小學數(shù)學奧數(shù)方法講義40講(二)

--第十一講

份數(shù)法———————————————姚老師數(shù)學樂園廣安岳池

姚文國把應用題中的數(shù)量關轉(zhuǎn)化為份數(shù)關系，并確定某一個已知數(shù)或未知數(shù)為1份數(shù)然后先求出這個1份數(shù)再以份數(shù)為基礎出所求的未知數(shù)的解題方法叫做份數(shù)法。（一）以份數(shù)法解和應用題已知兩個數(shù)的和及兩數(shù)的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的應用題叫做和倍應用題例某林廠有楊樹和槐樹共320棵，中楊樹的棵數(shù)是槐樹棵數(shù)的倍。求楊樹、槐樹各有少棵？（適于四年級程度）解：把槐樹的棵數(shù)看1份，則楊樹的棵數(shù)就是3數(shù)320棵樹就是（）份。因此，得：320÷（3+1）棵）………………槐樹80×3=240（棵）……………楊樹答略。-----例2甲乙兩個煤場存煤490噸已知甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存煤數(shù)量倍噸。甲、乙兩個煤場各存煤多少噸？（適于四級程度）解：題中已經(jīng)給出兩未知數(shù)之間的倍數(shù)關系：甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存數(shù)量的4倍10。因此可將乙煤場的存煤數(shù)量看作1份數(shù)煤場的存煤數(shù)量就相當于煤場存煤數(shù)量的4（份）數(shù)少10噸，兩個煤所存的煤90噸是（1+4）份數(shù)少噸，（）噸就正好（份數(shù)。所以乙場存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（噸）甲場存煤：490-100=390（噸）答略。例3媽媽給了李平10.80元錢，好可買4瓶啤酒，瓶香檳酒。李平錯買瓶酒，4香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香酒各是多少錢？（適于五年級程度）解：因為李平用買一啤酒的錢買了一瓶香檳酒，結果剩下0.60元這說明每瓶啤酒比每瓶香酒貴0.60元每瓶香檳酒的價錢看份，則瓶啤酒3香檳酒的-----10.80錢是（4+3）份數(shù)（）元，10.80-）元正好是（4+3份數(shù)。每瓶香檳酒的價錢是（10.80-0.60×4）÷（）=1.2元）每瓶啤酒的價錢是：1.2+0.60=1.80（元）答略。（二）以份數(shù)法解差應用題已知兩個數(shù)的差及兩數(shù)的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的應用題叫做差倍應用題例1三灣村原有的田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣年水田的畝數(shù)正好是旱田的3。該村原有旱田多少畝？適于五年級程度）解：該村原有的水田旱田多230畝（11-1），今年把35旱田改水田今年水田比旱田多出230+35×2=300（畝）。根據(jù)今年水的畝數(shù)正好是旱田的3，以今年旱田的畝數(shù)為1份數(shù)則水田比旱田多出的300畝就正好是份（圖11-2）。-----今年旱田的畝數(shù)是：（230+35×2）÷2=300÷2=150（畝）原來旱田的畝數(shù)是：150+35=185（畝綜合算式：（230+35×2）÷2+35=300÷2+35=150+35=185（畝）答略。*例2和平小學師生行去春游走出10.5千后，王東騎自行車去追趕經(jīng)過1.5時追上。已知王東騎自行-----車的速度是師生步行度的倍王東和師生小時各行多少千米？（適于五級程度）解：根據(jù)“追及距離追及時=度差”，可求出王東騎自行車和師生步行速度差是10.5÷1.5=7（千米小時）。已知騎自行車速度是步行速度的2.4倍，可把行速度看作是份數(shù)，騎自行車的速度是2.4份數(shù)，比步行速度多2.4-1=1.4（）。以速度差除以份數(shù)差，便可求出1份數(shù)。10.5÷1.5÷（2.4-1）=5千米小時）………步行的速度（千米小時）……………騎自行車的速度答略。（三）以份數(shù)法解變應用題已知兩個數(shù)量原來的數(shù)關系和兩個數(shù)量變化后的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)量應用題叫做變倍應用題。變倍應用題是小學數(shù)應用題中的難點。解答這類題的關鍵是要找出倍數(shù)的化及相應數(shù)量的變化而計算1”份（）數(shù)是多少。*例大、小輛卡車同時載貨從甲站出發(fā)，大卡車載的重量是小卡車的3倍。車行至乙站時，大卡車增加1400千貨物，小卡車增加了1300千克貨物這時，大卡-----車的載貨量變成小卡的2倍兩車出發(fā)時各載貨物多少千克？（適于五年級度）解：出發(fā)時，大卡車貨量是小卡車的3倍；到乙站時，小卡車增加了1300克貨物，要保大卡車的載貨重量仍然是小卡車的3，大卡車就應增加1300×3千克把小卡車增加1300千克貨物后的重看作1份，大卡車增加1300×3千克貨物的重量就是3份數(shù)。而大卡車增加了1400千克貨物后的載貨是2份數(shù)明3份數(shù)與2份之間相（1300×3-1400千克是份數(shù)，即小卡車增加1300克貨物后的載量。1300×3-1400=3900-1400=2500（千克）出發(fā)時，小卡車的載量是：2500-1300=1200（千克）出發(fā)時，大卡車的載量是：1200×3=3600（千克）答略。*例甲、乙個班組織體育活動，選出15名生參加跳繩比賽，男生人數(shù)剩下女生人數(shù)的2；又選出45名男生參加長跑比賽，后剩下的女生人數(shù)是剩下男生人數(shù)的5倍。這兩個班原有生多少人？（適于五年級程度）-----解：把最后剩下的男人數(shù)看作1份數(shù)，根據(jù)“最后剩下的女生人數(shù)是男生數(shù)的倍”知，剩下的女生人數(shù)為5份數(shù)。根據(jù)45名男生未參加長跑比賽“男生人數(shù)是下女生人數(shù)的倍，而最后剩下的女生人數(shù)5份數(shù)，可以出參加長跑前男生人數(shù)份數(shù)：5×2=10（份）因為最后剩下的男生數(shù)是數(shù)所參加長跑的45名男生是：10-1=9（份）每份的人數(shù)是：45÷9=5（人）因為最后剩下的女生數(shù)是數(shù)，所以最后剩下的女生人數(shù)是：5×5=25（人）原有女生的人數(shù)是：25+15=40人）綜合算式：45÷（5×2-1）×5+15=45÷9×5+15=25+15-----=40（人）答略。（四）以份數(shù)法解按例分配的應用題把一個數(shù)量按一定的例分成幾個部分數(shù)量的應用題，叫做按比例分配的應題。例一個工程隊分為甲、乙、丙三個，三個組的人數(shù)分別是人21人18人。現(xiàn)在要挖2331米的水渠，若按人數(shù)的比例把任分配給三個組，每一組應挖多少米？（適于六年級程度）解：甲、乙、丙三個應挖的任務分別是24份數(shù)份數(shù)、數(shù)，求出1份數(shù)后用乘法便可求出各組應挖的任務。2331÷=37（米）37×24=888米）…甲組任務37×21=777米）…乙組任務37×18=666米）…丙組任務答略。例生產(chǎn)同一種零件，甲要8分鐘，乙要6分鐘。甲乙兩人在相同的時間內(nèi)同生產(chǎn)539個零件人各生產(chǎn)多少個零件？（適于六年程度）解：由題意可知，在同的時間內(nèi)，甲、乙生產(chǎn)零件的個數(shù)與他們生產(chǎn)一個件所需時間成反比例。-----把甲生產(chǎn)零件的個數(shù)作1份數(shù)，那么，乙生產(chǎn)零件的個數(shù)就是：生產(chǎn)零件的總數(shù)539就是：甲生產(chǎn)的個數(shù)：乙生產(chǎn)的個數(shù)：答略。（五）以份數(shù)法解正例應用題成正比例的量有這樣性質(zhì)：如果兩種量成正比例，那么一種量的任意兩個值的比等于另一種量的兩個對應的數(shù)值的比。含有成正比例關系的，并根據(jù)正比例關系的性質(zhì)列出比例式來解的應用題叫做正比例應用題。這里是指以份數(shù)法解比例應用題。例某化肥廠4天產(chǎn)化肥32照這樣計生產(chǎn)256噸肥要用多少天？（適六年級程度）-----解：此題是工作效率定的問題，工作量與工作時間成正比例。以天生產(chǎn)的32噸1份數(shù)256噸里含有少個32噸，就有多少個4。4×）=4×8=32（天）答略。例每400粒大豆重24000粒豆重多少克？（適于六年級程度）解：每粒豆重，這一數(shù)量是一定的，因此大豆的粒數(shù)與重量成比例把大豆重克看作1份數(shù)，則24000大豆中包含多少個400粒24000粒大豆中就有多少個80。24000÷400=60（個）24000粒大的重量是：80×60=4800（克）綜合算式：80×（24000÷400=4800克）答略。（六）以份數(shù)法解反例應用題-----成反比例的量有這樣性質(zhì)：如果兩種量成反比例，那么一種量的任意兩個值的比，等于另一種量的兩個對應數(shù)值的比的反比。含有成反比例關系的，并根據(jù)反比例關系的性質(zhì)列出比例式來解的應用題叫做反比例應用題。這里是指以份數(shù)法解比例應用題。例有一批水果，每箱裝36千，可裝40箱。如果箱多裝千，需要裝多少箱？（適于六年級程度）解：題中水果的總重不變，每箱裝的多，則裝的箱數(shù)就少，即每箱裝的重與裝的箱數(shù)成反比例。如果把原來要裝的40箱看做1份么在需要裝的箱數(shù)就是原來要裝箱的：現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)是答略。-----天的用煤量看做份數(shù)那么改進爐灶后每天的用煤量是原來每天用煤量的用煤天數(shù)與每天用煤成反比例，原來要用24的煤，現(xiàn)在可以用的天數(shù)是答略。（七）以份數(shù)法解分應用題分數(shù)應用題就是指分的三類應用題，即求一個數(shù)的幾分之幾是多少；求一數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；已知一個數(shù)的幾分之幾是多少求這個數(shù)。例長征毛巾廠男職工人數(shù)比女職工數(shù)少，求女職工人數(shù)比男職工人多百分之幾？（適于六年級程度）解：從題中條件可知男職工人數(shù)相當于女職工人數(shù)的：如果把女職工人數(shù)看3份那么男職工人數(shù)就相當于其中的份所以，女職工人數(shù)比職工人數(shù)多：（3-2）÷2=50答略。-----那么黃旗占：如果把21黃旗看作1份數(shù)，數(shù)量“1”中包含有多少個，的總面數(shù)就是21多少倍。答略。棉花谷多少包？（適六年級程度）解：由題意可知，甲乙兩個倉庫各運走了一些棉花之后，甲倉庫剩下成份時，甲倉庫剩下的是2份；把乙倉庫的花分成5份時，乙倉庫剩下也是2份但是庫剩下的2比甲倉庫剩下的2份130包?？梢钥闯?，乙倉庫的1比甲倉庫的1份多出：-----130÷2=65（包）如果把乙倉庫原有的花減少5個65包把剩下的花平均分成份這時乙倉庫的每一棉花就與甲倉庫的每一份同樣多了。這樣，從兩倉庫棉花總數(shù)2600包減去5個65包，再把剩下的棉花平均成份（其甲倉庫8份，倉庫5份），其中的8就是甲倉庫原有的包數(shù)。（2600-）÷（8+5）×8=2275÷13×8=1400（包）……………甲庫原有的包數(shù)2600-1400=1200（包）…………乙倉庫原有的包數(shù)答略。（八）以份數(shù)法解工問題工程問題就是研究工量、工作時間及工作效率之間相互關系的問題，這種題的工作量常用整體“1”表。例一輛快車和一輛慢車同時從甲、兩站相對開出，經(jīng)12時相遇相遇后，快車又行8小時到達乙站。相遇后慢車還要行幾小時能到達甲站？（適于六年級程度）解：由“相遇后快車行8小時到達乙站”可知，慢車行12時的路快車只需行8小時。把快車行這段路程所的8小時看作1數(shù)，則慢車所需的份數(shù)是：-----答略。*例加工一零件，甲單獨完成需要30，乙單獨完成的時間比甲少解：由題意可知，甲獨完成需30天，單獨完成所需天數(shù)是：如果把乙工作的天看1數(shù)，那么甲完成相同工作量所需時間就答略。（九）以份數(shù)法解幾題-----*例一個正形被分成了大小、形狀完全一樣的三個方形（如圖11-3）。每個小長方形的周長都16厘米。這個正方形的周長是多？（適于五年級程度）解：在每個長方形中長都是寬的3倍換句話說，如果寬是份則長為3，每個長方的周長一共可分為：3×2+1×2=8（）因為每個長方形的周為厘米，所每份的長是：16÷8=2（厘米）長方形的長，也就是方形的邊長是：2×3=6厘米）正方形的周長是：6×4=24（厘米）答略。*例長方形寬的比是7∶3。如果把長減少厘米，把寬增加厘，那么這個長方形就變成了一個正方。求原來這個長方形的積。（適于六年級程度）解據(jù)題意設來長方形的長為7則寬就是3分，長與寬之間相差-----7-3=4份）由于長方形的長要減12厘米，寬增16米，長方形才能變成正方形，此原長方形長、寬之差為：12+16=28（厘米）看得出，份與28厘米相對應的，每一份的長度是：28÷4=7（厘米）原來長方形的長是：7×7=49（厘米）原來長方形的寬是：7×3=21（厘米）原來長方形的面積是49×21=1029（平方厘米答略。第十二講消元法在數(shù)學中，“元”就方程中的未知數(shù)。“消元法”是指借助消去未知數(shù)去解應題的方法。當題中有兩個或兩個以上的未知數(shù)時，要同時出它們是做不到的。這時要先消去一些未知數(shù)，使未知數(shù)少到一個，才便于找到解題的途徑。這種通過消去未知數(shù)個數(shù)，使題中的數(shù)量關系達到單一-----化，從而先求出一個知數(shù)，然后再將所求結果代入原題，逐步求出其他未知數(shù)解題方法叫做消元法。（一）以同類數(shù)量相的方法消元例買1張公桌和2椅子共用336元買1辦公桌和5把子共用540元。買1張公桌和1把子各用多少錢？（適于四級程度）解：這道題有兩類數(shù)：一類是辦公桌的張數(shù)、椅子的把數(shù)，另一類是錢數(shù)先把題中的數(shù)量按“同事橫對、同名豎對”的原則排列成12-1。這就是說，同一件事中的量橫向?qū)R，單位名相同的數(shù)量上下對齊。表12-1從表12-1第組的數(shù)量減去第①組對的數(shù)量關公桌的數(shù)量便消去，剩下有關椅子的數(shù)量：5-2=3把）3把椅子的錢數(shù)是：540-336=204（元）買把椅子用錢：204÷3=68（元）-----把買把椅子68元這個數(shù)量代入原可求出買1張辦公桌用的錢數(shù)：336-68×2=336-136=200（元）答略。（二）以和、、商、差代換某數(shù)的方法消元解題時，可用題中某個數(shù)的和，或某兩個數(shù)的積、商、差代換題中的某個數(shù)以達到消元的目的。1.兩個數(shù)的和代換某數(shù)*例甲、乙兩個書架共有584本，甲書架上的書比乙書架上的書少88。兩個書架上各有多少本書？（適于四年級程度）解：題中的數(shù)量關系用下面等式表示：甲乙=①甲88=乙②把②式代入①式（以與的和代換），得：甲甲+88=584甲×2+88=5842甲=584-88=496-----甲496÷2=248（本）乙248+88=336（本）答略。2.兩個數(shù)的積代換某數(shù)*例雙皮鞋和雙布鞋值242元，一皮鞋的錢數(shù)與雙布鞋錢數(shù)相同雙皮鞋各值多少錢適于四年級程度）解：因為1雙皮鞋與5雙布鞋錢數(shù)相同，所以雙皮鞋的錢數(shù)與5×3=15（雙）布鞋的錢數(shù)樣多。這樣可以認為242可以買布鞋：15+7=22（雙）每雙布鞋的錢數(shù)是：242÷22=11元）每雙皮鞋的錢數(shù)是：11×5=55元）答略。3.兩個數(shù)的商代換某數(shù)-----*例支鋼筆和12支圓珠筆值48元，一支鋼筆的錢數(shù)與4支珠筆的錢數(shù)一樣多。每支筆、圓珠筆各值多少錢？（適于五年級程）解：根據(jù)“一支鋼筆錢數(shù)與4支圓筆的錢數(shù)一樣多”，可用12÷4=3（支）的商12支圓珠換為3支鋼筆?，F(xiàn)在可以認為，用48元可以買鋼筆：5+3=8支）每支鋼筆值錢：48÷8=6（元）每支圓珠筆值錢：（元）答略。4.兩個數(shù)的差代換某數(shù)*例甲、乙、丙三個共有235元錢，比乙多，比丙多元。三個人各有少錢？（適于五年級程度）解：題中三個人的錢有下面關系：甲乙+丙235①甲乙80②甲丙90③-----由②、③得：=甲80④=甲90⑤用④、⑤分別代替①的乙、丙，得：甲（甲80+甲90）甲×3-170=235甲×3=235+170=405甲405÷3=135（元）乙135-80=55（元）丙135-90=45（元）答略。（三）以較小數(shù)代換大數(shù)的方法消元在用較小數(shù)量代換較數(shù)量時，要把較小數(shù)量比較大數(shù)量少的數(shù)量加上，做等量代換。-----*例18男學生和名女學生共采集松樹籽78克，每一名男學生比每一女學生少采集千克。每一名男、女學生各采集松樹籽多千克？（適于五年級程度）解：題中說“每一名學生比每一名女學生少采集1千克”，則名生比女生少采集1×18=18（千克）。假設這男生也是女生（以小代大）就應在千克上加上男生少采集的18千克樹籽。這樣他們共采集松樹：78+18=96（千克）因為已把18名學生代換為女學生所以可認為共有女學生：14+18=32名）每一名女學生采集松籽：96÷32=3千克）每一名男學生采集松籽：3-1=2（千克）答略。（四）以較大數(shù)代換小數(shù)的方法消元在用較大數(shù)量代換較數(shù)量時，要把較大數(shù)量比較小數(shù)量多的數(shù)量減去，做等量代換。-----*例勝利小學買來9個同的籃球和個同樣的足球，共付款432元已知每個足球比每個球貴8元籃球、足球的單價各是多少？（適于五年級程度）解：假設把5個足球換為5個球，就可少用錢：8×5=40（元）這時可認為一共買來球：9+5=14（個）買14個籃球共用錢：432-40=392（）籃球的單價是：392÷14=28元）足球的單價是：28+8=36（元）答略。（五）通過把某一組乘以一個數(shù)消元當應用題的兩組數(shù)量沒有數(shù)值相等的兩個同類數(shù)量時，應通過把某一組量乘以一個數(shù)，而使同一類數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)量然后再消元。*例匹馬、3羊每天共吃草38克；匹馬、只羊每天共吃草134千克一匹馬和一只羊天各吃草多少千克？（適于五年級度）-----解：把題中條件摘錄來，排列成表12-2表12-2把第①組中的數(shù)量乘3得12-3。表12-3第③組的數(shù)量中，羊只數(shù)是9只；②組的數(shù)量中，羊的只數(shù)也是9這便可以從第②組的數(shù)量減去第組的數(shù)量，從而消去羊只數(shù)，得到2馬吃草20千克。一匹馬吃草：20÷2=10千克）一只羊吃草：（10×2）÷3=18÷3=6千克）答略。（六）通過把兩組數(shù)以兩個不同的數(shù)消元-----當應用題的兩組數(shù)量沒有數(shù)值相等的兩個同類的數(shù)量，并且不能通過把一組數(shù)量乘以一個數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個數(shù)值相的數(shù)，而達到消元的目的時，應當通過把兩組數(shù)量分別乘兩個不同的數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)然后再消元。*例買3塊皮和6支筆用1.68元錢4塊橡和支鉛筆2錢一塊皮和一支鉛筆的價格各是多少錢？（適于五年級度）解：把題中條件摘錄來排列成表12-4。表12-4要消去一個未知數(shù)，把某一組數(shù)乘以一個數(shù)不行，要把兩組數(shù)分別乘以兩不同的數(shù)，從而使兩組數(shù)中有對應相等的兩個同一類的數(shù)因此，把第①組中的各數(shù)都乘以，把第②組中的各數(shù)都以3，得表12-5。表12-5③④得：鉛筆用錢0.72元，支鉛筆的價格是：0.72÷3=0.24（元）-----一塊橡皮的價格是：（0.24×6=（1.68-1.44）÷3=0.08（元）答略。*例有大杯和小杯若干個，它們的容相同?，F(xiàn)在5個大杯和3小杯里面放滿砂糖，共420；又往3大杯和5個杯里面放滿砂糖，共380克。求一個杯和一個小杯分別可以放入糖多少克？（適于五年級程度）解：摘錄題中條件排成表12-6表12-6把表12-6中組各數(shù)都乘以，②組各數(shù)都乘以，得表12-7。表12-7-----③④得：大杯放砂糖960克，所以，一個大杯里面可以放砂糖：960÷16=60克）一個小杯里面可以放砂糖：（60×5）÷3=（=40（克）答略。第十三講比較法通過對應用題條件之的比較，或難解題與易解題的比較，找出它們的聯(lián)系與區(qū)，研究產(chǎn)生聯(lián)系與區(qū)別的原因，從而發(fā)現(xiàn)解題思路的解題法叫做比較法。在用比較法解應用題，有些條件可直接比較，有些條件不能直接比較。在件不能直接比較時，可借助畫圖、列表等方法比較，也可當變換題目的陳述方式及數(shù)量的大小，創(chuàng)造條件比較。（一）在同一道題內(nèi)較在同一道題內(nèi)比較，是在同一道題的條件與條件、數(shù)量與數(shù)量之間的比較不涉及其他題目。1.接比較-----例1五年級甲班要一些樹。如果每人種5棵，則剩下75棵如果每人種棵則缺15問這個班有多少？這批樹苗有多少棵？適于四年級程度）解：將兩種分配方案行比較，就會發(fā)現(xiàn)，第二次比第一次每人多種：7-5=2棵）第二次比第一次多種75+15=90棵）90棵中含有多少個2棵就是全班的人數(shù)：90÷2=45人）這批樹苗的棵數(shù)是：5×45+75=300（）或7×45-15=300（）答略。*例四季茶莊購進兩批茶葉，第一批35箱綠茶15箱紅茶共重2925克二批有35綠和28箱紅茶，共重3640千克。兩種茶葉每箱各重多少千克？（于五年級程度）解：將前后兩批茶葉箱數(shù)與箱數(shù)、重量與重量分別比較，可發(fā)現(xiàn)，第二批茶箱數(shù)比第一批紅茶箱數(shù)多：28-15=13箱）-----第二批紅茶比第一批茶多：3640-2925=715（千克）因此，可得每一箱紅重量：715÷13=55千克）每一箱綠茶重量：（2925-55×15）÷35=（2925-825）÷35=2100÷35=60（千克）答略。2.圖比較有些應用題由于數(shù)量系復雜、抽象，不便于通過直接推理、比較看出數(shù)量系，可借助畫圖作比較，就容易看出數(shù)量關系。解：作圖13-1，比較已修過米數(shù)與未修米數(shù)的關系。-----可看出，這段公路一分為7+2）份。答略。3.表比較有些應用題適于借助表的方法比較條件。在用列表的方法比較條件時，要題中的條件摘錄下來，盡量按“同事橫對，同名豎對”的式排列成表。這就是說，要盡量使同一件事情的數(shù)量橫著齊，使單位名稱相同的數(shù)量豎著對齊。例趙明準備買2克蘋果和千克梨，共帶6.8錢。到水果店后，他買了千克蘋果和2千梨，結果缺了0.4元錢。求每千克蘋果梨各多少元錢？（適于五年級程度）解：摘錄已知條件排成表13-1表13-1-----比較①、②兩組數(shù)量看出：由于多買了千克蘋果，少買了千梨，才缺了0.4?？梢娗Э颂O比1千克梨元從買千克蘋、千克梨的6.8元中去掉買千克蘋果多用的錢便可以買2千克蘋果當成買2千梨則一共買梨（千克，用錢：6.8-（元）每千克梨的價錢是：6÷（2+3=1.2元）每千克蘋果的價錢是1.2+0.4=1.6元）答略。（二）和容易的題比較當一道應用題比較復時，可先回憶過去是不是學過類似的較容易解的題憶起來后可行比較找出聯(lián)系，從而找到解題途徑。1.常見題比較例名騎兵輪流騎匹馬，行千米遠的路程，每騎馬行的路程相等。求人騎馬行的路程是多少？（適于四年級程度）小學生對這類題不易解，如與下面的常見題作比較就容易理解了。-----有籃蘋果，每籃個，平分給人，每得幾個？把這兩道題中的條件摘錄下來，一一對應地排列起來：3匹馬…籃果每匹馬都行8千米…………每籃都裝個蘋果4人騎馬行的路程相…人到的蘋果一樣多解答“蘋果”這道題方法是：8×3÷4通過這樣的比較，自會想出解題的方法。解：8×3÷4=6（千米）答：每人騎馬行的路是6千米。2.基本題比較例甲、乙兩地相距10.5千，某人從甲地到乙地每小時走5千乙地到甲地每小時走3千米他往返于甲、乙兩地的平均速度。適于五年級程度）在解答此題時有的學可能這樣解（千米）。這是錯誤的。把上題與下面的題作較，就會發(fā)現(xiàn)問題。甲地相距千人從甲地到乙地走了4時，他每小時平均走多少米？-----解此題的方法是：12÷4=3（千米）。這是總路程總的時間平均速度。前面的解法不符合“路程÷總時=平均速度”這個公式，所以是錯誤的解：本題的總路程是總時間是：所以他往返的平均速是：10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3=3.75（千米/時）答略。3.逆向題與順向題比較例王明與李平共有若干塊。王明的糖比李平的糖多題，不易找出解題方。把這道題與類似的一順向思維的題比較一下，就可得出解題方法。-----答略。（三）創(chuàng)造條件比較對那些不能以題中現(xiàn)條件與相關條件進行比較的應用題，應適當變換條件創(chuàng)造可以比較的條件，再進行比較。*例1學校食堂第一次買來2袋米和3袋面粉275千克第二次買來袋大米和4袋面粉共千克求袋大米和1面粉各重多少千克？（于五年級程度）解：摘錄題中條件，列成13-2。表13-2從表13-2中條件看題中條件不能接比較此要創(chuàng)造條件比較。因為大米袋數(shù)和的最小公倍數(shù)是10以把第一次買來的袋數(shù)乘以（把面粉的袋數(shù)3重275要乘以-----5），把第二次買來的袋數(shù)乘2（把面粉的數(shù)，重量600也乘以2），得表13-3。此時題中條件便可以較了。表13-3看表13-3，兩次買來糧食的數(shù)量比較下，大米的袋數(shù)相同，面粉第一次第二次多買：15-8=7（袋）因此，第一次買的糧比第二次多：1375-1200=175（千克）每袋面粉重：175÷7=25（千克）每袋大米重：（25×3）÷2=（275-75）÷2=100（千克）答略。-----*例鉛、2橡皮、卷筆共值2.35元；支鉛筆、塊皮、4把卷筆共值3.30元；3支鉛筆、塊橡皮5把卷筆刀值4.05元。1支鉛筆橡皮、1把卷筆刀各值多少？（適于五年級程度）解：摘錄題中條件排成表13-4表13-4從表13-4看題中條件不能直接比較因此，要創(chuàng)造條件比較。因為橡皮的塊數(shù)的最小公數(shù)是以①，，③×2，得表13-5。此時題中條件便可以比較了。表13-5⑥⑤，得：2支鉛筆價錢+卷筆刀價錢1.5（元），，1支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢0.75（元）………⑦-----⑥④，得：3支鉛筆價錢+卷筆刀價錢1.05（元）………⑧⑧⑦，得：2支鉛筆價錢=0.30（元）1支鉛筆價錢=0.15（元）把支鉛筆價錢0.15元代入⑦把卷筆刀的價錢是：0.75-0.15=0.60（元）根據(jù)①可求出一塊橡的價錢數(shù)：（2.35-0.15-0.6×3=0.2元）答略。*例甲、乙兩人共需做140零件，甲做了自己任務的80％，乙做了自己任務的％，這時、乙共剩下32個零件未完成。求甲乙兩人各需做多少個零件？（適于六年級程度）解：已知“甲做了自任務的80，乙做了自任務的75”后共剩下零件，甲、乙人所做零件個數(shù)不相-----等，因此，甲所做零的80％乙所做零件的％不可直接比較。此時就要創(chuàng)條件比較了。已知甲做自己任務的80％，設乙也做自己任務的80，那么甲乙就共剩下零件：140×（％）=28（）這比原來已知的“甲乙共剩下32個零”少：32-28=4個）這個所對應的分率是：80-75％=5％所以，乙需做的零件：4÷5=80個）甲需做的零件是：140-80=60（）答略。第十四講

演示法對于那些不容易理解分析數(shù)量關系的應用題，利用身邊現(xiàn)成的東西，如鉛、橡皮、小刀、文具盒等，進行演示，使應用題的內(nèi)容形象，數(shù)量關系具體化，這種解題的方法叫做演示法。-----例1一根繩子正好成一個邊長為分米的正形。如果用它圍成長是8米的長方形問其寬應當是多少分？（適于三年級程度）解：對這道題一般同都會用這樣的方法解答：5×4÷2-8=2（分米）然而這并不是最簡捷解法，要用更簡捷的解法，我們可以做下面的試驗：用一根細鐵絲圍成一邊長是5分米正方（圖14-1。把正方形的細鐵絲從斷開。這時部分、CDA分都是正方形邊長的。（）ABC那部分或CDA部分）拉直，折出8米長的一段與另一段的角（圖14-2）。此時會看到8分米長的這段是長方形的長，與分米長的邊成直角的那段是長方形的寬。到此，很容易得出，長方形的寬也可以用下面的方法：-----5×2-8=2（分米）答略。*例有一列火車120米每時千的速度通過一座長150米的隧道從火車頭進隧道到火車尾部離開隧道共需要多長時？（適于五年級程度）解：求火車過隧道的間，必須知道過隧道的速度和所行的路程。速度已知因此，解此題的關鍵是求出火車頭從進隧道到火車尾部離隧道所行的路程。為弄清這個問題，我做下面的演示。用文具盒當隧道，用筆當火車。用圖14-3表火車剛剛要進隧道時的景，用圖14-4表示火車車尾正好離隧道時的情景。從圖14-4可出：火車從車頭進隧道到車尾離開隧道，所行的路程等于道長與車身長之和。到此，便可求出火車從進隧道到車尾離開隧道所用的時間。-----分步列式計算：（）車每秒行：1000×18÷3600=5米）（）車通過隧道共行的米：150+120=270（米）（）車通過隧道需時間是270÷5=54（秒）綜合算式：（150+120（1000×18÷3600）=270÷5=54（秒）答略。*例兄弟二人早晨五點鐘各推一車菜時從家里出發(fā)去集市。哥哥每分鐘100米，弟弟每分鐘走60米。哥到達集市后分鐘卸完菜，立即返回途中遇到弟弟，這時是點55分問集離他們家有多遠適于五年級程度）解：本題可用橡皮、蓋分別代表“家”與“集市”，放在桌面的兩端，用支鉛筆代表兄弟二人實際走一走。如（圖14-5）。-----圖14-5線表示弟弟走的路程虛線表示哥哥走的路程。從演示中可以看兄弟二人共走的路程是從家到集市路程的2倍因此，只要求出兄弟人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。[60×55+100×55-5）]÷2=[3300+5000]÷2=4150（米）答略。*例一個分米高的圓柱體它側(cè)面積是62.8平方分米，求圓柱體的體。（適于六年級程度）解：要求圓柱體的體就要知道圓柱底面圓的半徑是多少。從表面看，題中有告訴圓柱底面圓的半徑是多少，這可怎么辦呢？做了下的演示，問題就得到解決了。用一張長方形的紙卷一個圓柱形，再把圓柱形展開，展開后看到圓柱形的面是個長方形。長方形的寬就是圓柱的高，長方形的長就圓柱底面圓的周長。知道了圓柱底面圓的周長，就能算出柱體底面圓的半徑。（）柱體底面圓的周長是62.8÷5=12.56（分米）-----（）柱體底面圓的半徑是分米）（）柱體的體積是：3.14×2×2×5=62.8（立方分米）答略。*例從三點鐘到四點鐘之間面上針和分針什么時刻會重合？什么時刻一直線？（適于高年級程度）解：此題很抽象，可有活動指針的時鐘教具做演示來理解題中的數(shù)量關系看圖14-6，為鐘的指針是順時針方向動的，所以在3點鐘時，時針在分前面。要使兩針重合，分針就要追上時針。我們把分針轉(zhuǎn)動一圈分針走60格時針才走個小格，因此，在-----分針要與時針成一條線針不僅要追上時針15格的距離，還要超過30的距離，總計要“追”15+30）格的距離?！白贰保?5+30格的路程要用多長時間呢？時針成一條直線。答略。*例一列快車全長151米秒鐘行列慢車全長254米，每秒鐘行12米。兩相對而行，從相遇到離開要用幾秒鐘？（適五年級程度）解：要求兩車從相遇離開要用幾秒鐘，必須知道兩車從相遇到離開走多長路程。為弄清這個問題，我做下面的演示：用一支鉛筆作慢車，另一支鉛筆作快車。先讓它們相圖讓它們從相對運行到正好離圖14-8看圖14-8會到：兩車共行的路程是個車身長的和。到此，可算出：-----（）÷15+12）=405÷27=15（秒）答：兩車從相遇到離需要15秒。第十五講列表法把應用題中的條件簡地摘錄下來，列表分類整理、排列，并借助這個表格析、解答應用題的方法叫做列表法。在用列表法解題時，仔細判斷題中哪些數(shù)量是同一件事中直接相關聯(lián)的，些數(shù)量是同一類的。排列數(shù)量時，要盡量做到“同事橫對，“同名豎對”。這就是說，要使同一件事中直接相關聯(lián)數(shù)量橫向排列，使同一類的、單位名稱相同的數(shù)量豎著排，還要使它們的數(shù)位上、下對齊。這樣就可以在讀題、表的過程中正確識別數(shù)量，選擇數(shù)量，理解數(shù)量之間聯(lián)系、區(qū)別，理清思路，為下一步的分析、推理作好準備（一）通過列表突出目的解法特點有些應用題的解法具一定的特點，如果把題中的條件按一定的格式排列，理成表，則表格會起到突出題目解法特點的作用。例1桌子上放著黃紅、綠三種顏色的塑料碗只黃碗里放著個璃球只紅碗里放著75個玻璃球只-----綠碗里放著個玻球每只碗里玻璃球的個數(shù)同，每只碗里應放多少個璃球？（適于四年級程度）解：摘錄題中條件，列成表15-1。表15-1求每只碗里應放多少球，要先求出一共有多少個碗，和在這些碗中一共放多少個球。由于表15-1中把碗的只數(shù)排列在前一豎行，球的個數(shù)排列在另一豎行，所以只要看著表15-1豎著排列的碗的只數(shù)和的個數(shù)，便可算出碗的總數(shù)和玻璃球的數(shù)，從而使問題得以解決。（）÷（3+5+2=150÷10=15（只）答：平均每只碗里應15個玻璃球。例2荒地村砂場用3輛汽車火車站運送砂子5天了180噸這樣計算用4輛同樣的汽15天可以運送多少噸砂子？（適于年級程度）解：摘錄題中條件，列成表15-2。表15-2-----解此題的要點是先求單位數(shù)量表15-2中于汽車的輛數(shù)、運送的天數(shù)噸數(shù)這三個直接相關聯(lián)的數(shù)量排在同一橫行此便于想180÷5得到輛車1天多少噸，180÷5÷3就到一輛車一天運多少噸便可想到出4輛車1運多少噸，15天運多噸。求輛車天運送多少噸砂的方法是：180÷5÷3×4×15=12×4×15=720（噸）答略。例3甲校買8排球，5個籃球，共用，乙校買同樣的個球5個球共295元求一個排球需要多少錢？（適于四級程度）解：摘錄題中條件，列成表15-3。表15-3-----從表15-3可看出二校所買籃的個數(shù)一樣多，甲校比乙校多用錢：415-295=120（元）甲校比乙校多買排球是：8-4=4個）所以，每個排球的賣是：120÷4=30（元）答略。例要把賣角錢500克的紅辣椒和賣35分錢500克的青辣椒混合起，賣4角1分錢500克，應怎樣的比例混合，賣主和客才都不吃虧？（適于六年級程度）解：摘錄題中條件，列成表15-4（為便于計算表中錢數(shù)都以“分”為單）。表15-4要使賣主與買主都不虧，就要使紅辣椒損失的錢數(shù)與青辣椒多收入的錢數(shù)樣多。由表15-4看出，當紅辣椒損失，青辣椒多收入18分時，恰好達要求。因為每克辣椒與青辣椒混合時，紅辣椒少賣分錢，當損失18分，則有500×2克紅辣椒；同理，青-----辣椒與紅辣椒混合時每500克青辣要多賣分錢，要多賣時，就要有3個500才行即克青辣椒。所以，紅辣椒與青辣混合的比應是：500×2∶500×3=2∶3答略。*例甲種酒每賣元角分乙種酒每500克賣1元2角丙種酒每賣9分現(xiàn)在要把三種酒混合成每500克賣1元14分的酒，其中乙酒與丙種酒的比是3∶2。求混酒中三種酒的重量比。（適于六年級程度）解混合酒中甲種占的份數(shù)是x為便于計算題中錢數(shù)都以“分”為單位摘錄題中條件，排列成表15-5。表15-5從表15-5可看出當三種酒的混合比x∶3∶2混合酒的價錢是114分時，混合酒中每500克甲種酒損失（少賣）分錢，每500乙種酒要損失分錢，而每500克種酒要收益（多賣）分錢。當乙、丙兩種酒的混比是3∶2時，假設乙、丙兩酒分別是千千克這兩酒的混合液可以多賣錢：-----18×2-6×3=18（分）當三種酒按x∶2的例混合，收益的分錢應與甲種酒的損失抵消為三種酒混合時每500甲種酒損失所以18是的幾分之幾甲酒在三種酒的混合液中就占克幾分之幾：答：混合酒中三種酒重量比是3∶15∶10（二）通過列表暴露目的中間問題解答復合應用題的關，是找出解答最后問題所需要的中間問題（隱藏量）應用題的步驟越多，需要找出的中間問題就越多，解答的程就越復雜。在用列表法解應用題，由于題中數(shù)量是按“同事橫對，同名豎對”的規(guī)律排在表中，所以便于思考求最后的問題需要哪些數(shù)量，這些量中哪些是已知的、哪些是未知的中間問題。同時也便于考怎樣求出中間問題，并在必要時把求中間問題的算式寫表中。這樣，中間問題便暴露于表格中，和已知數(shù)處于平的地位，從而排除了思維道路上的障礙，減輕了解題的難。*例張老師買了千克蘋果，千克梨，用5元。王老師買的蘋果是張師的倍，的梨是張老師的3倍，-----比張老師多用6.8元。問每一千克蘋果、每一克梨的價錢各是多少元？（適于年級程度）解：摘錄題中條件，列成表15-6。表15-6，由于張老師買的蘋是2克、梨是3千克，共用5錢，都已寫在表，因此很容易在表中寫出王老師買的蘋果是2×2克，王師買的蘋果恰好是張老師的倍，也容易寫出王老師買的梨3×3克，王老師買的梨比張老師的2倍多3×（3-2）千克即多3千克。表15-6王老師共用錢5+6.8元，王老師買水果用的錢比張師買水果用的錢的2倍多（5+6.8（元這1.8就是買千梨用的錢，所以千克梨的價是：1.8÷3=0.6（元）1千克蘋果的價錢是（0.6×3）÷2=（）÷2-----=1.6元）答略。*例有甲、乙、丙三桶油，先取出甲油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中；取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中；最后取出丙油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中。這時3桶正好都是16千克。問來每桶中各有油多少千克？（適于高年級程）解：此題的中間量比多，需要從題中最后的結果逐步往前推理，把推出的果寫在表中，就能求出原來每桶各有多少千克油?？幢?。表15-7（）于最后取出丙桶油的半，平均倒在甲、乙兩桶中桶油正好是克因在表15-7中橫寫上甲、乙、丙三桶油都16千克而在丙桶未向甲、乙兩桶倒油之前，丙桶中有：16×2=32千克）丙桶油的一半是16千，把這16千平均倒在甲乙兩桶中時，倒入每一桶油是：16÷2=8（千克）-----所以，在丙桶未向甲乙兩桶倒油時，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在、丙兩桶中”后，甲、乙兩桶中分別有油8千。在表15-7中乙倒完后一欄的后面橫寫上甲、乙、丙三桶分別有油8克、千克、千克。（）據(jù)取出乙桶油的一半均倒在甲、丙兩桶中后，乙桶中還剩千克油，甲桶中有油千克，丙桶中有油32千克可以推出原來桶中有油16千克乙桶油的一半是：16÷2=8（千克）8千克的一半是4千。所以，在乙桶未向甲、丙兩桶倒油之前“取出桶油的一半平倒在乙丙兩桶中”后，甲桶中有油：8-4=4（千克）丙桶中有油：32-4=28千克）在表15-7中甲倒完后一欄的后面橫寫上甲、乙、丙三桶分別有油：千克、16千克、克。（）“取出甲桶油的一半平均倒在乙、丙兩桶中”之后，甲桶中還剩下4克油，可以推出甲桶原來有油4×2=8千克）-----8千克的一半是4千，4千的一半是2千克。由甲桶向乙、丙兩桶倒完后，乙、丙兩桶分別有油6千28千克，由此可推出、丙兩桶原來分別有油：16-2=14千克）28-2=26千克）答略。第十六講倍比法解應用題時，先求出中兩個對應的同類數(shù)量的倍數(shù)，再通過“倍數(shù)”去求未知，這種解題的方法稱為倍比法。（一）用倍比法解歸問題可以用倍比法解答的用題一般都可以用歸一法來解（除不盡時，可以用數(shù)、小數(shù)來表示），但用倍比法解答要比用歸一法簡便。際上，倍比法是歸一法的特殊形式。為計算方便，在整數(shù)圍內(nèi)，如果用歸一法除不盡時，可以考慮用倍比法來解。之，運用倍比法除不盡時，也可以考慮改用歸一法來解。根據(jù)題目中的具體條件，選擇最佳解法。例1一臺拖拉機3耕地175畝照這樣計算這拖拉機可以耕地多少畝？（適于三級程度）解：這道題實質(zhì)上是一問題。要求15耕地多少畝，只要先求出每天耕地少畝就行了。但175不能被整除，所以在整數(shù)范圍內(nèi)此不便用歸一法來解。因題目中的同一類數(shù)兩個天數(shù)成倍數(shù)關是3的倍-----并且拖拉機的工作效又相同，所以另一類量（兩個耕地畝數(shù)間也必然有相的倍數(shù)關（15天耕地數(shù)也應是3天耕地畝數(shù)的5）。先求15天是天幾倍：15÷3=5倍）再求175畝5倍多少畝：175×5=875畝）綜合算式：175×（15÷3）＝175×5＝875（畝）答：15天可以耕地875畝。例23臺拖拉機一天地畝。要160畝地在一天內(nèi)耕完，需要多少臺樣的拖拉機？（適于三年級程度）解：先求出160畝畝的幾倍：160÷40=4（倍）再求耕畝需要多少臺同樣的拖拉機：3×4=12（臺）綜合算式：3×）-----=3×4=12（臺）例工廠運來噸煤，先用其中的13噸煉出9750克焦炭。照這樣計算，剩下的煤以煉出多少千克焦炭？（適于四年程度）用歸一法解：先求出噸煤可煉出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以煉多千克焦炭：9750÷13×52-13）=750×39=29250千克）用倍比法解：先求出52噸里有幾個，然后去掉煉的一個噸得：9750×（52÷13-1=29250千克）答略。例4某糧食加工廠3臺磨粉機6小磨小麥1620千克。照這樣計算5臺磨機8小時以磨小麥多少千克？（適于五年級程度）用歸一法解：1620÷3÷6×5×8=540÷6×5×8=90×5×8-----=3600（千克）用倍比法解：把一臺粉機工作1小時看作一個新的量--1臺小時3臺磨粉機工作6小時，就是3×6臺小時，5臺磨粉機工作8時，就是5×8臺小時。只求出5×8臺小時是3×6臺小時的幾倍，么5粉機8小時磨的小麥就是1620千克小麥的幾倍。答略。例5甲、乙兩輛車別從東、西兩城同時相對開出小時后相遇，相遇后車再經(jīng)過小時到達西城。求乙車再經(jīng)過幾小時可以到達城？（適于五年級程度）解：用圖16-1表示題中的數(shù)量關系?？磮D16-1中車相遇點右側(cè)的路程所走的路程一樣長。但走這段路甲用2小時乙卻用了時。就是說，走同樣的路程，乙用的時間是甲的4÷2=2倍。再看相遇點左側(cè)的路程甲走這段路程用了4小時因為走同樣長的路程時乙用的間是甲的2倍，以，乙由相遇點到達東城的時間是4時的2倍。4×（4÷2）=8（小時）-----答：乙車再過小時可以到達東城（二）用倍比法解工問題用倍比法解工程問題不用設總工作量為“”，學生較易理解，尤其是解某較復雜的工程問題，用倍比法解比較簡捷。例1一項工程，由工程隊修建，需要20完成；由乙工程隊修建要30天完成合需要多少天完成？（適于六年級程度）解為甲工程隊修20的工作量相當于乙工程隊建30的工作在把乙隊30天工作量看作總工作量時隊一天修的工作量是，則=12（天）-----答略。例2一件工作單獨一個人完成，甲要用8小，乙要用12時。若先單獨做小時，下的由乙單獨做完，則乙需要做多少小時（適于六年級程度）解：因為甲8小時的工作量相當于乙12小時工作量，所以，甲1時作量，剩下的便是乙獨做完這項工作所需要的時間：在把甲小時的作量看作工作總量時，甲1小的工作量是1，則乙答略。-----例3某工程由甲、兩隊合做12天完成，現(xiàn)在兩隊合做天后，下的再由甲隊單獨做10天可以完成。問隊單獨完成這項工程需多少天？（適于六年級程度）解：甲、乙兩隊合做天后，共同完成剩下的工作量，需要的天數(shù)是12-4=8（）。這8天的工作量是甲、乙需合做8天能完成的工作量。這天的工作量，甲單獨做10天成，就是說，甲、乙合做1天工作（天），再加上后來單獨工作的0天，可得到甲隊單獨完成這項工程需的天數(shù)：答略。例4一項工程甲單做10天完成乙單獨做15天完成?，F(xiàn)在先由乙隊做干天后，甲再參加4天就做完了。那么乙先單獨做了多天？（適于六年級程度）解：因為這項工程，單獨做10完成，而只做了4天，所以10-4=6天），這6天的工作量是由乙做的。而乙天的工量是甲1天工作量的-----去掉乙后來與甲合做4天便得到乙先頭單獨做的天數(shù)：答略。*例甲乙兩人同做一件工作甲做天的工作量等于乙做天工作量，若由甲單獨做這項工作需要12天成?，F(xiàn)在甲、乙兩人做4天后，剩下的工作乙單獨做需要幾天完成？（適于年級程度）把甲單獨做12天成的工作量看作工作總量工作量中減去甲、乙合做工作量，剩下的就是乙單獨做的工作量。再把剩下的工作量除乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙單獨做需要天完成。-----答略。答略。第十七講

逆推法小朋友在玩“迷宮”戲時，在縱橫交錯的道路中常常找不到出口。有些聰明的朋友，反其道而行之，從出口倒回去找入口，然后再沿著己走過的路返回來。由于從出口返回時，途徑單一，很快會找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宮”自然就不了。解應用題也是這樣，些應用題用順向推理的方法很難解答，如果從問題的果出發(fā)，從后往前逐步推理，問題就很容易得到解決了。這種從條件或問題反去想而尋求解題途徑的方法，叫做逆推法。用逆推法解應用題列式時，經(jīng)常要根據(jù)加減互逆，乘除互逆的關系，把原中的加用減算，減用加算；把原題中的乘用除算，除用乘。（一）從結果出發(fā)逐逆推例1一個數(shù)除以4乘以2得16，這個數(shù)。（適于四年級程度）-----解：由最后再乘以2得16，可看出，沒乘2之前數(shù)是：16÷2=8在沒除以4之前的數(shù)是：8×4=32答：這個數(shù)是32。*例糧庫存有一批大米，第一天運走450千克，第二天運進720千，第三天又運走610千克，庫現(xiàn)有大米1500克。問糧庫原來有大米多少千克？（于四年級程度）解：由現(xiàn)有大米1500千克，第三天走610千克，以看出，在沒運走千之前，糧庫中有大米：1500+610=2110（克）在沒運進720千之前，糧庫里有大米：2110-720=1390（千克）在沒運走450千之前，糧庫里有大米：1390+450=1840（克）答：糧庫里原來有大1840千克。*例某數(shù)加上9后，再乘以，然后減去9最后再除以9，得9。問這個數(shù)原來是多少？（適于四級程度）-----解：由最后除以，得，看得出除以之的數(shù)是：9×9=81在減去之前的是：81+9=90在乘以之前的是：90÷9=10在加上之前，來的數(shù)是：10-9=1答：這個數(shù)原來是1。*例解放軍某部進行軍事訓練，計劃軍498千米，頭天每天30千米，以后每天多千。求還要行幾天？（適于五年級度）解：從最后一個條件以后每天多行12米”可求出，以后每天行的路程是30+12=42（千米）從頭天每天30千米，可求出已行路程是：30×4=120（千米）行完天后剩的路程是：498-120=378千米）還要行的天數(shù)是：-----378÷42=9（天）綜合算式：（30×4）÷（）=378÷42=9天）答略。*例倉庫里原有化肥若干噸一次出全部化肥的一半多，第二次取出余下的一半少100噸，第三次取出150噸最后剩下噸。這批化肥原來是多少噸？（于五年級程度）解：從“第三次取出150噸最后剩下70噸可看出，在第三次取出之前倉里有化肥：70+150=220（噸假定第二次取出余下一半，而不是少100噸，則第次取出后，倉庫剩下肥：220-100=120（噸）第二次取出之前，倉中有化肥：120×2=240噸）假定第一次正好取出半而是多30噸則一次取出一半后，倉庫里?；剩?40+30=270（噸-----倉庫中原有化肥的噸是：270×2=540噸）綜合算式：[（150+70-100）×2+30]×2=270×2=540（噸）答略。共有多少本圖書？有普讀物多少本？（適于六年級程度）解：最后一個條件是少兒讀物是630本，由于科普讀物和文藝讀物所以，這個書架上共書：-----有科普讀物：答略。（二）借助線段圖逆*例有一堆，第一次運走一半多10噸，第二次運余下的一半少3，還剩下噸。這堆煤原來是多少噸（適于五年級程度）解：作圖17-1（見下頁）。從圖17-1可出，余下的一半是：25-3=22所以，余下的煤是：22×2=44（噸）全堆煤的一半是：44+10=54噸）原來這堆煤是：-----54×2=108（噸）答略。*例服裝廠第一車間的人數(shù)占全廠人的25％，第二車間的人數(shù)比第個服裝廠共有多少人（適于六年級程度）解：作圖17-2（見下頁），用三線段表示三個車間的人數(shù)。第二車間人數(shù)是：-----第一車間人數(shù)是：全廠人數(shù)是：150÷25=600（人）綜合算式：（三）借助思路圖逆例1某工程隊原計12修公路2880米，由于改進了工作方法，天完成了任務。問實際比原計劃每天修多少米？（適于四年程度）解：作思路圖（圖17-3）。求實際比原計劃每天修多少米，必須知道實際每天修多少米和原計劃每天多少米。求實際每天修多少米就要知道公路的長和實際修完的天數(shù)。-----實際每天修的米數(shù)是2880÷8=360（米）求原計劃每天修多少，就要知道公路的長和原計劃要修的天數(shù)。原計劃每天修的米數(shù)：2880÷12=240（米）實際比原計劃每天多的米數(shù)是：360-240=120（米）答略。*例某機床廠去年每月生產(chǎn)機床5臺，每月去鋼材4000克；今年每月生產(chǎn)的機床臺數(shù)是去年倍，平均每臺機床比去年少用材200千克每用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾？（適于五年級程度）解：作思路圖（圖17-4）。-----從圖17-4的邊開始看，逐步往上推。（）年每臺用鋼材多少？4000÷5=800（千克）（）年每臺用多少鋼材？800-200=600千克）（）年每月生產(chǎn)多少臺？5×4=20（臺）（）年每月用多少鋼材？600×20=12000（千克）（）年每月用的鋼材是去每月所用鋼材的幾倍？12000÷4000=3（倍）綜合算式：（4000÷5-200）×（5×400=600×20÷4000=3倍）答略。（四）借助公式逆推例1一個三角形的積是780平方厘米52厘。問高是多少？（適于年級程度）-----解：計算三角形面積公式是：面=底×高÷2，推這個公式得：高面積×底所以，這個三角形的是：780×2÷52=30（厘米）答略。例2求圖17-5平行四邊形CD的長。（位：厘米）（適于五年級程度）解：因為平行四邊形面積是：BC×AE=6×3=18平行四邊形的面積也：CD×AF=5CD所以，CD=18÷5=3.6厘米）答略。-----例3一個圓錐體的積是84.78方厘米底面的直徑是厘米。它的高是多少。（適于年級程度）解：底面圓的直徑是厘米則半徑就是厘米。由πRh逆得：h=V×3÷π÷R因此，它的高是：84.78×3÷3.14÷322=9厘米）答略。（五）借助假設法逆解：假設取出存款后有買書櫥，則150元是出的錢的：取出的錢是：150×3=450元）老張原有的存款是：-----450×4=1800（元）答略。例2供銷社分配給、乙、丙三個鄉(xiāng)若干噸化肥。甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的一半少2噸，鄉(xiāng)分得剩下的一半又多半噸最后剩下的8分給丙鄉(xiāng)。問原來共有肥多少噸？（適于六年級程度）解：假設乙鄉(xiāng)分得剩一半，而不是又多半噸，則乙鄉(xiāng)分走后剩下的化肥是乙鄉(xiāng)分走前的化肥是假設甲鄉(xiāng)分得總數(shù)的半，而不是少2噸，則甲鄉(xiāng)分走化肥：17-2=15噸）這15噸正好是原有化肥噸數(shù)一半，所以原來共有化肥：15×2=30噸）綜合算式：-----答略。（六）借助對應法逆所以，食堂原來有大：綜合算式：答略。-----所以，第一天耕地后下的畝數(shù)是：25+3=28（畝）28畝所對應的分率是：綜合算式：答略。第十八講

圖解法圖形是數(shù)學研究的對，也是數(shù)學思維和表達的工具。在解答應用題時，如用圖形把題意表達出來，題中的數(shù)量關系就會具體而象形可起到啟發(fā)思維持思維、-----喚起記憶的作用，有于盡快找到解題思路。有時，作出了圖形，答案便在圖形。（一）示意圖示意圖是為了說明事的原理或具體輪廓而繪成的略圖。小學數(shù)學中的示意圖單、直觀、形象，使人容易理解圖中的數(shù)量關系。例1媽媽給兄弟二每人個蘋果，哥哥吃了8，弟弟吃了5。誰剩下的蘋果多？多個？（適于四年級程度）解：作圖18-1。哥哥吃了8個后，剩下蘋果：10-8=2（個）弟弟吃了5個后，剩下蘋果：10-5=5（個）弟弟剩下的蘋果比哥的多：5-2=3個）答：弟弟剩下的蘋果，比哥哥的多3個。-----例2一桶煤油，倒40％，還剩18升。這桶煤油原來是多少升？（適于六級程度）解：作圖18-2。從圖中可看出，倒出40％后還剩：1-40=60％這60是18所對應的百分率，所這桶油原來的升數(shù)是：18÷60％=30（升）答略。例3把2米長的竹竿直立在地面上得它的影長是1.8米，同時量得電線的影長是米。這根電線桿地面以上部分高多少米？（于六年級程度）解：根據(jù)題意畫出如18-3（見下頁）的示圖。同一時間，桿長和影成正比例。設電線桿地面以上部分的高是米，得：1.8∶5.4=2∶x-----答略。（二）線段圖線段圖是以線段的長表示數(shù)量的大小，以線段間的關系反映數(shù)量間關系的種圖形。在小學數(shù)學應用題教學中線段圖是使用最多、最便的一種圖形。例1王明有塊糖，李平的糖是王明的3倍。問李平的糖比王明的糖多多塊？（適于三年級程度）解：作圖18-4（見下頁）。從圖18-4可出，把王明的塊糖看份數(shù)那么李平的糖就是3數(shù)。李平比王明多的份數(shù)：3-1=2份）李平的糖比王明的糖：15×2=30塊）-----綜合算式：15×）=15×2=30（塊）答略。例2托爾斯泰是俄斯偉大作家，享年82。他在世紀中度過的時間比20世紀度過的時間多年。問托爾斯泰生于哪一年去世于哪一年？（適于四年級程度）解：作圖18-5。從圖18-5可出，他在20世度過的時間是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910。他出生時間是：1910-82=1828年）-----答略。解：作圖18-6。綜合算式：答略。-----（三）思路圖小學數(shù)學中的許多應題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的程用文字圖形表示出來，就有助于正確選擇已知數(shù)量，提中間問題，理清數(shù)量關系，從而順利解題。這種表示思維程的圖形就是思路圖。例題參見前面的分析和綜合法。（四）正方形圖借助正方形圖解應用，就是以正方形的邊長、面積表示應用題中的數(shù)量，應用題數(shù)量之間的關系具體而明顯地呈現(xiàn)出來，從而達到于解題的目的。例1農(nóng)民張成良，自己承包的土地的一半種了玉承包了多少公頃土地（適于四年級程度）解：根據(jù)題意作圖18-7。所以，他承包的土地：2×8=16（公頃）-----答略。例有大小兩個正方形，其中大正方的邊長比小正方形的邊長多厘米積比小正方形的積大96平方厘米。求大、小正方形的面各是多少平方厘米？（適于六年級程度）解：求大、小正方形面積，應知道大、小正方形的邊長，但題中沒有說，不好直接求出來。借助畫圖形的方法可輕易解決這個問題根據(jù)題意作圖18-8圖中大正方形ABCD的面積小正方形的面積大96方厘米。這平方米的面積是由兩個長方形a比長方形還小的正方形c構。從平厘米減去正方形c面積，再除以就可求出長方形a的面。（96-4×4）÷2=40（平厘米）因為長方形a寬是4厘，所以長方形a的長是：40÷4=10厘米）因為10厘米也是小正方形的邊長以小正方的面積是：-----10×10=100平方厘米）大正方形的邊長是：4+10=14（厘米）大正方形的面積是：14×14=196平方厘米）答略。（五）長方形圖借助長方形圖解應用，是以長方形的長表示一種數(shù)量，以長方形的寬表示另種數(shù)量，以長方形的面積表示這兩種數(shù)量的積。它能把抽的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為具體形象的面積來計算問題。*例甲、乙兩名工人做機器零件，每甲比乙多做10個?，F(xiàn)在甲工作15，乙工作天，共做出1500個零件甲乙兩人每各做多少個零件（適于五年級程度）解：根據(jù)題意作圖18-9（見下頁）。圖18-9，以左邊長方形的長示甲工作，以左邊長方形的寬表示甲天做多少個；以右邊長方形的長表示乙工作天，以右邊長方的寬表示乙每天做多少個。-----圖中右上角那個長方的寬表示甲每天比乙多做，所以，乙在天中甲少做零件：10×12=120個）圖中全部陰影部分的積表示甲、乙共做的零件1500個。從圖18-9可看出個大長方形面積表示的零件的個數(shù)是：1500+120=1620個）這個長方形的長表示、乙共同工作的天數(shù)：15+12=27天）因為大長方形的寬表甲每天做零件的個數(shù)，所以甲每天做零件的個數(shù)是：1620÷27=60（個）乙每天做零件的個數(shù)：60-10=50個）答略。*例2某店賣出蘋果、鴨梨和桔子共其中鴨梨的筐數(shù)是桔子筐數(shù)倍蘋果每筐賣90元鴨梨每筐賣72，桔子筐賣60，共得1854。問賣出蘋果、鴨梨和桔子各多筐？（適于六年級程度）解：根據(jù)題意作圖18-10。-----圖18-10陰影部分表示，如果都是蘋果，則所造成的差價是：90×25-1854=396（）每賣出筐桔子筐鴨梨、3筐蘋的差價是：（90-72）×2+（90-60=36+30=66（元）因此，桔子的筐數(shù)是396÷66=6（筐）鴨梨的筐數(shù)是：6×2=12（筐）蘋果的筐數(shù)是：25-6-12=7（）答略。（六）條形圖-----條形圖是把長方形的畫得比較長，把長方形的寬畫得比較短的一種圖形。形圖一般以長方形的長表示數(shù)量。條形圖可以畫成豎的，可以畫成橫的。題中不同的數(shù)量可用不同的陰影線或不同顏色表示。題中的數(shù)量可寫在長方形內(nèi)，也可寫在長方形面。條形圖比線段圖更直一些，在用來解某些應用題時效果要比線段圖好。噸后，兩場所剩煤的量相等。甲、乙兩個煤場原來各存煤多少噸？（適于年級程度）解：作圖18-11。從圖中可看出，從875噸中減去后，甲煤場的煤就相當于乙煤場煤的3，兩個煤場所存煤共分為份。其中一份是：（875-75）÷（）＝800÷4=200（噸）乙煤場原來的存煤噸是：-----200+75=275（噸甲煤場原來存煤的噸是：200×3=600噸）答略。解：作圖18-12。但是際上是運出噸140噸比實際運出的多140-125=15（）所以15噸所對應的分率是：-----甲庫原來的存糧噸數(shù)：420-180=240（噸）答略。*例一組割草人要把大小兩塊草地草割掉其中大塊草地的面積是小塊地面積的2倍全體組員用半天的時間割大塊草地的草。午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草上割。到傍晚時，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個人用一天的時間割完了。這組割草的一共有多少人？（適于六年級程度）全體組員割一個上午，一半的組員又割一個下午就把大塊地的草割完，這是說，要是用一半的組員單獨割大塊草地的草，就要用3個半，而在這剩下的一小塊是大草地的：-----這就是說6個人一可以把大塊草地割完一個人一天割大塊地的答略。（七）圓形圖借助圓形圖解應用題是以圓的面積或周長表示題中的數(shù)量，并在圓周內(nèi)、標上數(shù)字、符號，從而達到便于分析數(shù)量關系的目的。例1甲、乙兩個學同時從同一起點沿著一個環(huán)形跑道相背而跑。甲每秒鐘米，乙每鐘跑米，經(jīng)過鐘兩人相遇。求環(huán)形道的周長。（適于五年級程度）解：作圖18-14。-----從圖中可看出，甲、兩人跑的路程的總和就是圓的周長。根據(jù)“速度和×遇時間=相路程”，可求出環(huán)形跑道的周長：（7+8）×20=300（米）答略。問這塊土地有多少公？（適于六年級程度）解：作圖18-15。從圖中可看出，第二耕完這塊土地的：例3有三堆棋子，三堆棋子所含棋子的個數(shù)一樣多，且都只有黑、白兩色子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第-----棋子的幾分之幾？（于六年級程度）解：作圖18-16。從圖中可看出，把第堆里的黑子與第二堆里的白子交換，則第一堆全是白，第二堆全是黑子。因為第一堆與第二堆棋子數(shù)相同，所以第一堆的白子數(shù)與第二堆的黑所以，白子占全部棋的：-----*例甲人同時從環(huán)形路的同一出發(fā)向環(huán)行。甲每分鐘走米，每分鐘走米。環(huán)形路的長是300米們出發(fā)后在1時分里相會幾次？到1時20分時兩人的最近距離多少米？（適于五年級程度）解：作圖18-17。甲、乙二人1分鐘的速度差是：70-46=24米）由二人出發(fā)到第一次會所需的時間是：分）1小時20分鐘為80分。80分鐘內(nèi)含幾個12.5分鐘，二人即相會幾80分鐘內(nèi)包括612.5分鐘，還多分鐘，二人相會6次。由于第六次相會后還5分，所以甲乙之間相隔：24×5=120（米）此時，甲、乙之間還一個距離是：300-120=180（米）＞120米-----答在小時20分鐘里兩人相會6次到1小時分鐘時，兩人的最近距是120米。（八）染色圖在圖中用不同的顏色示不同的內(nèi)容或不同的數(shù)量，以利于解題的圖形叫染圖。染色圖是解決數(shù)學題和智力題常用的一種圖形。*例圖18-18是某泊的平面圖，圖中的所有曲線都表示湖岸人從岸A點到點至少要趟次水？點是在水中還是在岸上？適于高年級程度）解：這個問題好像很解答。但我們按“圖中所有曲線都是表示湖岸”的已條件，將湖面染上色，湖岸部分就顯示出來了，答案也就目了然了（圖18-19）。答：他至少要趟次水能達到B處，在湖岸上。*例2如18-20，某展覽館有展室，每兩個相鄰展室之間均有門相。問你能否從圖中入口進去，不重復地參觀完每個展室后從出口處出來適于高年級程度）-----解作圖18-21把中方格相地染上黑色因入口處是白格，參觀若依順序?qū)⒄故揖幪枺敲催M入第奇數(shù)號展室時，應是白位置；進第偶數(shù)號展室應是黑格。即應按白→黑→白→黑……順序交替參觀。參觀者最后離開的是36號展室它偶數(shù)按面的分析它應是黑格，但中實際為白色方格。這說明題中要求的參觀方式是不可能現(xiàn)的。答略。*例將圖18-22矩ABCD的一邊AD成6段，其中線段段3+線段5=線段2+線段4+段6結角線BD，紅（圖中用橫線表示）、藍（圖中用堅表示）兩色將圖形分別染色問圖中染紅色部分面積與染藍色部分面積哪個大？（適于年級程度）-----解：此題利用三角形梯形面積公式可算出結果，但較麻煩。用染色的方法此題比較簡捷。先將圖中BD左下面的空白處染上黑色用SS、藍S分別表示染紅三種顏色圖形的面圖18-23從圖18-23很易看到：另外S等于3個小矩面積的和而它恰好等于黑矩形面積的一半，即：這就是說：S

從上面算式的兩邊同減去S，得：-----S

答：圖中染紅色部分面積與染藍色部分的面積一樣大。*例圖18-24的圖形是從4×4的正方形紙上去兩個1×1的小方片后得到的。它們的面都是14。若把它們剪成1×2小形，最多能剪幾個？為什么？（適于高年級程度）解18-24的三個形除1以剪出7個的小矩形外，（2）、（）不管怎么剪至多都只能剪出個來。原因是：分別用黑白兩色對圖1）、2）、3）