彈性力學(xué)第二章平面問題的基本理論

平面問題的基本理論xyO當(dāng)前1頁，總共99頁。·空間問題的簡化§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題彈性力學(xué)均為空間問題，但在特殊情況下，可簡化為平面問題，能減少未知量個(gè)數(shù)，便于方程求解，且精度不受影響?！て矫鎽?yīng)力問題?幾何特征等厚度薄板?面力與約束只在板邊上，平行于板面，不沿厚度變化?體力平行于板面，不沿厚度變化當(dāng)前2頁，總共99頁。§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題·平面應(yīng)力問題?簡化分析板面無面力和約束板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板厚連續(xù)分布切應(yīng)力互等定理當(dāng)前3頁，總共99頁。§2-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題·平面應(yīng)力問題應(yīng)力分量只?！飸?yīng)力只存在平面應(yīng)力，所以稱為平面應(yīng)力問題板很薄，外力和約束不沿厚度變化?簡化分析★應(yīng)力分量均為x、y的函數(shù)，不隨z變化當(dāng)前4頁，總共99頁?！?-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題·平面應(yīng)力問題?工程實(shí)例平板壩的平板支墩深梁當(dāng)前5頁，總共99頁?！?-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題·平面應(yīng)變問題?幾何特征無限長的柱形體，橫截面不沿長度變化?面力與約束作用于柱面，平行橫截面，不沿柱體長度方向變化；?體力作用于柱體內(nèi)，平行橫截面，不沿柱體長度方向變化；當(dāng)前6頁，總共99頁?！?-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題·平面應(yīng)變問題?簡化分析截面、外力、約束沿z不變，外力、約束平行

xy面，柱體無限長任何截面都是對稱面w=0，u、v≠0τzx=0、τzy=0εz=0γzx=0、γzy=0εx、εy、γxy≠0★應(yīng)變只存在平面應(yīng)變，所以稱為平面應(yīng)變問題★應(yīng)變和位移均為x、y的函數(shù)，不隨z變化當(dāng)前7頁，總共99頁?！?-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題·平面應(yīng)變問題?工程實(shí)例擋土墻隧道雖然這些結(jié)構(gòu)并不符合無限長柱形假設(shè)，但離兩端較遠(yuǎn)處，仍可按平面應(yīng)變問題進(jìn)行計(jì)算，精度可滿足要求。當(dāng)前8頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·平衡微分方程微元體的平衡平衡微分方程*建立應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系*表示物體內(nèi)任意點(diǎn)的微元體平衡條件當(dāng)前9頁，總共99頁。§2-2平衡微分方程·微元體*微元體尺寸dx、dy、1*應(yīng)力分量作用在微分面中心上*應(yīng)力分量隨坐標(biāo)變化*體力作用在體心*變形后尺寸可用變形前尺寸代替xyOσx?σx

?xσx+

dx當(dāng)前10頁，總共99頁。§2-2平衡微分方程·推導(dǎo)∴∴∵∴切應(yīng)力互等定理(1)當(dāng)前11頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·推導(dǎo)(2)坐標(biāo)軸方向合力為0方程兩邊同除dxdy同理，ΣFy=0平衡微分方程當(dāng)前12頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·總結(jié)平衡微分方程*3個(gè)未知量，2個(gè)方程，還需另外方程*彈性體內(nèi)任意區(qū)域都精確成立*平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題都適用*基于連續(xù)性、小變形假定當(dāng)前13頁，總共99頁。§2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·問題的提出已知P點(diǎn)應(yīng)力分量，求過P點(diǎn)任意斜面上應(yīng)力?xyOPABncos(n,x)=l,cos(n,y)=mppxpypx：p在x軸投影py：p在y軸投影AB=dsPB=ldsPA=mdsΔ

PAB=lds·mds/2當(dāng)前14頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·推導(dǎo)xyOPABnppxpyσyσxτyxτxyΣ

Fx

=0，得

px

ds-σxlds-τxymdslds·mds+fx2=0fxfy同除ds，且ds→0

px=lσx+mτxyΣ

Fy

=0，得

py=mσy+lτxy(2-3)當(dāng)前15頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·推導(dǎo)xyOPABnppxpyσnτnσn：AB面上正應(yīng)力τn：AB面上切應(yīng)力σn=lpx+mpy由(2-3)式，得σn=l2σx+m2σy+

2lmτxyτn=lpy-mpxτn=lm(σy-σx)+

(l2-

m2)τxy★

由一點(diǎn)應(yīng)力分量可求任一斜面上正(切)應(yīng)力當(dāng)前16頁，總共99頁。§2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·主應(yīng)力xyOPABn’σnτnσ：主應(yīng)力=pxm由(2-3)式，得σ-σxA’B’σA’B’：應(yīng)力主面n’：應(yīng)力主向py=mσlσx+mτxy

=lσmσy+lτxy

=mσlσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0τxy=mσ-σylτxy=lσ主應(yīng)力特征方程全應(yīng)力=正應(yīng)力當(dāng)前17頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·主應(yīng)力特征方程xyOPABn’σnτnA’B’σσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0*兩主應(yīng)力都是實(shí)數(shù)*

σ1+σ2=σx+σy*當(dāng)前18頁，總共99頁。l2m2cosα2cos(90–α2)cosα2sinα2

l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1§2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·主應(yīng)力方向xyOPσ1α1tanα1===tanα2===當(dāng)前19頁，總共99頁。σ1-σxτxy§2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·主應(yīng)力方向xyOPσ1α1σ1由(a)式，得tanα1=σ1-σxτxy=σ2-σyτxytanα2,σ1+σ2=σx+σy=-tanα2∴tanα1·tanα2=-1∴σ1

σ2σ2σ2⊥l2m2cosα1cos(90–α2)cosα2sinα2

l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1tanα1===tanα2===當(dāng)前20頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·最大最小正應(yīng)力xyOσ1σ1由(2-4)式，得τxy=0∴σ2σ2σx=σ1σy=σ2l2σx+m2σy+

2lmτxyσn==l2σ1+m2σ2=l2σ1+

(1-l2)

σ2=l2(σ1–σ2)+σ2σmax=σ1

σmin=σ2

兩主應(yīng)力就是最大與最小正應(yīng)力l2=1l2=0當(dāng)前21頁，總共99頁。-(-l2)24121=±l1-l2

(σ2–σ1)

§2-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·最大最小切應(yīng)力xyOσ1σ1由(2-5)式，得∴σ2σ2lm(σy-σx)+

(l2-

m2)τxyτn==lm(σ2–σ1)

τmax=最大與最小切應(yīng)力與應(yīng)力主向成45°=±l2–l4

(σ2–σ1)

=±

(σ2–σ1)

σ1–σ22τmin=-σ1–σ22l2=1/2當(dāng)前22頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)·總結(jié)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)已知應(yīng)力分量任意斜面上的應(yīng)力主應(yīng)力大小和方向最大（?。┱龖?yīng)力最大（?。┣袘?yīng)力當(dāng)前23頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·幾何方程xyOPABPA=dxPB=dyP’A’B’u：P點(diǎn)x方向位移uu+

?u

?x

dxvv+

?v

?x

dxu+

?u

?y

dyv+

?v

?y

dyv：P點(diǎn)y方向位移αβα：PA轉(zhuǎn)角β：PB轉(zhuǎn)角應(yīng)變與位移的關(guān)系當(dāng)前24頁，總共99頁。§2-4幾何方程剛體位移·幾何方程xyOPABP’A’B’uu+

?u

?x

dxvv+

?v

?x

dxu+

?u

?y

dyv+

?v

?y

dyαβεx

=(u+?u

?xdx)-udx=?u

?x

略去v引起的PA伸縮εy

=?v

?yα=(v+

?xdx)-vdx=?v

?x?vβ=?u

?yγxy

=α+β=?v

?x+?u

?y當(dāng)前25頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·幾何方程εx

=?u

?xεy

=?v

?yγxy

=?v

?x+?u

?y*

位移分量確定，形變分量確定*

形變分量確定，位移分量不確定*

建立位移分量于形變分量關(guān)系*基于連續(xù)性、小變形假定當(dāng)前26頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·剛體位移與變形無關(guān)的位移=0?u

?x=0?v

?y?v

?x+?u

?y令εx

=εy=γxy=0，

求u、v？由幾何方程，得=0前兩式分別對x、y積分，得u=f1(y)v=f2(x)代入第三式，得=df1(y)

dy-df2(x)

dx=ω常數(shù)當(dāng)前27頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·剛體位移積分可得，f1(y)

=u0-ωy=df1(y)

dy-df2(x)

dx=ωf2(x)

=v0+ωxu0、v0任意常數(shù)u=u0-ωyv=v0+ωx剛體位移u0：x方向剛體平移v0：y方向剛體平移設(shè)u0

≠0、v0=ω=0，則u=u0，v=0設(shè)v0

≠0、u0=ω=0，則v=v0，u=0當(dāng)前28頁，總共99頁。u2

+v2§2-4幾何方程剛體位移·剛體位移u=u0-ωyv=v0+ωx剛體位移ω：繞z軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)ω

≠0、u0=v0=0，則u=-ωy，v

=ωxxyOP

ωx

ωy

ωρP點(diǎn)位移：=(-ωy)2

+(ωx)2

=x2

+y2ω

(x,y)xyρ=ωρ

αtanα=ωy/(ωx)

=y/xφ=tanφ

PP’⊥OP

P’當(dāng)前29頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·剛體位移u=u0-ωyv=v0+ωx剛體位移ω：繞z軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)u0：x方向剛體平移v0：y方向剛體平移*物體不變形，仍可以有剛體位移*由幾何方程得出的位移，含有不確定的剛體位移項(xiàng)*要完全確定位移，必須引入約束條件當(dāng)前30頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系εx

=E1[σx-μ

(σy+σz)]εy

=E1[σy-μ

(σz+σx)]εz

=E1[σz-μ

(σx+σy)]γyz

=G1τyz，γzx

=G1τzx，γzx

=G1τzxE：彈性模量

μ：泊松比G：剪切模量G=E2(1+

μ

)當(dāng)前31頁，總共99頁。§2-5物理方程·物理方程?平面應(yīng)力問題σz=0εx

=E(

σx–μ

σy)1εy

=E(

σy–μ

σx)1γxy

=Eτxy2(1+μ)平面應(yīng)力問題的物理方程τyz=τzx=0γyz=γzx=0εz

=-(

σx+σy)Eμ不作為獨(dú)立未知函數(shù)當(dāng)前32頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程?平面應(yīng)變問題εz=0εx

=E1–μ2

εy

=γxy

=Eτxy2(1+μ)平面應(yīng)變問題的物理方程τyz=τzx=0γyz=γzx=0σz=

μ

(

σx+σy)不作為獨(dú)立未知函數(shù)σx-

1–μμ

σyE1–μ2

σy-

1–μμ

σx當(dāng)前33頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ兩種平面問題的物理方程不一樣。但只需對一種問題的彈性常數(shù)進(jìn)行變換，就可導(dǎo)出另外一種問題的方程。當(dāng)前34頁，總共99頁。§2-5物理方程·總結(jié)平衡微分方程幾何方程物理方程邊界條件未知量：2個(gè)3個(gè)3個(gè)εx、γxyεy、u、vσx、σy、τxy8個(gè)當(dāng)前35頁，總共99頁。§2-6邊界條件·邊界條件邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。?位移邊界條件?應(yīng)力邊界條件?混合邊界條件當(dāng)前36頁，總共99頁。§2-6邊界條件·邊界條件?位移邊界條件邊界(su)上的約束為u(s)和v(s)，則約束與位移的關(guān)系為(u)s=u(s)，(v)s=v(s)（在su上）(u)s=0，(v)s=0完全固定邊界:u(s)=v(s)=0（在su上）∴

函數(shù)方程當(dāng)前37頁，總共99頁。§2-6邊界條件·邊界條件?位移邊界條件yhρgx(v)y=0=0xOyl(u)x=0=0

y=0(v)x=0=0

y=0(v)x=l=0

y=0當(dāng)前38頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件邊界(sσ)上的面力為fx(s)和fy(s)，則面力與應(yīng)力的關(guān)系為xyOσyσxτyxτxyfxfy邊界面nl=cos(n,x),m=cos(n,y)(lσx+mτxy

)s=fx(s)(lσy+mτxy

)s=fy(s)P(lσx+mτxy

)P=fx(P)(lσy+mτxy

)P=fy(P)當(dāng)前39頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件邊界面為坐標(biāo)面:xOyfxfyaPl=1,m=0正x面:x=a(σx

)x=a

=fx(y)(τxy

)x=a

=fy(y)b應(yīng)力分量與面力分量同號σx→

fxτxy→

fy大小相同，方向也相同σx(+)τxy(+)不含σy

當(dāng)前40頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件邊界面為坐標(biāo)面:xOyfxfyaPl=-1,m=0負(fù)x面:x=-b(σx

)x=-b

=-fx(y)(τxy

)x=-b

=-fy(y)b應(yīng)力分量與面力分量異號σx→

fxτxy→

fy大小相同，方向也相同σx(+)τxy(+)不含σy

當(dāng)前41頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件表示:（1）根據(jù)微元體平衡條件，得應(yīng)力邊界條件；（2）同一邊界面上，應(yīng)力分量等于對應(yīng)的面力分量。σx→

fxτxy→

fyx面:大小相同，方向也相同；按應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定，確定應(yīng)力分量的正負(fù)號。當(dāng)前42頁，總共99頁。τyx(+)σy(+)§2-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件邊界面為坐標(biāo)面:xOyfxfyc正y面:y=c(σy

)y=c

=fy(x)(τyx

)y=c

=fx(x)d應(yīng)力分量與面力分量同號σy→

fyτyx→

fx大小相同，方向也相同不含σx

當(dāng)前43頁，總共99頁。τyx(+)σy(+)§2-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件邊界面為坐標(biāo)面:xOyfxfyc負(fù)y面:y=-d(σy

)y=-d

=-fy(x)(τyx

)y=-d

=-fx(x)d應(yīng)力分量與面力分量異號σy→

fyτyx→

fx大小相同，方向也相同不含σx

當(dāng)前44頁，總共99頁。§2-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件*每邊都有表示x向和y向的兩個(gè)邊界條件；*邊界面為正、負(fù)x面，應(yīng)力邊界條件中沒有σ

y

；*邊界面為正、負(fù)y面，應(yīng)力邊界條件中沒有σ

x

；*平行于邊界面的正應(yīng)力，邊界值與面力分量不直接相關(guān)。當(dāng)前45頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件xq1h/2h/2ylq2①邊界x=0上:(v)x=0=0(u)x=0=0②邊界x=l

上:(σx

)x=l

=0(τxy

)x=l

=0③邊界y=-h/2上:(τyx

)y=-h/2

=0(σy

)y=-h/2

=-q1lx④邊界y=h/2上:(τyx

)y=

h/2

=q2(σy

)y=

h/2

=0當(dāng)前46頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應(yīng)力邊界條件xqybq①邊界y=±b

上:(τyx

)y=±b

=0by(σy

)y=±b

=0Obaaqq②邊界x=±a

上:(τxy

)x=±a

=0(σx

)x=±a

=-q(

)2邊界條件要求在x=±a上，

σx也成拋物線分布。當(dāng)前47頁，總共99頁。§2-6邊界條件·邊界條件?混合邊界條件（1）一部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件（2）同一邊界上，既有位移邊界條件，又有應(yīng)力邊界條件(τxy

)x=a

=fy=0(u)x=a

=u

=0(σx

)x=a

=fx=0(v)x=a

=v

=0連桿支承邊:齒槽邊:當(dāng)前48頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·問題的提出*

彈性力學(xué)問題是微分方程的邊值問題.應(yīng)力,形變,位移等未知函數(shù)必須滿足域內(nèi)的方程和邊界上的邊界條件.主要的困難在于難以完全滿足邊界條件.*物體一小部分邊界,只知合力,面力分布方式不明確圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件當(dāng)前49頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·圣維南原理如果把物體小邊界上的面力,變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同,對同一點(diǎn)的主矩也相同).那么,近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變,但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì).FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2F/AF/A*只能應(yīng)用在小邊界上*等效只對近處應(yīng)力影響大*遠(yuǎn)處應(yīng)力可用等效后代替*集中力→均布力,便于求解當(dāng)前50頁，總共99頁。§2-7圣維南原理及其應(yīng)用·圣維南原理FFF/AF/A*不滿足靜力等效,絕不成立FF*位移邊界條件難以滿足,也可用圣維南原理FF當(dāng)前51頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·圣維南原理FF/2F/2F/A當(dāng)前52頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·推廣如果物體小邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于0）.那么,這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力,而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。主矢、主矩=0無面力當(dāng)前53頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·推廣FF當(dāng)前54頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·應(yīng)用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(τxy

)x=±l

=±

fy(y)(σx

)x=±l

=±

fx(y)(1)嚴(yán)格的應(yīng)力邊界條件

上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。當(dāng)前55頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·應(yīng)用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(2)由已知面力等效*

應(yīng)力的主矢量=面力的主矢量（給定）;*

應(yīng)力的主矩=面力的主矩（給定）;當(dāng)前56頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·應(yīng)用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(2)由已知面力等效

將點(diǎn)點(diǎn)相等轉(zhuǎn)化為積分值相等當(dāng)前57頁，總共99頁。§2-7圣維南原理及其應(yīng)用·應(yīng)用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？σx(+)τxy(+)FNFSσx(+)τxy(+)(3)由已知合力等效

將點(diǎn)點(diǎn)相等轉(zhuǎn)化為積分值相等M當(dāng)前58頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·應(yīng)用xylOlh/2h/2δ=1

σx(+)τxy(+)FNFSσx(+)τxy(+)*同一小邊界上,應(yīng)力的主矢量和主矩,分別等于面力的主矢量和主矩M*|應(yīng)力的主矢量和主矩|=|面力的主矢量和主矩|*二者方向相同,應(yīng)力主矢量和主矩正負(fù)號按應(yīng)力分量規(guī)定確定正的應(yīng)力×正的力臂=正的主矩圖中應(yīng)力主矢和主矩都為正當(dāng)前59頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應(yīng)用·圣維南原理(τxy

)x=±l

=±

fy(y)(σx

)x=±l

=±

fx(y)方程個(gè)數(shù)23方程性質(zhì)函數(shù)方程（難滿足）代數(shù)方程（易滿足）精確性精確近似適用邊界大、小邊界小邊界等效前等效后當(dāng)前60頁，總共99頁。§2-8按位移求解平面問題·問題的求解平衡微分方程幾何方程物理方程應(yīng)力邊界條件位移邊界條件未知量：2個(gè)3個(gè)3個(gè)εx、γxyεy、u、vσx、σy、τxy8個(gè)可用消元法減少未知量和方程的個(gè)數(shù)當(dāng)前61頁，總共99頁。§2-8按位移求解平面問題·基本未知函數(shù)*位移*應(yīng)力位移邊界條件應(yīng)力邊界條件·求解方法?位移法?應(yīng)力法當(dāng)前62頁，總共99頁。§2-8按位移求解平面問題·求解方法?位移法以位移分量作為基本未知函數(shù)只含位移分量的方程和邊界條件消元求解位移分量求應(yīng)力、應(yīng)變分量類似結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法當(dāng)前63頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·求解方法?應(yīng)力法以應(yīng)力分量作為基本未知函數(shù)只含應(yīng)力分量的方程和邊界條件消元求出應(yīng)力分量求應(yīng)變、位移分量類似結(jié)構(gòu)力學(xué)的力法當(dāng)前64頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法①物理方程εx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)σx=E(εx+μεy)1-μ2γxyEτxy=2(1+μ)σy=E(εy+μεx)1-μ2當(dāng)前65頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法②代入幾何方程εx=?u

?xεy=?v

?yγxy=?v

?x+?u

?yσx=E(εx+μεy)1-μ2γxyEτxy=2(1+μ)σy=E(εy+μεx)1-μ2σx=E1-μ2Eτxy=2(1+μ)?u

?x+μ?v

?yσy=E1-μ2?v

?y+μ?u

?x?v

?x+μ?u

?y當(dāng)前66頁，總共99頁。§2-8按位移求解平面問題·位移法③代入平衡方程?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=0E1-μ2?2u

?x2+1-μ2?2u

?y2+1+μ2?2v

?x?yE1-μ2?2v

?y2+1-μ2?2v

?x2+1+μ2?2u

?x?y+fx=0+fy=0位移法基本方程當(dāng)前67頁，總共99頁。§2-8按位移求解平面問題·位移法④應(yīng)力邊界條件(lσx+mτxy)s=fx(s)(lσy+mτxy)s=fy(s)?u

?x+μ?v

?yl+m1-μ2?u

?x+?v

?ySE1-μ2=fx?v

?y+μ?u

?xm+l1-μ2?v

?x+?u

?ySE1-μ2=fy以位移表示的應(yīng)力邊界條件⑤位移邊界條件(u)s=u,

(v)s=v當(dāng)前68頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法*平面應(yīng)變問題：E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ*優(yōu)點(diǎn)：適應(yīng)各種邊界條件(應(yīng)力、位移)

*缺點(diǎn)：方程復(fù)雜，解析求解困難

*應(yīng)用：數(shù)值近似解法(有限元)當(dāng)前69頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法例yhρgx解：一維問題，則有u=0,v=v(y),μ=0代入(2-18)式第1式滿足，第2式為d2v

dy2=-ρgE當(dāng)前70頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法例yhρgx解：第1式滿足，第2式為d2v

dy2=-ρgE∴v=-ρg2Ey2+Ay+B

(a)將邊界條件(v)y=0=0,(σy)y=h=0代入(a)式,得A=ρghEB=0∴v=ρg2E(2hy-y2)σy=ρg(h-y)當(dāng)前71頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法例yhρgx解：v=-ρg2Ey2+Ay+B

(a)將邊界條件(v)y=0=0,(v)y=h=0代入(a)式,得A=ρgh2EB=0∴v=ρg2E(hy-y2)σy=ρg(h-2y)/2當(dāng)前72頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法*基本未知量:σx

、σy、τxy*應(yīng)變分量的表示:εx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)物理方程當(dāng)前73頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法*位移分量的表示:位移難以用應(yīng)力表示，存在待定積分項(xiàng)*邊界條件:應(yīng)力法不能直接求解位移邊界條件問題，只能求解應(yīng)力邊界條件問題*平衡方程:?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=03個(gè)未知量，2個(gè)方程，如何求解？當(dāng)前74頁，總共99頁。?v§2-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·相容方程*幾何方程:εx=?u

?xεy=?v

?yγxy=?v

?x+?u

?yεx對y求二階導(dǎo)數(shù)，εy對x求二階導(dǎo)數(shù)，相加可得?2εx

?y2+?3u

?x?y2?2εy

?x2=?3v

?y?x2+=?2

?x?y?u

?y

?x+消元γxy?2εx

?y2+?2εy

?x2=?2γxy

?x?y相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）當(dāng)前75頁，總共99頁。§2-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·相容方程?2εx

?y2+?2εy

?x2=?2γxy

?x?y相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）*εx、εy、γxy

不獨(dú)立,必須滿足相容方程;*不滿足相容方程的εx、εy、γxy

,不是彈性力學(xué)的解當(dāng)前76頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·相容方程例εx=0,

εy=0,

γxy=Cxy由幾何方程前兩式，得?u

?x=0?v

?y=0u=f1(y)v=f2(x)∴由幾何方程第三式，可得=Cxy?v

?x+?u

?y矛盾當(dāng)前77頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法*相容方程的應(yīng)力表示:?2εx

?y2+?2εy

?x2=?2γxy

?x?yεx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)?2?y2(σx-μσy)?2?x2(σy-μσx)+=2(1+μ)?2τxy

?x?y含τxy當(dāng)前78頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法*相容方程的應(yīng)力表示:?2?y2(σx-μσy)?2?x2(σy-μσx)+=2(1+μ)?2τxy

?x?y含τxy?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=0?σx?x?τyx?y-fx=-?σy?y?τxy?x-fy=-2?2τxy

?x?y=-?2σx

?x2-?2σy

?y2?fx?x-?fy?y-當(dāng)前79頁，總共99頁。?y2?y?y?y2§2-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法*相容方程的應(yīng)力表示:+?2?2?x2(σx+σy)=-(1+μ)?fx?x?fy+由應(yīng)力表示的相容方程E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ+?2?2?x2(σx+σy)=-?fx?x?fy+1-μ1平面應(yīng)變問題當(dāng)前80頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法*應(yīng)力邊界條件:(lσx+mτxy

)s=fx(s)(lσy+mτxy

)s=fy(s)當(dāng)前81頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法應(yīng)力分量σx

,

σy

,

τxy必須滿足下列條件:(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程(2-2);(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程(2-21)或(2-22);(3)在邊界上應(yīng)力邊界條件(2-15)，假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題;(4)多連體還要滿足位移單值條件.當(dāng)前82頁，總共99頁。§2-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法單連體：只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體多連體：具有兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)邊界的物體(如：含孔的物體)單連體多連體單連體當(dāng)前83頁，總共99頁?！?-9按應(yīng)力求解平面問題相容方程·應(yīng)力法位移單值條件：位移必須為單值多連體應(yīng)力分量表達(dá)式含有待定的項(xiàng)，需要利用位移單值條件，才能完全確定應(yīng)力分量當(dāng)前84頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力很多工程問題,體力為常量.如：重力、常加速度下平移物體的慣性力當(dāng)前85頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力的簡化fx、fy為常數(shù)?y?y2+?2?2?x2(σx+σy)=-(1+μ)?fx?x?fy+相容方程?y2+?2?2?x2(σx+σy)=0常體力的相容方程當(dāng)前86頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力的簡化?y2+?2?2?x2(σx+σy)=0常體力的相容方程▽2(σx+σy)=0→▽2+?2?y2?2?x2調(diào)和方程（拉普拉斯方程）▽2:調(diào)和算子

σx+σy:調(diào)和函數(shù)*溫度場、電磁場、流場、引力場都服從調(diào)和方程.當(dāng)前87頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力的簡化▽2(σx+σy)=0?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=0(lσx+mτxy)s=fx(s)(lσy+mτxy)s=fy(s)平衡微分方程相容方程應(yīng)力邊界條件不含彈性常數(shù)當(dāng)前88頁，總共99頁。§2-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力的簡化平衡微分方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題相容方程應(yīng)力邊界條件平衡微分方程相容方程應(yīng)力邊界條件完全相同與材料屬性無關(guān)當(dāng)前89頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力的簡化單連體應(yīng)力邊界條件問題:AB外力相同形狀相同A軟σx

、σy

、τxy分布相同B硬＝AB＝σx

σy

τxyσx

σy

τxy平面應(yīng)力平面應(yīng)變σz

、形變、位移不相同材料不同為實(shí)驗(yàn)和計(jì)算提供極大便利當(dāng)前90頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)位移法方程:應(yīng)力法方程:當(dāng)前91頁，總共99頁。§2-10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)·常體力的簡化應(yīng)力法方程的解:?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?