期中考試仿真模擬試卷 （含答案） 高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試仿真模擬試卷

2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試仿真模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或，所?故選：B2．復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：A3．設(shè)是非零向量，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，則，則，則，所以，所以，所以共線；但若與共線也可能是同向共線，例如當(dāng)它們方向一致大小相同時(shí)，有，而此時(shí)，所以“”是“與共線”的充分不必要條件.故選：A.4．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得，故，則故選：C5．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€(gè)圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，那么稱這個(gè)函數(shù)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．則下列說法中錯(cuò)誤的有（）A.函數(shù)可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”B.函數(shù)可以是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”C.函數(shù)可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”D.若函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)y＝f（x）的圖象一定是中心對(duì)稱圖形【答案】D【解析】對(duì)于A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，所以函數(shù)可以是單位圓的“優(yōu)美函數(shù)”，所以A正確，對(duì)于B，由，得，令，則，令，得，則，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以可以是圓“優(yōu)美函數(shù)”，這樣的圓有無數(shù)個(gè)，所以B正確，對(duì)于C，，則由，得，所以的對(duì)稱中心為，所以以為圓心，為半徑的圓都能被函數(shù)的圖象平分，所以C正確，對(duì)于D，若的圖象是中心對(duì)稱圖形，則此函數(shù)一定是“優(yōu)美函數(shù)”，但“優(yōu)美函數(shù)”不一定是中心對(duì)稱圖形，如圖所示，所以D錯(cuò)誤，故選：D6．的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】；展開式中的系數(shù)為；展開式中的系數(shù)為；展開式中的系數(shù)為.故選：D.7．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面內(nèi)的射影在直線上，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D'K，

則D'KA=90°，故K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，根據(jù)長(zhǎng)方形知圓半徑是，如圖當(dāng)E與C重合時(shí)，AK==，取O為AD′的中點(diǎn)，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所對(duì)的弧長(zhǎng)為=，故選：8．已知滿足，若在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程()有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.【答案】A【解析】滿足,可得:當(dāng)時(shí),故時(shí),令時(shí),則根據(jù)可得當(dāng)時(shí),則可得可得即,即令,化簡(jiǎn)可得故恒過點(diǎn)在同一坐標(biāo)系畫出和函數(shù)的圖象①當(dāng)和函數(shù)相交時(shí)當(dāng)過點(diǎn),可得根據(jù)圖象可知當(dāng)時(shí),區(qū)間內(nèi)，和函數(shù)相交且有交點(diǎn).即()有4個(gè)根②當(dāng)和函數(shù)在上相切時(shí)設(shè)和函數(shù)在上相切的切點(diǎn)為.當(dāng),,又恒過點(diǎn),可得解得:,故,可得綜上所述,()有4個(gè)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍:或故選:A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，則（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，方向相反，正確的關(guān)系為－，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，；對(duì)于C，因?yàn)椋珻錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，可設(shè)，，故D正確；故選：BD10．已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，下列說法正確的有（）A.若，則A，B相互獨(dú)立 B.若A，B相互獨(dú)立，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，對(duì)于A，因?yàn)?，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，若A，B相互獨(dú)立，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．已知a>0，圓C：，則（）A.存在3個(gè)不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B.存在2個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C.存在2個(gè)不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)D.存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分【答案】ACD【解析】由條件可知，圓C的半徑為1，圓心坐標(biāo)為（a，lna），即圓心在曲線y＝lnx上運(yùn)動(dòng)．對(duì)于A，當(dāng)a＝1時(shí)，圓C與y軸相切，當(dāng)，即a＝e或時(shí)，圓C與x軸相切，所以滿足要求的a有3個(gè)，A正確；對(duì)于B，若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心在上，又圓心在y＝lnx上，作圖可知曲線y＝lnx與y＝x沒有公共點(diǎn)，與y＝-x有一個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的a僅有一個(gè)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，如下圖可知，曲線y＝lnx與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的a有2個(gè)，C正確；對(duì)于D，若圓C的面積被直線平分，則直線經(jīng)過圓心（a，lna），計(jì)算可知曲線y＝lnx在x＝e處的切線恰好為，即滿足要求的a僅有一個(gè)，故D正確．故選：ACD.12．已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為4，6，高為，E是的中點(diǎn)，則（）A.正四棱臺(tái)的體積為B.正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104πC.AE∥平面D.到平面的距離為【答案】BCD【解析】正四棱臺(tái)的體積為，，故A錯(cuò)誤；連接相交于，連接相交于，如果外接球的球心在正四棱臺(tái)的內(nèi)部，則在上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L(zhǎng)分別為4，6，所以，，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，無解，所以外接球的球心在正四棱臺(tái)的外部，如下圖，則在延長(zhǎng)線上，，因?yàn)樯舷碌酌孢呴L(zhǎng)分別為4，6，所以，，設(shè)外接球的半徑為，所以，即，解得，所以正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，故B正確；取的中點(diǎn)，連接，，連接，所以，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面，故C正確；以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令可得，到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若復(fù)數(shù)z滿足，則z＝_________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以，解得，所以，故答案為：14.已知函數(shù)，若成立，則a的取值范圍為_________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以a的取值范圍為．故答案為：15.數(shù)學(xué)家高斯在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問題時(shí)，他在他的著作《算術(shù)研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學(xué)?密碼學(xué)以及大數(shù)分解等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對(duì)于正整數(shù)，若存在一個(gè)整數(shù)，使得整除，則稱是的一個(gè)二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，記事件與12互質(zhì)”，是12的二次非剩余”，則___________；___________.【答案】①.②.【解析】在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據(jù)定義，對(duì)于整數(shù)的x不存在，則a是12的二次非剩余數(shù)，顯然，當(dāng)a=1時(shí)，x=11，當(dāng)a=5，7，11，13，17，19時(shí)，x不存在；；故答案為：.16．已知為定義域上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，當(dāng)，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】令，即求的解集，因?yàn)?，所以在上單增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，1.又因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)對(duì)稱，所以的解集為或故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．（1）求；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，∴；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，∴，∴，∴，，∴，∴.18．在①②③三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問題．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)的面積為S，已知________．（1）求角C的值；（2）若，點(diǎn)D在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長(zhǎng)a的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）選①，由余弦定理得，整理得，所以，又，故.選②，因?yàn)椋?，故，可得，又，?選③，可得，所以，又，所以，故.（2）在中，因?yàn)槭堑钠椒志€，且，設(shè)，所以，又，聯(lián)立以上兩式得：，又，解得.19．如圖，在四棱錐中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大??；（2）已知為中點(diǎn)，問：棱上是否存在一點(diǎn)，使得與垂直？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）因?yàn)槊妫?，所以，?平面，所以平面，而平面，所以分別以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，，．所以，取，得．所以．因?yàn)椋?，，，所以，取得，，所以．因，設(shè)二面角的大小為，為鈍角，則，而，所以．（2）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得與垂直，設(shè)，，可得，，，因?yàn)?，所以，解得．?0．某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】見解析【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，則，，所以的分布列為：0201000.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答類問題累計(jì)得分的期望為，若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為0，80，100，，，，則的期望為，因?yàn)?，所以為使累?jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答類問題．21．已知橢圓C:的上下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).（1）設(shè)的斜率分別為，求的值;（2）求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，，，，所以.（2）設(shè)，得到，，，直線，直線，聯(lián)立得:，，解得22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則．令，則．