機(jī)器人運動學(xué)第四講

機(jī)器人運動學(xué)第四講山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02第一頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02機(jī)器人的任務(wù)第二頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02第3章機(jī)器人運動學(xué)運動學(xué)研究的問題：

手在空間的位姿及運動與各個關(guān)節(jié)的位姿及運動之間的關(guān)系。其中：正問題：已知關(guān)節(jié)運動，求手的運動。逆問題：已知手的運動，求關(guān)節(jié)運動。第三頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02一、機(jī)器人位姿的表示1、位置的表示坐標(biāo)系建立后，任意點p在空間的位置可以用一個3×1的位置矢量來描述；例如，點p在{A}坐標(biāo)系中表示為：

ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ3.1機(jī)器人的位姿描述{A}第四頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/022、姿態(tài)（或稱方向）的表示剛體的姿態(tài)可以用附著于剛體上的坐標(biāo)系（用{B}表示）來表示；因此，剛體相對于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)等價于{B}相對于{A}的姿態(tài)。坐標(biāo)系{B}相對于{A}的姿態(tài)表示可以用坐標(biāo)系{B}的三個基矢量xB、xB和xB在{A}中的表示給出，即[AxB

AxB

AxB]

,它是一個3×3矩陣，它的每一列為{B}的基矢量在{A}中的分量表示。3.1機(jī)器人的位姿描述第五頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02即：3.1機(jī)器人的位姿描述úúú?ùêêê?é=),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzyyyxyAzxyxAxxARAB基矢量都是單位矢量，因此，上式又可以寫成：第六頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.1機(jī)器人的位姿描述

稱為坐標(biāo)系{B}相對{A}的旋轉(zhuǎn)矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)：1、三個列向量兩兩正交。2、每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。3、旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，其行列式等于1。4、它的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即：

第七頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023、位姿的統(tǒng)一表示定義一組四向量矩陣[RP]，如圖。其中，R表示{j}相對{i}的姿態(tài)，P表示{j}的原點相對{i}的位移。我們可以將{j}坐標(biāo)系相對{i}坐標(biāo)系描述為：ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp3.1機(jī)器人的位姿描述第八頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2.1、不同直角坐標(biāo)系表示之間的關(guān)系

1、平移設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點不重合，若用3×1矩陣iPjorg表示坐標(biāo)系{j}的原點相對坐標(biāo)系{i}的表示，則同一向量在兩個坐標(biāo)系中的表示的關(guān)系為：3.2齊次變換及運算第九頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/022、旋轉(zhuǎn)設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點重合，但它倆的姿態(tài)不同。設(shè)有一向量P，它在{j}坐標(biāo)系中的表示為jP，它在{i}中如何表示？考慮分量：即：3.2齊次變換及運算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp第十頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023、另一種解釋對同一個數(shù)學(xué)表達(dá)式可以給出多種不同的解釋，前面介紹的是同一個向量在不同的坐標(biāo)系的表示之間的關(guān)系。上述數(shù)學(xué)關(guān)系也可以在同一個坐標(biāo)系中解釋的向量的“向前”移動或旋轉(zhuǎn)，或則，坐標(biāo)系“向后”的移動或旋轉(zhuǎn)。例如:2P=R1P3.2齊次變換及運算第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024、常用的旋轉(zhuǎn)變換、繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點合，坐標(biāo)系{j}的坐標(biāo)軸方向相對于坐標(biāo)系{i}繞軸旋轉(zhuǎn)了一個θ角。θ角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時鐘為正。3.2齊次變換及運算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2齊次變換及運算16三月2023上式也可以表示坐標(biāo)系固定，向量繞Z軸反向轉(zhuǎn)動θ角。第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02、繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.2齊次變換及運算ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02③繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.2齊次變換及運算ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02繞任意軸的轉(zhuǎn)動設(shè)繞k軸轉(zhuǎn)動θ角，則旋轉(zhuǎn)矩陣為：其中：3.2齊次變換及運算第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02若給定一旋轉(zhuǎn)矩陣:則可計算出：3.2齊次變換及運算第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2齊次變換及運算5、聯(lián)合（平移+旋轉(zhuǎn)）設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}坐標(biāo)原點不重合并具有不同的姿態(tài)。則空間任一矢量在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間有以下關(guān)系：第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02若坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？3.2齊次變換及運算第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02例：已知坐標(biāo)系{B}的初始位置與坐標(biāo)系{A}重合，首先坐標(biāo)系{B}沿坐標(biāo)系{A}的x軸移動12個單位，并沿坐標(biāo)系{A}的y軸移動6個單位，再繞坐標(biāo)系{A}的z軸旋轉(zhuǎn)30°，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。假設(shè)某點在坐標(biāo)系{B}中的矢量為，求該點在坐標(biāo)系{A}中的矢量。

3.2齊次變換及運算第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：，則：

3.2齊次變換及運算16三月2023第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/021、齊次坐標(biāo)的定義空間中任一點在直角坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)分量用表示，若有四個不同時為零的數(shù)與三個直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系：

則稱是空間該點的齊次坐標(biāo)。3.2齊次變換及運算3.2.2、齊次坐標(biāo)變換以后用到齊次坐標(biāo)時，一律默認(rèn)k=1。第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2齊次變換及運算2、齊次坐標(biāo)變換為何使用齊次坐標(biāo)在進(jìn)行聯(lián)合變換時，變換關(guān)系為：第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02將其寫成統(tǒng)一的矩陣形式則有：

3.2齊次變換及運算式中，——齊次坐標(biāo)變換矩陣，它是一個4×4的矩陣。第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02①齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：意義：左上角的3×3矩陣是兩個坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系；右上角的3×1矩陣是兩個坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系，所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。

3.2齊次變換及運算第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系：任何一個齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個平移變換矩陣與一個旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：

3.2齊次變換及運算第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02齊次變換的逆變換3.2齊次變換及運算第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02齊次變換的逆變換若齊次坐標(biāo)變換矩陣為：則：

3.2齊次變換及運算第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣）

③聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關(guān)系

當(dāng)空間有任意多個坐標(biāo)系時，若已知相鄰坐標(biāo)系之間的