平面與平面垂直的性質(zhì)定理

平面與平面垂直的性質(zhì)定理第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日復習回顧：（１）利用定義［作出二面角的平面角，證明平面角是直角］（２）利用判定定理［線面垂直面面垂直］AB線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直的判定第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日αβEF思考2

如圖，長方體中，α⊥β,(1)α里的直線都和β垂直嗎？(2)什么情況下α里的直線和β垂直？與AD垂直不一定第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日思考3

垂足為B，那么直線AB與平面β的位置關(guān)系如何？為什么？αβABDCE垂直第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,且BECD=B垂足為B.∴AB⊥則∠ABE就是二面角的平面角.證明:在平面內(nèi)作BE⊥CD,αβABDCE第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日（線是一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）面面垂直線面垂直作用：

①它能判定線面垂直.②它能在一個平面內(nèi)作與這個平面垂

直的垂線.關(guān)鍵點：①線在平面內(nèi).②線垂直于交線.DCAB第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日思考4

設(shè)平面⊥平面，點P在平面內(nèi)，過點P作平面的垂線a，直線a與平面具有什么位置關(guān)系?aa直線a在平面內(nèi)βαPβαP第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日αβAbalB垂直第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日αβAbal分析：尋找平面α內(nèi)與a平行的直線.第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日解：在α內(nèi)作垂直于交線的直線b，

∵∴∵∴a∥b.

又∵∴a∥α.

即直線a與平面α平行.結(jié)論：垂直于同一平面的直線和平面平行（）.αβAbal第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日分析：作出圖形.abαβlγmnabαβlγnmA（法二）（法一）第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日在α內(nèi)作直線a

⊥n證法1：設(shè)在β內(nèi)作直線b⊥mαβlγabmn第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日在γ內(nèi)過A點作直線a⊥n，證法2：設(shè)在γ內(nèi)過A點作直線b⊥m，同理在γ內(nèi)任取一點A（不在m,n上），abαβlγnmA第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面.結(jié)論αβγl判斷線面垂直的兩種方法：①線線垂直→線面垂直；②面面垂直→線面垂直.如圖：第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日兩個平面垂直應(yīng)用舉例例題1

如圖4，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點，直線DE與平面VBC有什么關(guān)系？試說明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直徑上的圓周角，知∠ACB=90°。

因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC兩邊中點連線，知DE∥AC，故DE⊥VC．由兩個平面垂直的性質(zhì)定理，知直線DE與平面VBC垂直。注意：本題也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面的結(jié)論。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2．S為三角形ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求證：AB⊥BC。SCBAD證明：過A點作AD⊥SB于D點.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習1：如圖，以正方形ABCD的對角線AC為折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的兩個面，求BD與平面ABC所成的角。ABCDDABCOO折成第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.如圖，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，（1）求證：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝，求EC與平面ABCD所成的角。第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2012·北京模擬)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點.(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：平面BDE⊥平面BEC.第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日【證明】(1)取DE中點N，連接MN，AN.在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=CD.由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB,且MN=AB,所以四邊形ABMN為平行四邊形.所以BM∥AN.又因為AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)因為四邊形ADEF為正方形，所以ED⊥AD，又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD.又因為ED平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=，在△BCD中，BD=BC=，CD=4，所以BC⊥BD，BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE，又因為BC平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC.第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日［總結(jié)提煉］☆已知面面垂直易找面的垂線，且在某一個平面內(nèi)☆解題過程中應(yīng)注意充分領(lǐng)悟、應(yīng)用☆證明面面垂直要從尋找面的垂線入手☆理解面面垂直的