2016屆河南省洛陽(yáng)市孟津縣第一高級(jí)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

孟津一高2015—2016學(xué)年高三上期期末考試卷數(shù)學(xué)（理科）考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分一．選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.復(fù)數(shù)滿足，則=（）.A.1B.2C.D.2.()....3.“”是“恒成立”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4.已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設(shè)bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于 ()A．n2＋n B．2n2＋n C．2(n2＋n)D．4(n2＋n)5.為了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年，從甲、乙、丙等5名候選民警中選2名作為閱兵安保人員，為9月3號(hào)的閱兵提供安保服務(wù)，則甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的概率為（）A．B．C．D．6.為調(diào)查洛陽(yáng)市高中三年級(jí)男生的身高情況，選取了人作為樣本，右圖是此次調(diào)查中的某一項(xiàng)流程圖，若其輸出的結(jié)果是，則身高在以下的頻率為（）（A）

（B）

（C）

（D）7.設(shè)分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線上在x軸上方的點(diǎn)，為直角，則的所有可能取值之和為（）A．B．2C．D．8一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于()

(A)

(B)

（C）

（D）

9.將函數(shù)向右平移個(gè)單位，再將所得的函數(shù)圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）與，，x軸圍成的圖形面積為（）A． B． C． D．10.在△ABC中，，則過點(diǎn)C，以A、H為兩焦點(diǎn)的橢圓的離心率為（） A． B．C．D．11.已知底面為正方形的四棱錐，各側(cè)棱長(zhǎng)都為，底面面積為16，以為球心，以2為半徑作一個(gè)球，則這個(gè)球與四棱錐相交部分的體積是（）A．B．C．D．12.已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)閇x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若對(duì)任意k∈R，恒只有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．二．填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)向量和均為單位向量，且（+）2=1，則與夾角為__________.14.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則其展開式中常數(shù)項(xiàng)是_________.15.平面上滿足約束條件的點(diǎn)（x，y）形成的區(qū)域?yàn)镈，區(qū)域D關(guān)于直線y=2x對(duì)稱的區(qū)域?yàn)镋，則兩個(gè)區(qū)域中距離最近的兩點(diǎn)之間的距離為__________.16.定義表示實(shí)數(shù)中的較大的數(shù)．已知數(shù)列滿足，若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為．三．解答題：（本大題共6小題，共70）17.（本小題滿分12分）如圖，在△中，為邊上一點(diǎn)，，已知，．（1）若△是銳角三角形，，求角的大?。唬?）若△的面積為，求邊的長(zhǎng)．18.（本小題滿分12分）為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)30名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表，平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖．已知在這30人中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為eq\f(4,15)。常喝不常喝合計(jì)肥胖2不肥胖18合計(jì)30(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整．能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由．(2)現(xiàn)從常喝碳酸飲料的學(xué)生中抽取3人參加電視節(jié)目，記表示常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.19.（本小題滿分12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且，且∥.（1）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．20.（本小題滿分12分）拋物線D以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)．（1）求拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過直線上的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線D的兩條切線，切點(diǎn)為A，B．求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求出Q的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若直線PQ交拋物線D于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中．（1）若，討論極值（用表示）；（2）當(dāng)，=，函數(shù)，若，（）滿足且，證明：．請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框圖黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分；不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分。（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，圓內(nèi)接四邊形的邊與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．（1）若，求的值；（2）若，證明：．23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線（為參數(shù)）經(jīng)過橢圓（為參數(shù)）的左焦點(diǎn)（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值和最小值．24.（本小題滿分10分）選修4—5；不等式選講已知函數(shù)，且恒成立.（1）求實(shí)數(shù)的最大值；（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求不等式的解集.

數(shù)學(xué)（理科）答案一．選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.解析：B，∵，∴=2.2.解析：。答案：3.解析：A，∵由恒成立可解得，∴“”是“恒成立”的充分不必要條件。4.答案：C．5.解析：從甲、乙、丙等5名候選民警中選2名作為閱兵安保人員共有種，甲、乙、丙中有2個(gè)被選中有種，故所求事件的概率．答案：A6.答案：C7解析：設(shè)P是第一象限點(diǎn)，且，則，所以所求=.答案：D8.答案：B9.D10.答案：A11.解析：構(gòu)造棱長(zhǎng)為4的正方體，四棱錐的頂點(diǎn)O為正方體的中心，底面與正方體的一個(gè)底面重合，可知所求體積是正方體內(nèi)切球體積的，所以這個(gè)球與四棱錐相交部分的體積是：。答案：C12解析：由已知f′（x）=，又因?yàn)閤1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x∈[x1，x2]時(shí)，4x2﹣4kx﹣1≤0，所以﹣[4x2﹣4kx﹣1﹣3]恒成立，故f′（x）＞0在[x1，x2]恒成立，故f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以g（k）=f（x）max﹣f（x）min=f（x2）﹣f（x1）=①，又因?yàn)閤1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，代入①式化簡(jiǎn)后得：g（k）=，由對(duì)任意k∈R，恒成立得：，結(jié)合k2≥0，所以，故a的取值范圍是a．答案：A二．填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.14.解析：由條件得，．由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式得，．顯然時(shí)，展開式為常數(shù)項(xiàng)且常數(shù)項(xiàng)為．答案：6015.解析：區(qū)域D與區(qū)域E之間的最短距離可轉(zhuǎn)化為區(qū)域D上的點(diǎn)到直線y=2x的最短距離的2倍，而區(qū)域D上的點(diǎn)到直線y=2x的距離最短，且為，則兩個(gè)區(qū)域中距離最近的兩點(diǎn)之間的距離為。答案：16解析：7255，由題意，當(dāng)時(shí)，，，，，因此是周期數(shù)列，周期為5，所以，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，，，同理是周期數(shù)列，周期為5，所以，，，．三．解答題：（本大題共6小題，共70）17.（本小題滿分12分）解：（1）在△中，，，，由正弦定理得到：，解得，則或，∵△是銳角三角形，∴，又由，則．（2）由于，，△面積為，則，解得．再由余弦定理得到，故，又由，故邊的長(zhǎng)為．18.解：(1)設(shè)常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生有x人，則eq\f(x＋2,30)＝eq\f(4,15)，解得x＝6.列聯(lián)表如下：常喝不常喝合計(jì)肥胖628不肥胖41822合計(jì)102030由已知數(shù)據(jù)可得k＝eq\f(30（6×18－2×4）2,10×20×8×22)≈8.523>7.879，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)．……5分.(2)由題意知可能取值為0，1，2，3，則有,,的分布列如下：0123P。……12分.19.解（1）由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．…1分則,所以，易知平面的一個(gè)法向量等于，………3分所以,所以，又平面，所以∥平面． 5分（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為． 6分理由如下：因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，由得 7分取，得平面的一個(gè)法向量． 8分假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于．設(shè)，則，． 9分所以 10分． 11分所以，解得或(舍去)．因此，線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角的正弦值等于． 12分.20．解：（1）由題意，所以，拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程為 …………3分（2）設(shè)由拋物線D在點(diǎn)A處的切線方程為…………4分而A點(diǎn)處的切線過點(diǎn)即同理，可見，點(diǎn)A，B在直線上．令所以，直線AB過定點(diǎn)Q（1，1） …………6分（3）設(shè)直線PQ的方程為由得由韋達(dá)定理， …………9分而 …………10分將代入方程（*）的左邊，得（*）的左邊=0．因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|． …………12分21.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遖=b∴∴=+，∴=+=①當(dāng)時(shí)，f（x）=0，所以函數(shù)f（x）無極值；②當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，）和（1，+∞）單調(diào)遞增，在（，1）單調(diào)遞減，∴f（x）的極大值為f（）=-aln2+a，f（x）的極小值為f（1）=0；③當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，）和（1，+∞）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，∴f（x）的極小值為f（）=-aln2+a，f（x）的極大值為f（1）=0；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的極大值為-alna，函數(shù)f（x）的極小值為0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值為-alna，函數(shù)f（x）的極大值為0?！?分（2），．假設(shè)結(jié)論不成立，則有由①，得，∴，由③，得，∴，即，即．④令，不妨設(shè)，（），則，∴在上增函數(shù)，，∴④式不成立，與假設(shè)矛盾．∴．……………12分22解：（1）