分割,把

D分成

n個可求面積的小區(qū)域

§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)作和式它們分在函數(shù)

別稱為關(guān)于分割

T的上和與下和.它

令二元函數(shù)的上和與下和具有與一元函數(shù)的上和與下和同樣的性質(zhì),這里就不再重復(fù).函數(shù)的可積性定理,這里只證明其中的定理21.7.§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)下面列出有關(guān)二元定理21.4定理21.5定理21.6定理21.7在D上可積的充要條件是:在D上可積的充要條件是:存在D的某個分割T,有界閉域D上的連續(xù)函數(shù)必可積.設(shè)是定義在有界閉域D上的有界函數(shù),且其不連續(xù)點(diǎn)集E是零面積集.§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)在D上可積.則對于任給的正數(shù)使得§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分具有類似的性質(zhì),現(xiàn)列舉如下:且2.

若在

D上都可積,則1.

若在

D上可積,k為常數(shù),則在D在

D上也可積,§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)上也可積,且3.

若在和上都可積,且與無公共內(nèi)點(diǎn),4.

若與在

D上可積,則有§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)在上也可積,則且且5.

若在D上可積,則函數(shù)在D上也可積,6.

若在D上可積,且則有§1二重積分概念平面圖形的面積二重積分的定義及其存在性二重積分的性質(zhì)這里是積分區(qū)域D的面積.