切線方程（精練） 新高考 數(shù)學一輪復習專項 提升精講精練 （含答案解析）

4.1切線方程（精練）（提升版）題組一題組一斜率與傾斜角1．（2022·河南·南陽中學）設函數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】因為，，，所以，故選：A2．（2022·山東）（多選）設點P是曲線上的任意一點，P點處的切線的傾斜角為，則角的取值范圍包含（

）A．

B．

C．

D．【答案】CD【解析】，，依題意：，，∵傾斜角的取值范圍是，∴，故選：CD.3．（2022·河南·鄭州市第二高級中學）設點是函數(shù)圖象上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，，.點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，.，.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習）已知，則曲線在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對，求導可得，，得到，所以，，所以，，故選D5．（2022·廣東·佛山一中）已知點是曲線上一動點，當曲線在處的切線斜率取得最小值時，該切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意得，，所以，當且僅當時成立，所以該切線的傾斜角為：.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是奇函數(shù)，恒成立，所以，，，所以，，即，．故選：A．7．（2022·重慶市朝陽中學）（多選）如圖，是可導函數(shù)，直線l：是曲線在處的切線，令，其中是的導函數(shù)，則(

)A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由圖可知，f(3)＝1，故A正確；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B錯誤；，則，故C正確；，，故D正確.故選：ACD.題組二題組二“在型”的切線方程1．（2022·河南省?？h第一中學）曲線在處的切線方程為（

）A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0【答案】B【解析】因為，所以，所以．又當時，，故切點坐標為，所以切線方程為．故選：B.2．（2022·河南）已知，則曲線在點處的切線方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，∴，∴y=f(x)在處的切線方程為：，即．故選：A．3．（2022·山東棗莊·三模）曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，直線的斜率為，由題意可得，解得.故選：C.4．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）已知奇函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．或1 B．或 C．或2 D．或【答案】D【解析】由可得，因為，所以，解得.所以，故切線斜率，又，所以，解得或，所以或.故選：D5．（2022·安徽·蚌埠二中）已知定義域為的函數(shù)存在導函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域為，由可知，是偶函數(shù)，由可知，周期為4，因為，故關于軸對稱，又因為，所以也是的對稱軸，因為在上存在導函數(shù)，所以是的極值點，即，曲線在點處的切線斜率為0，故切線方程可能為.故選：B.6．（2022·河南·南陽中學）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】B【解析】設直線與曲線相切于點，直線與曲線相切于點，則，且，所以，，且，所以，令，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，，所以當時，，因為，，即，所以，所以，故故選：B7．（2022·江蘇連云港）（多選）已知，直線與曲線相切，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設切點為，因為，所以，得，所以，所以，對于A，，所以，當且僅當時，等號成立，故A不正確；對于B，，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當，時，等號成立，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，又，即時，等號成立.故選：BCD8．（2022·安徽·蒙城第一中學）已知為奇函數(shù)，且當時，，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】因為為奇函數(shù)，且當時，，當時，，則，所以且，故切線方程為，即.故答案為：9．（2022·云南·一模）若曲線在點處的切線與直線平行，則__________.【答案】【解析】由題意知，令，則，，，所以點在曲線上，，，，，，所以，又曲線在點處的切線與直線平行，所以，得.故答案為：.10．（2022·全國·高三專題練習）若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則__________.【答案】【解析】的導數(shù)為，可得曲線在點處的切線方程為，的導數(shù)為，可得曲線在點處的切線的方程為，由兩條切線重合的條件，可得，且，則，即有，可得，則.故答案為:題組三題組三“過型”的切線方程1．（2022·廣東茂名）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線l的方程為__________.【答案】【解析】設切點坐標為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為又直線l過點，所以，整理得，解得，所以，直線l的斜率，所以直線l的方程為，故答案為：.2．（2022·四川成都）已知函數(shù)f（x）=x3－3x，則過點（1，－2）的切線方程為__________．【答案】和【解析】由函數(shù)，則，當點為切點時，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，當點不是切點時，設切點，則，即，解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即．故答案為：和．3．（2022·四川成都）過點的直線l與曲線相切，則直線l的斜率為___________.【答案】3或【解析】因為，所以，，當為切點時，，當不為切點時，設切點為，，所以，所以切線方程為：，過點，所以即，即，解得或（舍），所以切點為，所以，綜上所述：直線l的斜率為3或，故答案為：3或4．（2022·廣東·南海中學）函數(shù)過原點的切線方程是_______.【答案】.【解析】設切點為，，則，故切點為的切線方程為，又因此切線過原點，所以，解得，所以函數(shù)過原點的切線方程是，即.故答案為：.題組五題組五切線或切點的數(shù)量1．（2022·山東泰安）過曲線外一點作的切線恰有兩條，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，過點作曲線C的切線，設切點，則切線方程為：，將代入得：即（*）

由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．令，，顯然有兩個極值點與，于是或當時，；當時，，此時經(jīng)過與條件不符，所以，故選：A.2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）若過點可以作三條直線與曲線C：相切，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設切點為,過點P的切線方程為,代入點P坐標，化簡為，即這個方程有三個不等根即可.令,求導得：.令，解得：，所以在上遞增；令，解得：或，所以在和上遞增.要使方程有三個不等根即可.只需,即.故選：D3．（2022·重慶·二模）已知曲線及點，則過點且與曲線相切的直線可能有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】BC【解析】因為，所以，設切點，在點處的導數(shù)為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義等于切線斜率，以及導數(shù)的比值定義式有：整理得，所以，①當時，可化為，由函數(shù)定義域知分母不為0，，所以只能解得，因此過只能找到一條與曲線相切的直線；②當時，可化為，是關于的二次方程，，且兩根之積為，所以所求根之中一定不含0，此時對任意能夠找到兩個滿足條件.綜上所述，過點且與曲線相切的直線可能有1或2條.故選：BC.4．（2022·福建漳州·二模）（多選）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是1B．曲線的切線斜率可以是C．過點且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】AC【解析】因為函數(shù)，所以A.令，得，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；B.令無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯誤；C.因為在曲線上，所以點是切點，則，所以切線方程為，即，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；D.設切點，則切線方程為，因為點在切線上，所以，解得，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯誤；故選：AC5．（2022·山東濰坊·三模）過點有條直線與函數(shù)的圖像相切，當取最大值時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，故當時，，單調(diào)遞減，且；當時，，單調(diào)遞增，結合圖象易得，過點至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時，設切點坐標為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個不同的根，又，易得在上，，單調(diào)遞增；在和上，，單調(diào)遞減，畫出圖象可得當，即時符合題意故選：B6．（2022·全國·模擬預測（理））過點作曲線的切線，當時，切線的條數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設切點為，，切線斜率，切線方程為：；又切線過，；設，則，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，恒成立，可得圖象如下圖所示，則當時，與有三個不同的交點，即當時，方程有三個不同的解，切線的條數(shù)為條.故選：D.7．（2022·全國·高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設切點坐標為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，，設，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，，當時，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，結合圖像知，即.故選：D.8．（2022·山東·菏澤一中高二階段練習）若直線與曲線和都相切，則直線的條數(shù)有（

）A． B． C． D．無數(shù)條【答案】C【解析】設直線因為直線與曲線和都相切所以對于曲線，，，切點對于曲線，，，切點因為公切線過A、B兩點所以進而可得令因為，均為增函數(shù)，又因為，所以存在使得即所以在時單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為所以當時，因為，所以所以在內(nèi)存在使得直線與曲線和都相切當時，因為，所以所以在內(nèi)存在使得直線與曲線和都相切所以綜上所述，存在兩條斜率分別為的兩條直線與曲線和都相切故選：C9．（2022·重慶市育才中學高三階段練習）若直線（）為曲線與曲線的公切線，則l的縱截距（

）A．0 B．1 C．e D．【答案】D【解析】設l與的切點為，則由，有.同理，設l與的切點為，由，有.故解得或則或.因，所以l為時不成立.故，故選：D.10．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.11．（2022·河北·高三階段練習）若過點可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，設切點為，則切線斜率則在點的切線方程為，代入點P坐標得整理為，即這個方程有三個不等式實根，令，則，令則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得，即，故選：D．12．（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設切點為，切線方程為，由，所以，所以，則，所以，令，則，因為，所以當或時，當時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時取得極大值，當時取得極小值，即，，依題意有三個零點，所以且，即；故選：B13．（2022·遼寧·遼師大附中）已知過點P(0，a)可作出曲線y=2x3–3x2的3條不同的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_______________.【答案】【解析】函數(shù),求導得,設切點為，可得切線方程為，又切線過點P(0，a)代入得，即，由題意可得此方程有三個根，令，，當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，可得函數(shù)的極大值為，極小值為，若方程有三個根即函數(shù)的圖象與x軸有三個交點，只需滿足，即，故答案為：.14．（2022·陜西·長安一中）已知函數(shù)，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】，設過點的直線與曲線相切于點，則，化簡得，，令，則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點．∵，故當x<0或x>1時，，g(x)單調(diào)遞增；當0<x<1時，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即．故答案為：﹒15．（2022·安徽蚌埠）已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則可作切線的最多條數(shù)是______．【答案】3【解析】∵點不在函數(shù)的圖象上，∴點不是切點，設切點為（），由，可得，則切線的斜率，∴，解得或或，故切線有3條.故答案為：3.題組五題組五公切線1．（2022·海南）已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為1，則b的最大值為___.【答案】-3【解析】令，得，切點為，令，得，切點為.切線方程為代入，可得則令，則,當時，，當時，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴即b的最大值為-3.故答案為：-3.2．（2022·安徽·安慶一中）若直線是曲線的切線，切點為，也是曲線的切線，切點為，則__________．【答案】1【解析】由直線是曲線的切線，切點為，則直線的方程是，即由直線是曲線的切線，切點為，直線的方程為，即．所以，所以，因為，所以．故答案為：13．（2022·山東威?！と＃┮阎€，若有且只有一條直線同時與，都相切，則________．【答案】1【解析】設與相切于，與相切于點，由，得，則與相切于點的切線方程為：，即，由，，則與相切于點的切線方程為：，即，，因為兩切線重合，所以，①，②，由①得，代入②得，，化簡得，，明顯可見，，時等式成立.故答案為：14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））若存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有相同的切線，且相同切線的斜率為，則實數(shù)的最大值為_________．【答案】.【解析】設函數(shù)的切點為，函數(shù)的切點為分別對函數(shù)進行求導，，由相同切線的斜率為，得故切線方程為故函數(shù)的切點為.把切點代入中得令，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增當時，，函數(shù)單調(diào)遞減故故實數(shù)的最大值為故答案為：.5．（2022·山東師范大學附中模擬預測）已知函數(shù)，若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)a的取值范圍__________．【答案】【解析】數(shù)形結合可得：當，存在一條直線同時與兩函數(shù)圖象相切；當，若存在一條直線同時與兩函數(shù)圖象相切，則時，有解，所以，令，因為，則當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，且在上恒成立，所以，即．故答案為：6．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））若曲線與曲線存在2條公共切線，則a的值是_________．【答案】【解析】設公切線在上的切點為，在上的切點為，則曲線在切點的切線方程的斜率分別為，，對應的切線方程分別為、，即、，所以，得，有，則，整理，得，設，則，，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因為兩條曲線有2條公共切線，所以函數(shù)與圖像有兩個交點，又，且，如圖，所以，解得.故答案為：.題組六題組六切線與其他知識的運用1．（2022·湖南·株洲二中）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線與曲線相切于點，，切線斜率，，即，，；，，（當且僅當，即時取等號），則的最小值為.故選：B.2．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學）直線分別與曲線，直線交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，設到直線的距離為，直線的傾斜角為，則，又，，故最小即最小，即為當過點處的切線與直線平行時最小，由曲線，得，所以切點為，可求得點到直線的距離最小值為故，故選：C3．（2022·廣西·高三階段練習）在平面直角坐標系中，是直線與曲線在第一象限的交點，是直線上的一點，且滿足.為曲線上動點，當取最小值時，的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則.又，設，，則在直線上.又，故當直線與曲線相切時，最小.此時，解得.故選：B.4．（2022·重慶市第十一中學校）二次函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標為，為正整數(shù)，，若數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，在點處的切線斜率，在點處的切線方程為：，即，令，解得：，即，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.故選：C.5．（2022·四川·石室中學二模（理））已知函數(shù)在x=0處的切線與直線平行，則二項式展開式中含項的系數(shù)為（

）A．26 B．46 C．36 D．56【答案】C【解析】由函數(shù)的解析式，得，則．由題意，得，則二項式，二項式的通項公式為：，所以含項的系數(shù)為．故選：C6．（2022·云南保山）已知曲線在點處的切線為l，數(shù)列的首項為1，點為切線l上一點，則數(shù)列中的最小項為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率.所以切線l的方程為.所以.所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.所以.所以由，解得.因為，所以.所以數(shù)列中的最小項為.故選：C.7．（2022·湖南·模擬預測）已知拋物線，P為直線上一點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為（

）A． B．-1 C． D．-2【答案】A【解析】設，.由求導得，則直線，直線，聯(lián)立方程可得，由P在直線上，得，且，即.因而.故選：A.8．（2022·湖北·襄陽五中二模）已知函數(shù)在x=0處的切線與直線平行，則二項式展開式中含項的系數(shù)為_________．【答案】36【解析】由函數(shù)的解析式，得，則．由題意，得，則二項式展開式的通項為：所以含項的系數(shù)為故答案為：36．題組七題組七切線方程的運用1．（2022·廣西·柳州市第三中學）曲線上的點到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令得：，又，故曲線上點到直線的距離最小值，所以最小值為.故選：D2．（2022·江蘇省太湖高級中學）若點P是曲線上任一點，則點P到直線的最小距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：設與直線平行的直線與曲線切于，由定義域為，得，則，由，解得（舍去負值）．，則點到直線的最小距離是．故選：C．3．（2022·山東·德州市教育科學研究院）已知函數(shù)，，若有兩個零點，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則與有兩個交點，則設直線與相切時，切點坐標為，則斜率則切線方程為∵切線過原點，代入得，解得∴，因為與有兩個交點，所以故選：D．4．（2022·遼寧·沈陽二十中）若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為(