基本不等式精品

一、新課引入第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日ADBCEFGHab不等式：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab證明推導1：第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日結論：如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)

以公式(1)為基礎,運用不等式的性質推導公式(2)這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法。如果a、b∈R,那么有(a-b)2≥0(1)把(1)式左邊展開，得a2-2ab+b2≥0∴a2+b2≥2ab(2)(2)式中取等號成立的充要條件是什么？證明推導2：第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日證明推導3：證明推導4：均值不等式的幾何解釋是:半徑不小于半弦.均值不等式的代數(shù)解釋為:兩個正數(shù)的等差中項不小它們的等比中項.兩個不等式的適用范圍不同第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日結論推廣公式

如果a1，a2，…，an>0，且n>1，那么

(a1+a2+···+an)/n

叫做這n個正數(shù)的算術平均數(shù)，

叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)。a1a2···ann結論：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，…，an>0，且n>1，那么(a1+a2+···+an)/n≥第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、新課講解其中當且僅當a＝b時取等號.第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、探索由a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式(2)，有a2+b2≥2ab;b2+c2≥2bc;c2+a2≥2ca.把以上三式疊加，得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca（a、b、c∈R）(3)(當且僅當a=b=c時取“=”號)

從以上推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法—迭代與疊加.證明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca（a、b、c∈R

）(當且僅當a=b=c時取“=”號)第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日變式：3種情況，5個結論：第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日推廣：（1）兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。（2）兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。應用要點：一正二定三相等2、(04重慶）已知則xy的最大值是

。練習：1、當x>0時，的最小值為

，此時x=

。21思考：當x<0時表達式又有何最值呢？第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日§3.基本不等式(2)第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、復習引入第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、新課講解第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.2第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日函數(shù)有最值，并求其最值。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日基本不等式3-應用第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1.用籬笆圍一個面積為100m2矩形菜園，

問這個矩形的長、寬各為多少時，所

用籬笆最短，最短的籬笆是多少？練習1:已知直角三角形的面積等于50，

兩條直角邊各為多少時，兩條直

角邊的和最小，最小值是多少？結論1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2.用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？練習2:用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形,應當怎樣折?結論2：兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值注意：在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個結論時，應驗證三點：“一正、二定、三相等”后才能取最值.當條件不完全具備時，應創(chuàng)造條件.第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3:

某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周圍墻建造單價為400元/m，中間兩道隔墻建造單價為248元/m，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最底造價。分析：設污水處理池的長為xm,總造價為y元，（1）建立x的函數(shù)y；（2）求y的最值.第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日設污水處理池的長為xm,總造價為y元，則解：y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x)+80×200=800x+259200/x+16000.當且僅當800x=259200/x,即x=18時，取等號。≥答：池長18m，寬100/9m時，

造價最低為30400元。

某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如上圖）。如果池四周圍墻建造單價為400元/m，中間兩道隔墻建造單價為248元/m，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最底造價。第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習3.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其

容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造

價為150元，池壁每1m2的造價為120元，

問怎樣設計水池能使總造價最低？

最低總造價是多少元？【解題回顧】用不等式解決有關實際應用問題，一般先要將實際問題數(shù)學化，建立所求問題的代數(shù)式，然后再據(jù)此確定是解不等式，還是用不等式知識求目標函數(shù)式的最值.第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

若正數(shù)x、y滿足x+2y＝1.求的最小值.【解題回顧】本題常有以下錯誤解法：

錯誤的原因在兩次運用平均不等式的時候取等號的條件矛盾.(第一次須x＝2y，第二次須x＝y(tǒng)).

求條件極值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，代換過程中應密切關注字母隱含的取值范圍，也可用三角代換的方法.練習4.第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()(A)充分而非必要條件(B)必要而非充分條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件6.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，則兩車到達B地的情況是()(A)甲車先到達B地(B)乙車先到達B地(C)同時到達(D)不能判定AA第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日7.某公司租地建倉庫，每