高三物理第一輪考點解析復習題1

萬有引力定律及應用（內(nèi)容分析）

基礎知識

開普勒運動定律

⑴開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽

處在所有橢圓的一個焦點上.

⑵開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相

等的時間內(nèi)掃過的面積相等.

⑶開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期

的二次方的比值都相等.

二.萬有引力定律

⑴內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大

小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比.

（2）公式:F=G為魯淇中G=6.67xlO-"N.//kg2,稱為為有引力恒量。

r

（3）適用條件：嚴格地說公式只適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物

體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時

r應為兩物體重心間的距離.對于均勻的球體,r是兩球心間的距離.

注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統(tǒng)一起來，是自然界

中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上

等于質(zhì)量均為1千克的兩個質(zhì)點相距1米時相互作用的萬有引力.

三、萬有引力和重力

重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨

地球自轉(zhuǎn)時需要向心力.重力實際上是萬有引力的一個分力.另一個

分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變

化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨

緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩

極逐漸增大.通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者

相等，即m2g=G膂，g=GM/“常用來計算星球表面重力加速度的大

r

小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即

22

gh=GM/(r+h),比較得gh=(―=)*g

r+h

在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條

直線上，則有

F=F向+m2g，

所以m2g=F—F向=6嗎^—nhRaJ

r

因地球目轉(zhuǎn)角速度很小G?-?H12R3自2,所以m2g=6警

rr

假設地球自轉(zhuǎn)加快，即3自變大，由m2g=G詈—HhR3自2

知物體的重力將變小，當G為魯F2R3J時-，m2g=0,此時

‘仁。獷"

地球上物體無重力，但是它要求地球自轉(zhuǎn)的角速度3自

悟,比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多.

四.天體表面重力加速度問題

設天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,由mg=G等得g=G!，由

此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為&=冬*整

g：R；%

五.天體質(zhì)量和密度的計算

原理：天體對它的衛(wèi)星（或行星）的引力就是衛(wèi)星繞天體做勻速

圓周運動的向心力.

G萼=mHr,由此可得：M=^

r2T2G\

行星的半徑）

由上式可知，只要用實驗方法測出衛(wèi)星做圓周運動的半徑r及運

行周期T,就可以算出天體的質(zhì)量M.若知道行星的半徑則可得行星

的密度

規(guī)律方法

1、萬有引力定律的基本應用

【例1】如圖所示，在一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼

球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心

連線上、與球心相距d的質(zhì)點m的引力是多大？

分析把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對

質(zhì)點的引力之和，即可得解.

解完整的均質(zhì)球體對球外質(zhì)點m的引力F=G需.

這個引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對質(zhì)點的引力R與半

徑為R/2的小球?qū)|(zhì)點的引力F2之和，即

7

F=F,+F2.因半徑為R/2的小球質(zhì)量M為

MmMm

G---------------==GG--------------

{d-R/2）28（J-/?/2）

所以挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點m的引力

MmCMm7d2-8dR+2/?2

F、=F—F2=GGMm

d28（d-R/2）28J2（＜/-/?/2）2

說明(1)有部分同學認為，如果先設法求出挖去球穴后的重心位

置，然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個重心上，應用萬有引力公式求

解.這是不正確的.萬有引力存在于宇宙間任何兩個物體之間，但計

算萬有引力的簡單公式尸=G等卻只能適用于兩個質(zhì)點或均勻球體，

挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了，不能直接使用這個公式計

算引力.

(2)如果題中的球穴挖在大球的正中央，根據(jù)同樣

道理可得剩余部分對球外質(zhì)點m的引力

「門L門MmMin八M，nmM/8「7Mm

=F-F2=G-G=G—r-G-——=G———

△d2（療8d2

上式表明，一個均質(zhì)球殼對球外質(zhì)點的引力跟把球殼的質(zhì)量(7M/8)

集中于球心時對質(zhì)點的引力一樣.

【例2】某物體在地面上受到的重力為160N,將它放置在衛(wèi)星中，

在衛(wèi)星以加速度a=%g隨火箭加速上升的過程中，當物體與衛(wèi)星中

的支持物的相互壓力為90N時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠？(地

球半徑R=6.4X10：!km,g取10m/s2)

解析：設此時火箭上升到離地球表面的高度為h,火箭上物體受到的

支持力為N,物體受到的重力為mg；據(jù)牛頓第二定律.N-mg，=ina

①

在h高處G湍r……②在地球表面處mg=G^

③

把②③代入①得N=/%+mah=92x

104km.

說明:在本問題中，牢記基本思路，一是萬有引力提供向心力，二是重

力約等于萬有引力.

【例3】有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度。已

知該單擺在海平面處的周期是To。當氣球停在某一高度時，測得該

單擺周期為T。求該氣球此時離海平面的高度h。把地球看作質(zhì)量均

勻分布的半徑為R的球體。

解析：根據(jù)單擺周期公式：7"。=2萬得7=2%4其中1是單擺長度，

g。和g分別是兩地點的重力加速度。根據(jù)萬有引力公式得

8。=6勺,8=6」^,其中6是引力常數(shù)，M是地球質(zhì)量。

R2(R+h)2

由以上各式解得〃

VO)

［例4］登月火箭關閉發(fā)動機在離月球表面112km的空中沿圓形軌

道運動，周期是120.5min,月球的半徑是1740km,根據(jù)這組數(shù)據(jù)計算

月球的質(zhì)量和平均密度.

解析：設月球半徑為R,月球質(zhì)量為M,月球密度為p,登月火箭軌

道離月球表面為h,運動周期為T,火箭質(zhì)量為m,由GMm/r2=m47r2r/T2

得M=4兀2r3/(GT2),p=M/V,其中V=4TT2R3/3,則F?2r=m47r2

(R+h)/T2,F『GMm/(R+h)2,火箭沿軌道運行時有F產(chǎn)F向，即

GMm/(R+h)2=m4兀2(R+h)/T2

故M=4兀2(R+h)3/(GT2)M.2X1022kg,P=3M/4TTR3=3.26X103kg/m3

［例5］已知火星上大氣壓是地球的1/200.火星直徑約為球直徑的

一半，地球平均密度P地=5.5Xl（）3kg/m3,火星平均密度p火=4X

lOSkg/n?.試求火星上大氣質(zhì)量與地球大氣質(zhì)量之比.

分析包圍天體的大氣被吸向天體的力.就是作用在整個天體表面

（把它看成平面時）的大氣壓力.利用萬有引力算出火星上和地球上

的重力加速度之比，即可算出它們的大氣質(zhì)量之比.

解設火星和地球上的大氣質(zhì)量、重力加速度分別為m火、g火、m地、

g地，火星和地球上的大氣壓分別為。火=也孥,P地=餐,據(jù)萬有引力

4感（4砒

公式，火星和地球上的重力加速度分別為g火=G笄，

八nl

K火

g地式中M火火,A/地=［溫^地綜合上述二式得

空=殳.維,組=J_x4紀=3.4x10-3

機地產(chǎn)地R火P火20024

【例6】一個宇航員在半徑為R的星球上以初速度V。豎直上拋一物體,

經(jīng)ts后物體落回宇航員手中.為了使沿星球表面拋出的物體不再落

回星球表面，拋出時的速度至少為多少？

解析：物體拋出后，受恒定的星球引力作用，做勻減速運動，遵循著

在地面上豎直上拋時的同樣規(guī)律.設星球?qū)ξ矬w產(chǎn)生的“重力加速度”

為gx,則由豎直上拋運動的公式得■也.為使物體拋出后不

再落回星球表面，應使它所受到的星球引力正好等于物體所需的向心

力，即成為衛(wèi)星發(fā)射了出去。得”底7=嚴這

個速度即是這個星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度。

【例7］在“勇氣”號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火

星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。

假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h,速

度方向是水平的，速度大小為Vo,求它第二次落到火星表面時速度的

大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道半徑為r,

周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞。的均勻球體。

分析：第一次落到火星表面彈起在豎直方向相當于豎直上拋，在最高

點由于只有水平速度故將做平拋運動，第二次落到火星表面時速度應

按平拋處理。無論是豎直上拋還是平拋的計算，均要知道火星表面的

重力加速度g。利用火星的一個衛(wèi)星的相關數(shù)據(jù)可以求出

解：設火星的一個衛(wèi)星質(zhì)量為明任一物體的質(zhì)量為1，在火星表面

的重力加速度為g-火星的質(zhì)量為M。

任一物體在火星表面有：G/……①火星的衛(wèi)星應滿

足：G等=?狗,.……②

2/

第一次落到火星表面彈起在豎直方向滿足：V1=2gh……③

第二次落到火星表面時速度應按平拋處理：廣府焉……④

由以上4式可解得v=

2、討論天體運動規(guī)律的基本思路

基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有

引力提供。

［例8］2000年1月26日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與

東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi).若把甘肅省嘉峪關處的經(jīng)度和緯度近

似為東經(jīng)98°和北緯a=40°,已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T,地球

表面重力加速度g（視為常數(shù)）和光速c,試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微

波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間（要求用題給的已知量的符

動的角速度3與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，有3=2兀/「因G駕=〃陪,

R2

得GM-gR2.

設嘉峪關到同步衛(wèi)星的距離為L,如圖所示，由余弦定律得:

L=工戶+R2-2r/?cosa

所求的時間為t=L/c.

【例9］在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行

星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保

持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運

動。如果雙星間距為L,質(zhì)量分別為Ml和M2,試計算：(1)雙星

的軌道半徑；(2)雙星的運行周期；(3)雙星的線速度。

解析：因為雙星受到同樣大小的萬有引力作用，且保持距離不變，繞

同一圓心做勻速圓周運動，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而

軌道半徑、線速度不同的特點。

(1)根據(jù)萬有引力定律尸=必°2&=肛0242及L=%+R,

(2)同理,還有G堂=笆用公

所以，周期為T端—E扁扁

(3)根據(jù)線速度公式匕=坦=",,一P2=^=M,

11

T2、乂必+%)2T+Af2)

【例10］興趣小組成員共同協(xié)作，完成了下面的兩個實驗：①當飛

船停留在距X星球一定高度的P點時，正對著X星球發(fā)射一個激光

脈沖，經(jīng)時間ti后收到反射回來的信號，此時觀察X星球的視角為

9,如圖所示.②當飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定

在星球表面上，豎直向上彈射一個小球，經(jīng)測定小球從彈射到落回的

時間為t2.

已知用上述彈射器在地球上做同樣實驗時，小球在空中運動的時

間為t,又已知地球表面重力加速度為g,萬有引力常量為G,光速

為c,地球和X星球的自轉(zhuǎn)以及它們對物體的大氣阻力均可不計，試

根據(jù)以上信息，求：

(1)X星球的半徑R；(2)X星球的質(zhì)量M；(3)X星球的第一宇

宙速度V；

(4)在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T.

解析：(1)由題設中圖示可知：

(R+ct1)sine=R,

(2)在X星球上以v0豎直上拋t2=也，在地球上以V。豎直上拋：t

g'

_2v/tD%-Mm.M-R氣-gfc%sin2e

―----0-，??g=_g，乂由G—

2

ghRG4Gz2(l-sin61)