差分方程初步介紹

第一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日定義設(shè)函數(shù)yt=f(t)的定義域?yàn)閆+，其自變量t(通常表示時(shí)間)取正整數(shù)數(shù)得到數(shù)列：稱(chēng)yt+1-yt為函數(shù)yt的一階差分，記為2023/3/152第二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日由定義可知，函數(shù)yt=f(t)一階差分的差分稱(chēng)為其二階差分，記為由此可以看出，函數(shù)的一階差分仍為數(shù)列形式。2023/3/153第三頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日類(lèi)似地，可以定義三階差分：一般地，可依次定義k階差分：2、差分的性質(zhì)性質(zhì)1若a為常數(shù)，則Δa=0。性質(zhì)2若a、b為常數(shù)，則有2023/3/154第四頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)3性質(zhì)42023/3/155第五頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日二、差分方程的基本概念定義含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程稱(chēng)為(常)差分方程，出現(xiàn)在差分方程中的yi的下標(biāo)的最大值與最小值之差(或用Δ表示時(shí)差分的最高階數(shù))稱(chēng)為差分方程的階。例如31經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用到的是以下標(biāo)表示的差分方程。2023/3/156第六頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日定義若將函數(shù)yt=f(t)代入差分方程使其成為恒等式，則稱(chēng)函數(shù)yt=f(t)為此差分方程的解。對(duì)n階差分方程，若它的解中含有n個(gè)(獨(dú)立的)任意常數(shù)，則稱(chēng)這樣的解為n階差分方程的通解。為確定具體的函數(shù)解，需要給出一些條件，這樣的條件稱(chēng)為定解條件。若定解條件是在某些初始時(shí)刻的函數(shù)值，則稱(chēng)這樣的條件為初始條件。滿足定解條件的具體的解(不含任意常數(shù))稱(chēng)為差分的特解。2023/3/157第七頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日例如而滿足初始條件y0=1的特解為

。2023/3/158第八頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日三、一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式：其中a為已知常數(shù)，f(t)為已知函數(shù)。f(t)≠0時(shí)稱(chēng)為一階非齊次常系數(shù)線性差分方程，它對(duì)應(yīng)的齊次常系數(shù)線性差分方程為2023/3/159第九頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日定理1、齊次差分方程的通解其中C為任意常數(shù)。例答案2023/3/1510第十頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日2、非齊次差分方程的通解定理與微分方程的情況類(lèi)似，有以下結(jié)果：①②方程②的通解為yt=C(-a)t，若zt為①的一個(gè)特解，則①的通解為2023/3/1511第十一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日下面對(duì)f(t)討論，求非齊次方程的特解，從而求其通解。例答案例答案2023/3/1512第十二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日例答案例答案2023