彈性力學第二章平面問題的基本理論

平面問題的基本理論xyO當前1頁，總共99頁?！た臻g問題的簡化§2-1平面應力問題與平面應變問題彈性力學均為空間問題，但在特殊情況下，可簡化為平面問題，能減少未知量個數，便于方程求解，且精度不受影響?！て矫鎽栴}?幾何特征等厚度薄板?面力與約束只在板邊上，平行于板面，不沿厚度變化?體力平行于板面，不沿厚度變化當前2頁，總共99頁?！?-1平面應力問題與平面應變問題·平面應力問題?簡化分析板面無面力和約束板很薄，外力不沿厚度變化，應力沿板厚連續(xù)分布切應力互等定理當前3頁，總共99頁?！?-1平面應力問題與平面應變問題·平面應力問題應力分量只?！飸χ淮嬖谄矫鎽?，所以稱為平面應力問題板很薄，外力和約束不沿厚度變化?簡化分析★應力分量均為x、y的函數，不隨z變化當前4頁，總共99頁?！?-1平面應力問題與平面應變問題·平面應力問題?工程實例平板壩的平板支墩深梁當前5頁，總共99頁?！?-1平面應力問題與平面應變問題·平面應變問題?幾何特征無限長的柱形體，橫截面不沿長度變化?面力與約束作用于柱面，平行橫截面，不沿柱體長度方向變化；?體力作用于柱體內，平行橫截面，不沿柱體長度方向變化；當前6頁，總共99頁?！?-1平面應力問題與平面應變問題·平面應變問題?簡化分析截面、外力、約束沿z不變，外力、約束平行

xy面，柱體無限長任何截面都是對稱面w=0，u、v≠0τzx=0、τzy=0εz=0γzx=0、γzy=0εx、εy、γxy≠0★應變只存在平面應變，所以稱為平面應變問題★應變和位移均為x、y的函數，不隨z變化當前7頁，總共99頁?！?-1平面應力問題與平面應變問題·平面應變問題?工程實例擋土墻隧道雖然這些結構并不符合無限長柱形假設，但離兩端較遠處，仍可按平面應變問題進行計算，精度可滿足要求。當前8頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·平衡微分方程微元體的平衡平衡微分方程*建立應力分量與體力分量之間的關系*表示物體內任意點的微元體平衡條件當前9頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·微元體*微元體尺寸dx、dy、1*應力分量作用在微分面中心上*應力分量隨坐標變化*體力作用在體心*變形后尺寸可用變形前尺寸代替xyOσx?σx

?xσx+

dx當前10頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·推導∴∴∵∴切應力互等定理(1)當前11頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·推導(2)坐標軸方向合力為0方程兩邊同除dxdy同理，ΣFy=0平衡微分方程當前12頁，總共99頁?！?-2平衡微分方程·總結平衡微分方程*3個未知量，2個方程，還需另外方程*彈性體內任意區(qū)域都精確成立*平面應力和平面應變問題都適用*基于連續(xù)性、小變形假定當前13頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·問題的提出已知P點應力分量，求過P點任意斜面上應力?xyOPABncos(n,x)=l,cos(n,y)=mppxpypx：p在x軸投影py：p在y軸投影AB=dsPB=ldsPA=mdsΔ

PAB=lds·mds/2當前14頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·推導xyOPABnppxpyσyσxτyxτxyΣ

Fx

=0，得

px

ds-σxlds-τxymdslds·mds+fx2=0fxfy同除ds，且ds→0

px=lσx+mτxyΣ

Fy

=0，得

py=mσy+lτxy(2-3)當前15頁，總共99頁。§2-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·推導xyOPABnppxpyσnτnσn：AB面上正應力τn：AB面上切應力σn=lpx+mpy由(2-3)式，得σn=l2σx+m2σy+

2lmτxyτn=lpy-mpxτn=lm(σy-σx)+

(l2-

m2)τxy★

由一點應力分量可求任一斜面上正(切)應力當前16頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·主應力xyOPABn’σnτnσ：主應力=pxm由(2-3)式，得σ-σxA’B’σA’B’：應力主面n’：應力主向py=mσlσx+mτxy

=lσmσy+lτxy

=mσlσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0τxy=mσ-σylτxy=lσ主應力特征方程全應力=正應力當前17頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·主應力特征方程xyOPABn’σnτnA’B’σσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0*兩主應力都是實數*

σ1+σ2=σx+σy*當前18頁，總共99頁。l2m2cosα2cos(90–α2)cosα2sinα2

l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1§2-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·主應力方向xyOPσ1α1tanα1===tanα2===當前19頁，總共99頁。σ1-σxτxy§2-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·主應力方向xyOPσ1α1σ1由(a)式，得tanα1=σ1-σxτxy=σ2-σyτxytanα2,σ1+σ2=σx+σy=-tanα2∴tanα1·tanα2=-1∴σ1

σ2σ2σ2⊥l2m2cosα1cos(90–α2)cosα2sinα2

l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1tanα1===tanα2===當前20頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·最大最小正應力xyOσ1σ1由(2-4)式，得τxy=0∴σ2σ2σx=σ1σy=σ2l2σx+m2σy+

2lmτxyσn==l2σ1+m2σ2=l2σ1+

(1-l2)

σ2=l2(σ1–σ2)+σ2σmax=σ1

σmin=σ2

兩主應力就是最大與最小正應力l2=1l2=0當前21頁，總共99頁。-(-l2)24121=±l1-l2

(σ2–σ1)

§2-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·最大最小切應力xyOσ1σ1由(2-5)式，得∴σ2σ2lm(σy-σx)+

(l2-

m2)τxyτn==lm(σ2–σ1)

τmax=最大與最小切應力與應力主向成45°=±l2–l4

(σ2–σ1)

=±

(σ2–σ1)

σ1–σ22τmin=-σ1–σ22l2=1/2當前22頁，總共99頁?！?-3平面問題中一點的應力狀態(tài)·總結一點應力狀態(tài)已知應力分量任意斜面上的應力主應力大小和方向最大（?。┱龖ψ畲螅ㄐ。┣袘Ξ斍?3頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·幾何方程xyOPABPA=dxPB=dyP’A’B’u：P點x方向位移uu+

?u

?x

dxvv+

?v

?x

dxu+

?u

?y

dyv+

?v

?y

dyv：P點y方向位移αβα：PA轉角β：PB轉角應變與位移的關系當前24頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·幾何方程xyOPABP’A’B’uu+

?u

?x

dxvv+

?v

?x

dxu+

?u

?y

dyv+

?v

?y

dyαβεx

=(u+?u

?xdx)-udx=?u

?x

略去v引起的PA伸縮εy

=?v

?yα=(v+

?xdx)-vdx=?v

?x?vβ=?u

?yγxy

=α+β=?v

?x+?u

?y當前25頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·幾何方程εx

=?u

?xεy

=?v

?yγxy

=?v

?x+?u

?y*

位移分量確定，形變分量確定*

形變分量確定，位移分量不確定*

建立位移分量于形變分量關系*基于連續(xù)性、小變形假定當前26頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·剛體位移與變形無關的位移=0?u

?x=0?v

?y?v

?x+?u

?y令εx

=εy=γxy=0，

求u、v？由幾何方程，得=0前兩式分別對x、y積分，得u=f1(y)v=f2(x)代入第三式，得=df1(y)

dy-df2(x)

dx=ω常數當前27頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·剛體位移積分可得，f1(y)

=u0-ωy=df1(y)

dy-df2(x)

dx=ωf2(x)

=v0+ωxu0、v0任意常數u=u0-ωyv=v0+ωx剛體位移u0：x方向剛體平移v0：y方向剛體平移設u0

≠0、v0=ω=0，則u=u0，v=0設v0

≠0、u0=ω=0，則v=v0，u=0當前28頁，總共99頁。u2

+v2§2-4幾何方程剛體位移·剛體位移u=u0-ωyv=v0+ωx剛體位移ω：繞z軸剛體轉動設ω

≠0、u0=v0=0，則u=-ωy，v

=ωxxyOP

ωx

ωy

ωρP點位移：=(-ωy)2

+(ωx)2

=x2

+y2ω

(x,y)xyρ=ωρ

αtanα=ωy/(ωx)

=y/xφ=tanφ

PP’⊥OP

P’當前29頁，總共99頁?！?-4幾何方程剛體位移·剛體位移u=u0-ωyv=v0+ωx剛體位移ω：繞z軸剛體轉動u0：x方向剛體平移v0：y方向剛體平移*物體不變形，仍可以有剛體位移*由幾何方程得出的位移，含有不確定的剛體位移項*要完全確定位移，必須引入約束條件當前30頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程應力與應變的關系εx

=E1[σx-μ

(σy+σz)]εy

=E1[σy-μ

(σz+σx)]εz

=E1[σz-μ

(σx+σy)]γyz

=G1τyz，γzx

=G1τzx，γzx

=G1τzxE：彈性模量

μ：泊松比G：剪切模量G=E2(1+

μ

)當前31頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程?平面應力問題σz=0εx

=E(

σx–μ

σy)1εy

=E(

σy–μ

σx)1γxy

=Eτxy2(1+μ)平面應力問題的物理方程τyz=τzx=0γyz=γzx=0εz

=-(

σx+σy)Eμ不作為獨立未知函數當前32頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程?平面應變問題εz=0εx

=E1–μ2

εy

=γxy

=Eτxy2(1+μ)平面應變問題的物理方程τyz=τzx=0γyz=γzx=0σz=

μ

(

σx+σy)不作為獨立未知函數σx-

1–μμ

σyE1–μ2

σy-

1–μμ

σx當前33頁，總共99頁?！?-5物理方程·物理方程平面應力問題平面應變問題E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ兩種平面問題的物理方程不一樣。但只需對一種問題的彈性常數進行變換，就可導出另外一種問題的方程。當前34頁，總共99頁?！?-5物理方程·總結平衡微分方程幾何方程物理方程邊界條件未知量：2個3個3個εx、γxyεy、u、vσx、σy、τxy8個當前35頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。?位移邊界條件?應力邊界條件?混合邊界條件當前36頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?位移邊界條件邊界(su)上的約束為u(s)和v(s)，則約束與位移的關系為(u)s=u(s)，(v)s=v(s)（在su上）(u)s=0，(v)s=0完全固定邊界:u(s)=v(s)=0（在su上）∴

函數方程當前37頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?位移邊界條件yhρgx(v)y=0=0xOyl(u)x=0=0

y=0(v)x=0=0

y=0(v)x=l=0

y=0當前38頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件邊界(sσ)上的面力為fx(s)和fy(s)，則面力與應力的關系為xyOσyσxτyxτxyfxfy邊界面nl=cos(n,x),m=cos(n,y)(lσx+mτxy

)s=fx(s)(lσy+mτxy

)s=fy(s)P(lσx+mτxy

)P=fx(P)(lσy+mτxy

)P=fy(P)當前39頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件邊界面為坐標面:xOyfxfyaPl=1,m=0正x面:x=a(σx

)x=a

=fx(y)(τxy

)x=a

=fy(y)b應力分量與面力分量同號σx→

fxτxy→

fy大小相同，方向也相同σx(+)τxy(+)不含σy

當前40頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件邊界面為坐標面:xOyfxfyaPl=-1,m=0負x面:x=-b(σx

)x=-b

=-fx(y)(τxy

)x=-b

=-fy(y)b應力分量與面力分量異號σx→

fxτxy→

fy大小相同，方向也相同σx(+)τxy(+)不含σy

當前41頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件表示:（1）根據微元體平衡條件，得應力邊界條件；（2）同一邊界面上，應力分量等于對應的面力分量。σx→

fxτxy→

fyx面:大小相同，方向也相同；按應力分量的正負號規(guī)定，確定應力分量的正負號。當前42頁，總共99頁。τyx(+)σy(+)§2-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件邊界面為坐標面:xOyfxfyc正y面:y=c(σy

)y=c

=fy(x)(τyx

)y=c

=fx(x)d應力分量與面力分量同號σy→

fyτyx→

fx大小相同，方向也相同不含σx

當前43頁，總共99頁。τyx(+)σy(+)§2-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件邊界面為坐標面:xOyfxfyc負y面:y=-d(σy

)y=-d

=-fy(x)(τyx

)y=-d

=-fx(x)d應力分量與面力分量異號σy→

fyτyx→

fx大小相同，方向也相同不含σx

當前44頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件*每邊都有表示x向和y向的兩個邊界條件；*邊界面為正、負x面，應力邊界條件中沒有σ

y

；*邊界面為正、負y面，應力邊界條件中沒有σ

x

；*平行于邊界面的正應力，邊界值與面力分量不直接相關。當前45頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件xq1h/2h/2ylq2①邊界x=0上:(v)x=0=0(u)x=0=0②邊界x=l

上:(σx

)x=l

=0(τxy

)x=l

=0③邊界y=-h/2上:(τyx

)y=-h/2

=0(σy

)y=-h/2

=-q1lx④邊界y=h/2上:(τyx

)y=

h/2

=q2(σy

)y=

h/2

=0當前46頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?應力邊界條件xqybq①邊界y=±b

上:(τyx

)y=±b

=0by(σy

)y=±b

=0Obaaqq②邊界x=±a

上:(τxy

)x=±a

=0(σx

)x=±a

=-q(

)2邊界條件要求在x=±a上，

σx也成拋物線分布。當前47頁，總共99頁?！?-6邊界條件·邊界條件?混合邊界條件（1）一部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應力邊界條件（2）同一邊界上，既有位移邊界條件，又有應力邊界條件(τxy

)x=a

=fy=0(u)x=a

=u

=0(σx

)x=a

=fx=0(v)x=a

=v

=0連桿支承邊:齒槽邊:當前48頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·問題的提出*

彈性力學問題是微分方程的邊值問題.應力,形變,位移等未知函數必須滿足域內的方程和邊界上的邊界條件.主要的困難在于難以完全滿足邊界條件.*物體一小部分邊界,只知合力,面力分布方式不明確圣維南原理可用于簡化小邊界上的應力邊界條件當前49頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·圣維南原理如果把物體小邊界上的面力,變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同,對同一點的主矩也相同).那么,近處的應力分量將有顯著的改變,但遠處所受的影響可以不計.FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2F/AF/A*只能應用在小邊界上*等效只對近處應力影響大*遠處應力可用等效后代替*集中力→均布力,便于求解當前50頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·圣維南原理FFF/AF/A*不滿足靜力等效,絕不成立FF*位移邊界條件難以滿足,也可用圣維南原理FF當前51頁，總共99頁。§2-7圣維南原理及其應用·圣維南原理FF/2F/2F/A當前52頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·推廣如果物體小邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于0）.那么,這個面力就只會使近處產生顯著的應力,而遠處的應力可以不計。主矢、主矩=0無面力當前53頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·推廣FF當前54頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·應用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(τxy

)x=±l

=±

fy(y)(σx

)x=±l

=±

fx(y)(1)嚴格的應力邊界條件

上式是函數方程，要求在邊界上任一點，應力與面力數值相等，方向一致，往往難以滿足。當前55頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·應用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(2)由已知面力等效*

應力的主矢量=面力的主矢量（給定）;*

應力的主矩=面力的主矩（給定）;當前56頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·應用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(2)由已知面力等效

將點點相等轉化為積分值相等當前57頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·應用xylOlh/2h/2δ=1

小邊界上邊界條件（x=±l）？σx(+)τxy(+)FNFSσx(+)τxy(+)(3)由已知合力等效

將點點相等轉化為積分值相等M當前58頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·應用xylOlh/2h/2δ=1

σx(+)τxy(+)FNFSσx(+)τxy(+)*同一小邊界上,應力的主矢量和主矩,分別等于面力的主矢量和主矩M*|應力的主矢量和主矩|=|面力的主矢量和主矩|*二者方向相同,應力主矢量和主矩正負號按應力分量規(guī)定確定正的應力×正的力臂=正的主矩圖中應力主矢和主矩都為正當前59頁，總共99頁?！?-7圣維南原理及其應用·圣維南原理(τxy

)x=±l

=±

fy(y)(σx

)x=±l

=±

fx(y)方程個數23方程性質函數方程（難滿足）代數方程（易滿足）精確性精確近似適用邊界大、小邊界小邊界等效前等效后當前60頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·問題的求解平衡微分方程幾何方程物理方程應力邊界條件位移邊界條件未知量：2個3個3個εx、γxyεy、u、vσx、σy、τxy8個可用消元法減少未知量和方程的個數當前61頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·基本未知函數*位移*應力位移邊界條件應力邊界條件·求解方法?位移法?應力法當前62頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·求解方法?位移法以位移分量作為基本未知函數只含位移分量的方程和邊界條件消元求解位移分量求應力、應變分量類似結構力學的位移法當前63頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·求解方法?應力法以應力分量作為基本未知函數只含應力分量的方程和邊界條件消元求出應力分量求應變、位移分量類似結構力學的力法當前64頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法①物理方程εx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)σx=E(εx+μεy)1-μ2γxyEτxy=2(1+μ)σy=E(εy+μεx)1-μ2當前65頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法②代入幾何方程εx=?u

?xεy=?v

?yγxy=?v

?x+?u

?yσx=E(εx+μεy)1-μ2γxyEτxy=2(1+μ)σy=E(εy+μεx)1-μ2σx=E1-μ2Eτxy=2(1+μ)?u

?x+μ?v

?yσy=E1-μ2?v

?y+μ?u

?x?v

?x+μ?u

?y當前66頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法③代入平衡方程?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=0E1-μ2?2u

?x2+1-μ2?2u

?y2+1+μ2?2v

?x?yE1-μ2?2v

?y2+1-μ2?2v

?x2+1+μ2?2u

?x?y+fx=0+fy=0位移法基本方程當前67頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法④應力邊界條件(lσx+mτxy)s=fx(s)(lσy+mτxy)s=fy(s)?u

?x+μ?v

?yl+m1-μ2?u

?x+?v

?ySE1-μ2=fx?v

?y+μ?u

?xm+l1-μ2?v

?x+?u

?ySE1-μ2=fy以位移表示的應力邊界條件⑤位移邊界條件(u)s=u,

(v)s=v當前68頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法*平面應變問題：E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ*優(yōu)點：適應各種邊界條件(應力、位移)

*缺點：方程復雜，解析求解困難

*應用：數值近似解法(有限元)當前69頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法例yhρgx解：一維問題，則有u=0,v=v(y),μ=0代入(2-18)式第1式滿足，第2式為d2v

dy2=-ρgE當前70頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法例yhρgx解：第1式滿足，第2式為d2v

dy2=-ρgE∴v=-ρg2Ey2+Ay+B

(a)將邊界條件(v)y=0=0,(σy)y=h=0代入(a)式,得A=ρghEB=0∴v=ρg2E(2hy-y2)σy=ρg(h-y)當前71頁，總共99頁?！?-8按位移求解平面問題·位移法例yhρgx解：v=-ρg2Ey2+Ay+B

(a)將邊界條件(v)y=0=0,(v)y=h=0代入(a)式,得A=ρgh2EB=0∴v=ρg2E(hy-y2)σy=ρg(h-2y)/2當前72頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法*基本未知量:σx

、σy、τxy*應變分量的表示:εx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)物理方程當前73頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法*位移分量的表示:位移難以用應力表示，存在待定積分項*邊界條件:應力法不能直接求解位移邊界條件問題，只能求解應力邊界條件問題*平衡方程:?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=03個未知量，2個方程，如何求解？當前74頁，總共99頁。?v§2-9按應力求解平面問題相容方程·相容方程*幾何方程:εx=?u

?xεy=?v

?yγxy=?v

?x+?u

?yεx對y求二階導數，εy對x求二階導數，相加可得?2εx

?y2+?3u

?x?y2?2εy

?x2=?3v

?y?x2+=?2

?x?y?u

?y

?x+消元γxy?2εx

?y2+?2εy

?x2=?2γxy

?x?y相容方程（形變協(xié)調方程）當前75頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·相容方程?2εx

?y2+?2εy

?x2=?2γxy

?x?y相容方程（形變協(xié)調方程）*εx、εy、γxy

不獨立,必須滿足相容方程;*不滿足相容方程的εx、εy、γxy

,不是彈性力學的解當前76頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·相容方程例εx=0,

εy=0,

γxy=Cxy由幾何方程前兩式，得?u

?x=0?v

?y=0u=f1(y)v=f2(x)∴由幾何方程第三式，可得=Cxy?v

?x+?u

?y矛盾當前77頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法*相容方程的應力表示:?2εx

?y2+?2εy

?x2=?2γxy

?x?yεx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)?2?y2(σx-μσy)?2?x2(σy-μσx)+=2(1+μ)?2τxy

?x?y含τxy當前78頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法*相容方程的應力表示:?2?y2(σx-μσy)?2?x2(σy-μσx)+=2(1+μ)?2τxy

?x?y含τxy?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=0?σx?x?τyx?y-fx=-?σy?y?τxy?x-fy=-2?2τxy

?x?y=-?2σx

?x2-?2σy

?y2?fx?x-?fy?y-當前79頁，總共99頁。?y2?y?y?y2§2-9按應力求解平面問題相容方程·應力法*相容方程的應力表示:+?2?2?x2(σx+σy)=-(1+μ)?fx?x?fy+由應力表示的相容方程E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ+?2?2?x2(σx+σy)=-?fx?x?fy+1-μ1平面應變問題當前80頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法*應力邊界條件:(lσx+mτxy

)s=fx(s)(lσy+mτxy

)s=fy(s)當前81頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法應力分量σx

,

σy

,

τxy必須滿足下列條件:(1)在區(qū)域內的平衡微分方程(2-2);(2)在區(qū)域內的相容方程(2-21)或(2-22);(3)在邊界上應力邊界條件(2-15)，假設只求解全部為應力邊界條件的問題;(4)多連體還要滿足位移單值條件.當前82頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法單連體：只有一個連續(xù)邊界的物體多連體：具有兩個或兩個以上連續(xù)邊界的物體(如：含孔的物體)單連體多連體單連體當前83頁，總共99頁?！?-9按應力求解平面問題相容方程·應力法位移單值條件：位移必須為單值多連體應力分量表達式含有待定的項，需要利用位移單值條件，才能完全確定應力分量當前84頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力很多工程問題,體力為常量.如：重力、常加速度下平移物體的慣性力當前85頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力的簡化fx、fy為常數?y?y2+?2?2?x2(σx+σy)=-(1+μ)?fx?x?fy+相容方程?y2+?2?2?x2(σx+σy)=0常體力的相容方程當前86頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力的簡化?y2+?2?2?x2(σx+σy)=0常體力的相容方程▽2(σx+σy)=0→▽2+?2?y2?2?x2調和方程（拉普拉斯方程）▽2:調和算子

σx+σy:調和函數*溫度場、電磁場、流場、引力場都服從調和方程.當前87頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力的簡化▽2(σx+σy)=0?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?τxy?x+fy=0(lσx+mτxy)s=fx(s)(lσy+mτxy)s=fy(s)平衡微分方程相容方程應力邊界條件不含彈性常數當前88頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力的簡化平衡微分方程平面應力問題平面應變問題相容方程應力邊界條件平衡微分方程相容方程應力邊界條件完全相同與材料屬性無關當前89頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力的簡化單連體應力邊界條件問題:AB外力相同形狀相同A軟σx

、σy

、τxy分布相同B硬＝AB＝σx

σy

τxyσx

σy

τxy平面應力平面應變σz

、形變、位移不相同材料不同為實驗和計算提供極大便利當前90頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數位移法方程:應力法方程:當前91頁，總共99頁?！?-10常體力情況下的簡化應力函數·常體力的簡化應力法方程的解:?σx?x+?τyx?y+fx=0?σy?y+?