bk07后兩篇篇課件5.3節(jié)數(shù)列與級(jí)數(shù)

5.3節(jié)數(shù)列和級(jí)數(shù)一．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列就是自變量為整數(shù)時(shí)的函數(shù)。MATLAB中的元素群運(yùn)算特別適合于簡(jiǎn)明地表達(dá)數(shù)列，可省去其他語(yǔ)言中的循環(huán)語(yǔ)句。下面就是一些例子：n=1:6;1./n=1.00000.50000.33330.25000.20000.1667(-1).^n./n= -1.00000.5000-0.33330.2500-0.20000.16671./n./(n+1)=0.50000.16670.08330.05000.03330.0238左端的算式表示這個(gè)數(shù)列產(chǎn)生方法的“通項(xiàng)”，它必須符合元素群運(yùn)算的規(guī)則，所以要充分注意用點(diǎn)乘、點(diǎn)除和點(diǎn)冪。例如(-1).^n就是產(chǎn)生交項(xiàng)數(shù)列符號(hào)位的算式，它在n取偶數(shù)時(shí)為正，而它在n取奇數(shù)時(shí)為負(fù)。在某些情況下，當(dāng)產(chǎn)生數(shù)列的運(yùn)算中包含數(shù)組運(yùn)算時(shí)，就不可避免地要用for循環(huán)。數(shù)列用for循環(huán)的表示方法比如計(jì)算n!（n的階乘），它應(yīng)該寫成prod(1:n),其中的n就不能是數(shù)組，因?yàn)閜rod(1:n)中已用了數(shù)組[1:n]。這時(shí)必須用：fork=1:6x(k)=1/prod(1:k);end,x得

x=1.00000.50000.16670.0417 0.00830.0014在MATLAB中數(shù)列隨n增加而變化的趨向很容易由計(jì)算其數(shù)值并作圖的方法來(lái)解決。但要求數(shù)列在n趨向∞時(shí)的極限時(shí)往往要藉助于符號(hào)數(shù)學(xué)，可以從下面的實(shí)例看出?！纠?-3-1】對(duì)下列各題的序列，問(wèn)：(i)。計(jì)算并畫出其前25項(xiàng)，判斷它是否收斂。若收斂，極限L是多少？(ii)。如果序列收斂，找到數(shù)N，使得n>N后的an都有 。如果要離極限L小于0.0001，序列該取多長(zhǎng)？

(1) ，(2) ，

(3) ，(4) ，解例5.3.1的程序解：◆只要會(huì)寫通項(xiàng)的表達(dá)式，程序是很簡(jiǎn)單的。用數(shù)值計(jì)算方法時(shí)，四個(gè)題可編在一起如下：程序exn531n=1:25;a1=n.^(1./n);a2=(1+0.5./n).^n;a3=sin(n);a4=n.*sin(1./n);plot(n,a1,n,a2,n,a3,n,a4)程序exn531的運(yùn)行結(jié)果得到的數(shù)列圖如右。在計(jì)算機(jī)屏幕上，四根曲線將用不同的顏色區(qū)分和標(biāo)注，在黑白印刷的書上只好另加字母?？梢猿醪脚袛?，除了a3以外，其他三組數(shù)列在n趨向于∞時(shí)都趨向于某極限L1,L2,L4。用符號(hào)數(shù)學(xué)求數(shù)列的極限求極限最好用符號(hào)數(shù)學(xué)來(lái)解，主要的不同是自變量n應(yīng)設(shè)為符號(hào)變量，所有的函數(shù)也要重寫一次，使它們也成為符號(hào)因變量，最好是在程序開始處用clear命令清除掉前面程序在工作空間中生成的同名數(shù)值變量。語(yǔ)句如下：clear,symsnL1=limit(n^(1/n),inf) %為了縮短語(yǔ)句，也可寫成兩句：a1=n^(1/n),L1=limit(n^(1/n),inf)L2=limit((1+0.5./n).^n,inf)L4=limit(n.*sin(1./n),inf)程序運(yùn)行后，得到L1=1,L2=exp(1/2),L4=1二．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無(wú)窮數(shù)列的累加稱為級(jí)數(shù)，當(dāng)取其前面若干有限項(xiàng)時(shí)，得到的是部分和。將數(shù)列a累加形成的新序列可用s=cumsum(a)實(shí)現(xiàn)，如果a的長(zhǎng)度是n，則s的長(zhǎng)度也是n。即每一個(gè)s(k)是數(shù)組a中前k項(xiàng)的和。注意cumsum與sum命令的區(qū)別，若ss=sum(a)，得到的是一個(gè)數(shù)，是序列s=cumsum(a)中最后一項(xiàng)ss=s(n)。因?yàn)樗前補(bǔ)中所有元素加在一起得到的最后結(jié)果。MATLAB中同樣有符號(hào)數(shù)學(xué)的累加命令，要注意它與數(shù)值計(jì)算的差別，主要是符號(hào)數(shù)學(xué)沒(méi)有數(shù)組累加成數(shù)組的命令，只有求一個(gè)求總和的累加命令symcum?！纠?-3-2】設(shè)級(jí)數(shù)（a） ,（b） ，試觀察它們的部分和序列變化的趨勢(shì)，如果是收斂的，計(jì)算出它們?cè)趎趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限值。解：(1)。用數(shù)值方法計(jì)算的程序exn532如下：clear,n=input('n=');k=1:n;a1=1./k.^2;s1=cumsum(a1);a2=1./k;s2=cumsum(a2);plot(k,s1,k,s2),gridons1(end),s2(end)程序exn532的運(yùn)行結(jié)果鍵入n=20時(shí)，得到圖形如圖，數(shù)值結(jié)果為：s1(end)=1.59616324391302s2(end)=3.59773965714368我們只能從圖形上猜測(cè)s1會(huì)趨向于一個(gè)極限，而s2就難說(shuō)了。用符號(hào)數(shù)學(xué)求部分和的程序clear,symsk,ss1_20=symsum(1/k^2,1,20)ss1=symsum(1/k^2,1,inf)ss2=symsum(1/k,1,inf)結(jié)果為：ss1_20=1.59616324391302ss1=1/6*pi^2=1.64493406684823ss2=inf三.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)【例5-3-3】

利用冪級(jí)數(shù)計(jì)算指數(shù)函數(shù)解：◆原理：指數(shù)可以展開為冪級(jí)數(shù)其通項(xiàng)為x^n/prod(1:n)，因此用下列循環(huán)相加程序就可計(jì)算出這個(gè)級(jí)數(shù);%輸入原始數(shù)據(jù)，初始化yx=input('x=');n=input('n=');y=1;%將通項(xiàng)循環(huán)相加n次，得yfori=1:ny=y+x^i/prod(1:i);end,y分別代入x=1,2,4,-4四個(gè)數(shù)，取n=10，結(jié)果如下表用級(jí)數(shù)計(jì)算指數(shù)的結(jié)果exp(x)nx=124-412.000000003.000000005.00000000-3.0000000022.500000005.0000000013.000000005.0000000032.666666676.3333333323.66666667-5.6666666742.708333337.0000000034.333333335.0000000052.716666677.2666666742.86666667-3.5333333362.718055567.3555555648.555555562.1555555672.718253977.3809523851.80634921-1.0952381082.718278777.3873015953.431746030.5301587392.718281537.3887125254.15414462-0.19223986102.718281807.3889947154.443104060.09671958有效數(shù)位7420此計(jì)算程序的缺點(diǎn)與問(wèn)題可以看出這個(gè)簡(jiǎn)單程序雖然原理上正確，但不好用，精度差別很大。問(wèn)題是：（1）只能用于單個(gè)標(biāo)量x的計(jì)算，不能用于x的數(shù)組運(yùn)算；（2）當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，它成為交項(xiàng)級(jí)數(shù)，它收斂很慢；（3）此程序要做n2/2次乘法，n很大時(shí)，乘法次數(shù)太多，計(jì)算速度低。（4）若x較大，n就要較大才能達(dá)到精度要求。因此n由用戶來(lái)輸入不科學(xué)，應(yīng)該由軟件按精度要求來(lái)選；程序改進(jìn)的方法（一）（1）?？紤]到數(shù)組和輸出顯示的程序如下：x=input('x=');n=input('n=');%輸入x,n,y=ones(size(x)); %初始化y fori=1:ny=y+x.^i/prod(1:i); %循環(huán)相加end

執(zhí)行此程序并輸入x=[1,2,4,-4]及n=10，可一次得出上表的計(jì)算結(jié)果。（2）。此時(shí)可以利用exp(-x)=1/exp(x)來(lái)避免交項(xiàng)級(jí)數(shù)的計(jì)算；程序改進(jìn)的方法（二）（3）。設(shè)一個(gè)中間變量z,它的初始值為z=ones(size(x)),把循環(huán)體中的計(jì)算語(yǔ)句改成

y=y+z;z=x.*z/i這樣求得的z就是z=x.^i/i!，于是每個(gè)循環(huán)只需作一次乘法，計(jì)算整個(gè)級(jí)數(shù)只需n次乘法。按這種算法，y的初始值應(yīng)改為y=zeros(size(x))。（4）。為了按精度選擇循環(huán)次數(shù)，就不該用for循環(huán)，而該用while語(yǔ)句，它可以設(shè)置循環(huán)繼續(xù)的條件語(yǔ)句。通?？扇+z-y>tol,tol是規(guī)定的允許誤差。只要相鄰兩次的y值之差大于tol，循環(huán)繼續(xù)進(jìn)行，直至小于tol為止。X太大時(shí)exp(x)程序的改進(jìn)為了使x不致太大，還可以利用關(guān)系式exp(x)=（exp(x/k))k，令x1=x/k, k通常取大于而最靠近x的2的冪。（即k=nextpow2(x)）例如x=100,就取k=128,這樣保證x1的絕對(duì)值小于1，級(jí)數(shù)收斂得很快。取十項(xiàng)保證有7位有效數(shù)。而exp(x1)128可化成x=(...((exp(x1))2)2...)2,即x1的七次自乘。用七次乘法就可完成。這既保證了精度，又提高了速度。不同階數(shù)泰勒級(jí)數(shù)的近似程度【例5-3-4】把一個(gè)多項(xiàng)式用泰勒級(jí)數(shù)表示,分析階數(shù)對(duì)逼近程度的影響.解:◆原理一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)可以精確地用泰勒公式展開,但必須取足夠高的階數(shù)(等于多項(xiàng)式的次數(shù)),否則就會(huì)產(chǎn)生誤差.在MATLAB中,多項(xiàng)式可以用其系數(shù)向量來(lái)表示,求值和求導(dǎo)用polyval和polyder命令可參閱本書4.3節(jié)。設(shè)多項(xiàng)式則它在附近展開的n階泰勒公式為這個(gè)公式是精確的，沒(méi)有誤差項(xiàng)：泰勒級(jí)數(shù)展開程序exn534此程序最高只到三階,如果輸入多項(xiàng)式系數(shù)向量a的長(zhǎng)度不大于4,則其高階泰勒展開式完全精確,如length(a)大于4,就會(huì)有誤差,讀者可自行試算.并考慮如何編寫更完美的程序. a=input('輸入多項(xiàng)式系數(shù)向量a=[]='); x0=input('展開點(diǎn)的坐標(biāo)值x0='); [xm]=input('展開坐標(biāo)區(qū)間[xmin,xman]=[]='); x=linspace(xm(1),xm(2)); %設(shè)定自變量數(shù)組

y=polyval(a,x); ya=polyval(a,x0); %求y在x0點(diǎn)的值y(x0)多項(xiàng)式泰勒展開程序(續(xù))Da=polyder(a),Dya=polyval(Da,x0); %求x0點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)D2a=polyder(Da),D2ya=polyval(D2a,x0);%求x0點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)D3a=polyder(D2a),D3ya=polyval(D3a,x0);%求x0點(diǎn)的三階導(dǎo)數(shù)yt(1,:)=ya+Dya*(x-x0); %一階泰勒展開%二階泰勒展開yt(2,:)=yt(1,:)+D2ya*(x-x0).^2/prod(1:2);%三階泰勒展開yt(3,:)=yt(2,:)+D3ya*(x-x0).^3/prod(1:3);plot(x,y,’.’,x,yt(1:3,:)),grid%繪圖,準(zhǔn)確值用點(diǎn)線表示程序xn534運(yùn)行結(jié)果輸入a=[2,-3,4,5];x0=1;xmin=0;xmax=2;得出圖5-3-1所示的三根曲線,本來(lái)應(yīng)有四根,但有兩根曲線是重合的,因?yàn)槲覀冚斎氲亩囗?xiàng)式系數(shù)向量長(zhǎng)度為4.讀者可試驗(yàn)輸入更長(zhǎng)的a來(lái)比較其結(jié)果.例5-3-5任意函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)編寫演示任意函數(shù)展開為各階泰勒級(jí)數(shù)的程序,并顯示其誤差曲線.解:◆原理 任意函數(shù)的泰勒展開式如下： 其中 為余項(xiàng)，也就是泰勒級(jí)數(shù)展開的誤差。泰勒展開程序exn535(1)fxs=input('輸入y=f(x)的表達(dá)式; %fxs是字符串K=input('輸入泰勒級(jí)數(shù)的展開階數(shù)K=(書上為5)');a=input('展開的位置x0=(書上為0.5)');b=input('展開的區(qū)間半寬度b=(書上為2)');x=linspace(a-b,a+b);%構(gòu)成自變量數(shù)組lx=length(x);dx=2*b/(lx-1); %數(shù)組x的長(zhǎng)度和間距y=eval(fxs); %求出y的準(zhǔn)確值%y的準(zhǔn)確曲線用點(diǎn)線繪出subplot(1,2,1),plot(x,y,'.'),holdon 泰勒展開程序exn535(2)%求出y在a點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù),注意數(shù)組求導(dǎo)后長(zhǎng)度減一Dy=diff(y)/dx;Dya(1)=Dy(round((lx-1)/2)); %一階泰勒展開,繪圖yt(1,:)=y(round(lx/2))+Dya(1)*(x-a);plot(x,yt(1,:))%求出a點(diǎn)2~k階導(dǎo)數(shù)和y的k階展開fork=2:KDy=diff(y,k)/(dx^k);Dya(k)=Dy(round((lx-k)/2));yt(k,:)=yt(k-1,:)+Dya(k)/p