電磁場(chǎng)與電磁波之靜電場(chǎng)分析課件

§3.1

靜電場(chǎng)分析

1.基本方程

積分形式及2.邊界條件

兩種電介質(zhì)分界面理想介質(zhì)表面理想導(dǎo)體表面（靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)）對(duì)應(yīng)靜電場(chǎng)的基本方程，矢量可以表示一個(gè)靜電場(chǎng)。例已知，試判斷它能否表示一個(gè)靜電場(chǎng)？解：根據(jù)靜電場(chǎng)的旋度恒等于零的性質(zhì)

3.電位函數(shù)

在靜電場(chǎng)中可先通過(guò)求解電位函數(shù)，再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度，式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。點(diǎn)電荷系連續(xù)分布電荷點(diǎn)電荷的電勢(shì)：，根據(jù)矢量恒等式，知靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)的電位函數(shù)(Potential)，簡(jiǎn)稱電位靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量等于電位梯度的負(fù)值。設(shè)為電位參考點(diǎn)電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。靜電位的微分方程靜電位滿足的標(biāo)量泊松方程靜電位滿足的標(biāo)量拉普拉斯方程（在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)中）分界面上不存在自由電荷，靜電位的邊界條件設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其電位分別為和。其間距又介質(zhì)分界面兩側(cè)電位連續(xù)第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，例列出求解區(qū)域的微分方程電位：電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。靜電位的邊界條件分界面上不存在自由電荷，第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，靜電位的微分方程泊松方程拉普拉斯方程電位定義式

電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

點(diǎn)電荷的電位例計(jì)算均勻帶電球面電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。球半徑為R、總電量為q。解：根據(jù)高斯定理求出電場(chǎng)的分布r<RE１＝0r>R設(shè)U∞＝0r＞R時(shí)r＜R時(shí)r＝R時(shí)電容與電容器上所帶電量無(wú)關(guān)，完全由電容器本身的幾何形狀、尺寸及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)決定。由物理學(xué)得知，平板電容器正極板上攜帶的電量q與極板間的電位差U的比值是一個(gè)常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為

電容的單位F（法拉）太大。例如半徑大如地球的孤立導(dǎo)體的電容只有F。實(shí)際中，通常取F（微法）及pF（皮法）作為電容單位。電容的計(jì)算思路：設(shè)例試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為，則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)，（孤立導(dǎo)體球的電容）雙導(dǎo)體的電容

傳輸線：縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸。平行板線、平行雙線、同軸線可作為平行平面電場(chǎng)（二維場(chǎng)）來(lái)研究，只需計(jì)算傳輸線單位長(zhǎng)度電容。計(jì)算步驟如下：①根據(jù)導(dǎo)體的幾何形狀，選取合適的坐標(biāo)系；②假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷和；③根據(jù)假定的電荷求出；④由求得電位差；⑤求出比值。例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為。試求單位長(zhǎng)度內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容。解由于電場(chǎng)強(qiáng)度一定垂直于導(dǎo)體表面，因此，同軸線中電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定沿徑向方向。又因結(jié)構(gòu)對(duì)稱，可以應(yīng)用高斯定律。ab設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度內(nèi)的電量為q，圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個(gè)圓柱面作為高斯面S，則那么內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差U為

因此同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電容為同軸線多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個(gè)導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體本身電荷有關(guān)，還與其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)，因?yàn)橹車鷮?dǎo)體上電荷的存在必然影響周圍空間靜電場(chǎng)的分布，而空間的電場(chǎng)是由它們共同產(chǎn)生的。q1q3qnq2此時(shí)，各個(gè)導(dǎo)體上的電荷與導(dǎo)體間的電位差的關(guān)系為式中Cii

稱為第i個(gè)導(dǎo)體的固有部分電容；Cij稱為第i個(gè)導(dǎo)體與第j個(gè)導(dǎo)體之間的互有部分電容。部分電容

5.電場(chǎng)能量

已知在靜電場(chǎng)的作用下，帶有正電荷的帶電體會(huì)沿電場(chǎng)方向發(fā)生運(yùn)動(dòng)，這就意味著電場(chǎng)力作了功。靜電場(chǎng)為了對(duì)外作功必須消耗自身的能量，可見靜電場(chǎng)是具有能量的。首先根據(jù)外力作功與靜電場(chǎng)能量之間的關(guān)系計(jì)算電量為Q的孤立帶電體的能量。如果靜止帶電體在外力作用下由無(wú)限遠(yuǎn)處移入靜電場(chǎng)中，外力必須反抗電場(chǎng)力作功，這部分功將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場(chǎng)的能量?jī)?chǔ)藏在靜電場(chǎng)中，使靜電場(chǎng)的能量增加。由此可見，根據(jù)電場(chǎng)力作功或外力作功與靜電場(chǎng)能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電場(chǎng)能量。設(shè)帶電體的電量Q

是從零開始逐漸由無(wú)限遠(yuǎn)處移入的。由于開始時(shí)并無(wú)電場(chǎng)，移入第一個(gè)微量dq

時(shí)外力無(wú)須作功。孤立導(dǎo)體電場(chǎng)能量為當(dāng)?shù)诙€(gè)dq移入時(shí)，外力必須克服電場(chǎng)力作功。若獲得的電位為

，則外力必須作的功為

dq，因此，電場(chǎng)能量的增量為

dq。帶電體的電位隨著電荷的逐漸增加而不斷升高，可見電位是電量q的函數(shù)。那么當(dāng)電量增至最終值Q

時(shí)，外力作的總功，也就是電量為Q的帶電體具有的能量為雙導(dǎo)體系統(tǒng)，導(dǎo)體1帶電荷，導(dǎo)體2帶電荷，電位分別為和電場(chǎng)能量為對(duì)于N

個(gè)帶電體具有的總能量，也可采用同樣的方法進(jìn)行計(jì)算。系統(tǒng)的總電場(chǎng)能為多導(dǎo)體帶電系統(tǒng)當(dāng)帶電體的電荷為連續(xù)的體分布、面分布或線分布電荷時(shí)，由，求得這種分布電荷的帶電體總能量為從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布在電場(chǎng)所占據(jù)的整個(gè)空間，應(yīng)該計(jì)算靜電場(chǎng)的能量分布密度。靜電場(chǎng)的能量密度以小寫英文字母we表示。對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，，代入后得此式表明，靜電場(chǎng)能量與電場(chǎng)強(qiáng)度平方成正比。因此，能量不符合疊加原理。雖然幾個(gè)帶電體在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)帶電體分別產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，但是，其總能量并不等于各個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)具有的各個(gè)能量之和。事實(shí)上，這是因?yàn)楫?dāng)?shù)诙€(gè)帶電體引入系統(tǒng)中時(shí)，外力必須反抗第一個(gè)帶電體對(duì)第二個(gè)帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)力而作功，此功也轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能量，這份能量通常稱為互有能，而帶電體單獨(dú)存在時(shí)具有的能量稱為固有能。例半徑為a的球形空間均勻分布著體電荷密度為ρ的電荷，試求電場(chǎng)能量。

解可以通過(guò)二種途徑獲得相同結(jié)果①由高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度，代入能量公式②由電位定義求電位，代入能量公式式中S

為極板的面積，l為兩極板的間距。將這些結(jié)果代入上式，求得平板電容器兩極板之間的作用力為已知平板電容器的電容式中負(fù)號(hào)表明作用力的實(shí)際方向是指向位移減小的方向。如果假定發(fā)生位移時(shí)，電容器始終與電源相連，這樣，在虛位移過(guò)程中，兩極板的電位保持不變，這種系統(tǒng)稱為常電位系統(tǒng)。根據(jù)這種常電位的假定，也可以計(jì)算平板電容器兩極板之間的作用力，所得結(jié)果應(yīng)該與上完全相同。設(shè)在電場(chǎng)力作用下，極板間距的增量為dl。由于電容改變，為了保持電位不變，正極板的電荷增量為dq，負(fù)極板的電荷增量為-dq。設(shè)正負(fù)極板的電位分別為

1及

2，則電場(chǎng)能量的增量為式中為兩極板之間的電壓。為了將dq

電荷移至電位為

1的正極板，將電荷-dq移至電位為

2的負(fù)極板，外源必須作的功為根據(jù)能量守恒原理，外源作功的一部分供給電場(chǎng)力作功，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能的增量，因此求得例利用虛位移法計(jì)算平板電容器極板上受到的表面張力。解利用虛位移概念，假定由于同一極板上的同性電荷相斥產(chǎn)生的表面張力為F。在此表面張力F

的作用下，使極板面積擴(kuò)大了dS，則電場(chǎng)力作的功為FdS。根據(jù)能量守恒原理，這部分功應(yīng)等于電場(chǎng)能量的減小值，即已知平板電容器的能量為，代入上式，得

若虛位移時(shí)，極板與外源相連，因而電位保持不變。那么，表面張力F

應(yīng)為

那么將代入，即可獲得同樣結(jié)果。

如果將及兩式中的變量l

理解為一種廣義坐標(biāo)，也就是說(shuō)，l可以代表位移、面積、體積甚至角度。那么，企圖改變這種廣義坐標(biāo)的作用力稱為對(duì)于該廣義坐標(biāo)的廣義力。顯然，對(duì)于不同的廣義坐標(biāo)，其廣義力的含義不同。對(duì)于位移而言，廣義力就是普通概念的力，單位為N；對(duì)于面積，廣義力為表面張力，單位為N/m；對(duì)于體積，廣義力為膨脹力或壓力，單位為N/m2；對(duì)于角度，廣義力為轉(zhuǎn)矩，單位為N?m。若規(guī)定廣義力的方向仍然為廣義坐標(biāo)增加的方向，那么，廣義力與廣義坐標(biāo)的乘積仍然等于功。這樣，前兩式可分別改寫為兩式中的微分符號(hào)變?yōu)槠⒎质强紤]到系統(tǒng)的能量可能與幾種廣義坐標(biāo)有關(guān)。l

代表對(duì)應(yīng)于廣義力的廣義坐標(biāo)。由