第4章統(tǒng)計(jì)推斷

在第1章和第2章，我們引入了各種類型的貝葉斯 并初步討論了后驗(yàn)分布（密度）的計(jì)算問題，并且了解到貝葉斯統(tǒng)計(jì)的所有統(tǒng)計(jì)推斷都是基于后驗(yàn)分布(密度)來進(jìn)行的。那葉斯統(tǒng)計(jì)推斷呢？這就是本章要討論的主要問題。 介紹如何利用后驗(yàn)分布（密度）進(jìn)行參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假 設(shè)樣本xx1,,xn有聯(lián)合密度（概率函數(shù)）p(x，其中是未知的待估參數(shù)。為了由貝葉斯算出后驗(yàn)分布(x，最后，選擇后驗(yàn)分布(x的某個特征量作為參數(shù)的定義4.1后驗(yàn)密度（概率函數(shù)）(x)的眾數(shù) EEB計(jì)并記為?B在一般情形下，這三種貝葉斯估計(jì)是不同的，但當(dāng)后驗(yàn)密度函數(shù)關(guān)于均值左右對稱時，這三種貝葉斯估計(jì)重合為一個數(shù)。另外，一般而言，當(dāng)先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)時，貝葉斯估計(jì)比較容易求得。4.1x（成功次數(shù)）來自二項(xiàng)分布xP(Xx)nx(1)nx,xx 其中參數(shù)為成功概率。現(xiàn)取貝塔分布Beta()為的先驗(yàn)分布，試求參數(shù)的后驗(yàn)眾數(shù)估計(jì)和后驗(yàn)期望估計(jì)。解Beta()是參數(shù)的共軛先驗(yàn)分布，所以，的后驗(yàn)分布為貝塔Beta(xnx)。因此，的后驗(yàn)眾數(shù)估計(jì)和后驗(yàn)期望估計(jì)分別為 x1 ，? n 注：由第 章例 知的 先驗(yàn)為()1/2(1)1/2（即貝塔分布Beta050而由貝葉斯假設(shè)得的先驗(yàn)分布為均勻分布U(0,1（Beta(1,1)二者都是特殊的貝塔分布，因此，對應(yīng)這兩個無信息先驗(yàn)的貝葉斯估計(jì)也一并解決了。 x,

x

n這里令人感到驚奇的是參數(shù)的后驗(yàn)眾數(shù)估計(jì)居然就是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中 表4.1中的數(shù)據(jù)，不難看出的后驗(yàn)期望估計(jì)?要比后驗(yàn)眾數(shù)估計(jì) （即最大似然估計(jì)） 合理一些，而且從下一小節(jié)知道后驗(yàn)期望估計(jì)在所有的參數(shù)的估計(jì)中的后驗(yàn)均方差最小，所以人們經(jīng)常選用后驗(yàn)期望估計(jì)作為的貝葉斯估計(jì)。這樣，在這個統(tǒng)計(jì)模型中貝葉斯估計(jì)就優(yōu)于經(jīng)典統(tǒng)參數(shù)的貝葉斯估計(jì)用到的信息與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的最大似然估計(jì)用到的信息是一樣的，但是，結(jié)果表 E1500200355141定義4.2設(shè)參數(shù)的后驗(yàn)分布為(x)，其中x(x1, 一個貝葉斯估計(jì)，則(?)2的后驗(yàn)期望 PMSE(?PMSE(?，則稱在后驗(yàn)均方差準(zhǔn)則下?優(yōu)于? EEEE后驗(yàn)均方差與的后驗(yàn)方差有如下關(guān)系

EE

EE例4.2 布，那么，成功概率的后驗(yàn)分布為另一個貝塔分布Beta(x,nx)試求的后驗(yàn)var(x) (x)(nx) (n)2(n1 ?x1

n

x)(x1)(nxE

x，而

)var(x)(?

)2(x1)(nx1)(x1

n 所以，PMSE(?) 設(shè)給定的樣本x 來自總體p(x|)(x。對于給定的概率1（一般而言，0.1的正數(shù)1）如果可找到二個統(tǒng)計(jì)量??(x和??(x，使得 P(??x) 則稱區(qū)間[?,?為參數(shù)的可信水平（度）為1的貝葉斯可信區(qū)間（或區(qū)間估計(jì)）也可簡稱為的1可信區(qū)間（區(qū)間估計(jì)2）如果可找到統(tǒng)計(jì)量??(x P(L

x)則稱?為的1可信下限）如果可找到統(tǒng)計(jì)量 ?(x)，使 P(?x)UU則稱?為的1可信上限U interval”間（Confidenceinterval”等不同，不要 當(dāng)為連續(xù)型隨 量時，定義中的三個不等式可以改為等式。只是當(dāng)為 量時，因?yàn)閷o定的概率1，可信區(qū)間（下限，上限）不一定存如果求出了0.95的可信區(qū)間（區(qū)間估計(jì)）[a,b]P(abx)就不能這么說，因?yàn)榻?jīng)典統(tǒng)計(jì)認(rèn)為是未知常量，它要么在區(qū)間[a,b]內(nèi)，要么在此

)么，成功概率Beta(xnx10次獨(dú)立試驗(yàn)x9Beta(0.5,0.5)，求參數(shù)的后驗(yàn)均值估計(jì)和95%1值估計(jì)為?9.5(9.51.50.86362求95%區(qū)間估計(jì)就是要找到兩個統(tǒng)計(jì)量?? 我們分別找?和?U U

P(?

x)LP(L

x)0.025，P(

x) P(?

x)P(

x)P(

x)ULR命令就可求得95%區(qū)間估計(jì)為[0.6187,0.9890]。qbeta(c(0.025,0.975),9.5,1.5)UL[1] §4. 泊松分布參數(shù)的估4.2. 后驗(yàn)分布,xn 樣本x(,xn是

來自 Poisson()，其概率函p(x|) ex

x0,1,2,例2.3 證明了伽瑪分布Gamma( ,)是均值（方差） 的共軛先驗(yàn)分布，且此時的后驗(yàn)分布是Gamma( nx, n)。例3.16證明了()1/2是的杰弗里斯無信息先驗(yàn)，此時 的后驗(yàn)分布是(|x) p(x|)() nx1/2en這正是伽瑪分布Gamma(nx1/2,n)，其 x是樣本均值4.2.2當(dāng)泊松分布的均值（方差）取伽瑪分布G 例2.3中已經(jīng)求得的后驗(yàn)期望為E(|x)nx

x B?E(|x)B

x 瑪分布 (nx1/2,n)。因此，此時的泊松分布的均值（方差）的后驗(yàn)期nx?E(|x) 2x 4.1（某國受教育程度不同婦育率比較研究）20世紀(jì)90年代的一項(xiàng)綜合社會中收集了155名婦女受教育程度和她們孩子個數(shù)的數(shù)據(jù)。這些婦女在1970年代是20來歲的，這段時間是某國歷史上一段低率的時期。在本案例中我的率與那些沒有大學(xué)文憑的婦女的率。設(shè)X11,X ,表示m個沒有大學(xué)文憑的婦女各 X12,X22 ,Xn X11,X ,Xm1|1~i.i.d. ,Xn2|2~i.i.d.Poisson(2 111Xi1217,X112對于有大學(xué)文憑的婦女：n44, 2

Xi266,X2 G G 2 2均12。均圖4.1某國有無大學(xué)文憑 育率后驗(yàn)密度比較 (1)exp(),yp(y,)() p(x)1e1x,x (|x)p(x|)()nenx1(1)e1(n1)e(nx)?E(|x)nx1 B

n n np(x)1e1x,x nBi?E(x)nx1 Bin n1習(xí)題3.14求出了參數(shù)的杰 案例:國產(chǎn)彩電 經(jīng)過早期篩選的彩色電視機(jī)（簡稱彩電）的T服從指數(shù)分布，它的密度函數(shù)和分布函p(t)1et/,t0，F(xiàn)(t)1其中0且E(T)，即是彩電的平 現(xiàn)在從一批彩電中隨機(jī)抽取n臺進(jìn)行 時間為t1t2 tr，另外nr臺彩電直到試驗(yàn)停止時還未失效，這樣的試驗(yàn)稱為截尾 所得樣本t rrrp(t)[rr

)][1F(t

rexp{s/其中srt1trnr)tr 逆伽瑪分布IG (,)作為的先驗(yàn)分布()是可行的，于是，參數(shù)的后驗(yàn)密度(t)p(t)()(r1)e(sr

t) r試驗(yàn)，我們從15個彩電生產(chǎn)廠的 就收集到13142臺彩電的 臺時，此外還有9240臺彩電進(jìn)行三年現(xiàn)場 30000

()d其中先驗(yàn)()為逆伽瑪分布IG (,)的密度函數(shù)，它的數(shù)學(xué)期望為E()/(1)。=1.956，這樣我們就得到的先驗(yàn)分布密度 (1.956,2868)以及后驗(yàn)分布密 現(xiàn)隨機(jī)抽取100臺彩電，在規(guī)定條件下連續(xù)進(jìn)行400小時的 利用后驗(yàn)分布 (1.956,42868)還可獲得的可信下限，下面就來求可信水平為10.9的可信下限。首先易知1~ (1.956,42868)。如設(shè)為的0.9可信下限，L P(|t0.9P(11|t L (1.956,42868)的0.9分位數(shù)，利用如下R命令可得此分位LLLLL [1]8.920722e-§4.4 現(xiàn)在設(shè)x(x, ,x)是來自正態(tài)總體N(,2)的樣本，在方差2已知時，對均值參數(shù)的先驗(yàn)和后驗(yàn)分布 2x2 11 20 2

2，

?E(|x) x 2 2 2 若無先驗(yàn)信息，那么無論把正態(tài)總體看作位置參數(shù)族還是用杰 驗(yàn)都是()1。這時，樣本均值x是的充分統(tǒng)計(jì)量，從而后驗(yàn)分布

x)(x)p(x)()

這是正態(tài)分布N(x,2n)的貝葉斯估計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的一樣都為樣本均值x(1

xi均值已知時方差的估計(jì)共軛先驗(yàn)分布。在例2.2中，我們找到了方差2的共軛先驗(yàn)為逆伽瑪分布，而且后驗(yàn)分布為 (, (n,ns2 ，而且后驗(yàn)分布為，其中ns2 x故這時方差2的后驗(yàn)期望估計(jì)

1(xi 2(xi

?2E(2|x)

2 n1

2n無先驗(yàn)信息。對于標(biāo)準(zhǔn)差，此時無論作為尺度參數(shù)還是用杰 方法得到的無信息先驗(yàn)分布都是 ()1，從而易知方差2的無信息先驗(yàn)是(2)2。于是，方差2的后驗(yàn)分布(2x)p(x2)(2(n

(x)2

(n

ns2(2

exp

(2

exp22 這正是逆伽瑪分布 (n/2,ns2/2)。故這時方差2 ns2?2E(2|x) n2

n2

N (,,,2) (2)[(01)21] [2()2

0 而對應(yīng)的后驗(yàn)分布(,2|x)是N (,,, n

0

x,

n,

0 22(n1)s2

0

(x)2，(n1)s2

(xx00

n 0

0

nn

[2(其中(|2,x)=N(,2/)，( 與方差2

n x? x

?2

n2/2=nn nn

(/2) 無先驗(yàn)信息。由例3.17知道當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(,2)，但無參數(shù)(,2)的先驗(yàn)信息時，(,2)的杰 先驗(yàn)為(,2)1/2。于是，參數(shù)向量(,2)的后驗(yàn)分布(,2x)p(x,2)(,2(n

(x)2

n

s2n(x)2

exp

(2)(21)exp

其中s

ii

(xx

自由度為n2(np(x)

2n/2(n/

xn/21en現(xiàn)在設(shè) 量X~2(n)，再令 n

1，我們來求Y的分布 (y)。首先計(jì)算變換yx dx/

(y)p(x) dxp(y1)y2

y(n/21)exp(1 x

2n/21(n/ 2我們稱Y是自由度為n2Y~2(n)（2分布Zs2Y Z~s22(npZ(z)

(y)

sn6 )

ys

2n/21(n/ (,2x)(2

2

exps2n(x)2 n(x)2

(

1exp

(2 exp 令

22 n(x)2

(

，(2|x)(2

exp22

(|2,x)=N(x,2/n)，(2|x)=s22(n)

x，?2E(s

里 ~2

x1p(x)dx0

2(n1)/2

n1)

x(n3)/21ex/ x(n3)/21ex/2dx2

02(n3)/2(n2 2

1

E(s ) )

(xx

案例:無先驗(yàn)信息如何估 案例4.3在R軟件包BayesianStat中的數(shù)據(jù)集marathontime收集了二十位運(yùn)動員在 比賽中的成績（時間單位：分假設(shè)這些成績服從正態(tài)分布N(,2)，但對于兩參數(shù)(,2)無任何先驗(yàn)信息。為了估計(jì)均值和方差(,2)，我們可取無信息先驗(yàn)為杰先驗(yàn)(,2)1/2，這樣，就可利用前面推導(dǎo)出的聯(lián)合后驗(yàn)分布。我們首先來畫Rattachmarathontimemtimeicontour則畫出后驗(yàn)密度的等高線（4.2c數(shù)組中前兩個是橫軸取值范圍，后兩個是縱軸取值范圍，mtime是已知樣本。icontour(Normki2post,c(220,330,500,9000),mtime,xlab="均值",ylab="接下來，我們來模擬參數(shù)(,2聯(lián)合后驗(yàn)分布的樣本。(,2的模擬值可以分兩步得到，首先用分布(2|x)=s22(n1)2(|2x)=N(x,2n模擬，這樣就得到參數(shù)(,2的模擬樣本?，F(xiàn)在我們來模擬1000對這樣的樣本，模擬所用R命令如下，其中第三個命令模擬2；第四個命令模；最后一個命令是將模擬得到的樣本畫到4.2上。s2<-sum((mtime-mean(mtime))^2)n<-length(mtime)sigma2<-s2/rchisq(1000,n-points(mu,sigma2)現(xiàn)在我們可以利用模擬樣本來估計(jì)均值和方差這兩個參數(shù)了。利用R命令mean(mu)mean(sigma2)，我們就分別得到均值的后驗(yàn)期望估計(jì)?278.19和方差的后驗(yàn)期望估計(jì)?22712.18。再利用R命令 301.5)和(1454.4,5157.9)，R命令 le的具體用法如下：le(mu,c(0.025, 254.2789le(sigma2,c(0.025, 1454.386§4.5貝葉斯假設(shè)檢本x H0:0，H1:1其中0與1是的兩個非空子集且滿足0101（空集這時稱0與10P(H0

x)P(

x),1

P(1 12 3011等價于01/2，所以當(dāng)01/2H0例4.4 H0:0{;01/2},H1:1{;1/2P(

x)

(n

1/2x(1)nx (x1)(nx1)P(

x)

(n

1x(1)nx (x1)(nx1)并且110?，F(xiàn)在設(shè)n5，則由如下R命令容易算出樣本x各種取值下的后驗(yàn)概率及后驗(yàn)機(jī)會比，由計(jì)算結(jié)果可見當(dāng)x0,1,2時，接受H0；當(dāng)x3,4,5時， H0而接受H1。[1] [1] [1] 布()，顯然也可以定義先驗(yàn)機(jī)會比（先驗(yàn)概率比）如下0P(H0)P(0 定義4.4 B(x后驗(yàn)機(jī)會比01先驗(yàn)機(jī)會比0/ 從這個定義可見，貝葉斯因子既依賴于數(shù)據(jù)x 0 00B0B(x)1 的后驗(yàn)概率就越大（而且反之亦然Bx等價于

1/2BxH H0:0，H1:P(|x)

0p(x|0 0

p(x|0)1p(x|P(|x)

1p(x|

0

0p(x|0)1p(x|0p(x01p(xB(x) ()p(x p(x0 1 原假設(shè)H0必須且只須0/11，亦即數(shù)據(jù)xp(x1)p(x0

兩個先驗(yàn)概率比（先驗(yàn)機(jī)會比H0，則必須且只須0/11，亦即B(x)p(x p(x1)

/

越可能成立，從而接受原假設(shè)H0的 了樣本支持原假設(shè)H0的程度。例4.5設(shè)樣本x(x1, ,xn)來自總體N(,1)，其中只有二種可能：非0即1。如果已知n10，x2，請檢驗(yàn)如下兩個假設(shè)H0:0，H1:解：由題目條件，不難驗(yàn)證均值x1n x是參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量且其分布 N(,1/n，于是在0和1p(x0) nexp{nx2}，p(x1) nexp{n(x1)2}

B(x)

2利用已知條件n10，x2和 命令exp(-10*(2*2-1)/2)，可算得貝葉斯 0

0B(x)03.061070 注意到011即知必須00. H0而接受H1。H0:0，H1:1其中0與1都是的至少包含兩個元素的子集且組成的一個劃分。進(jìn)一步，設(shè)參數(shù)的()H0和備擇假設(shè)H1的先驗(yàn)概率分別為0P0令g()1( (),i0,1是示性函數(shù)，則i

0g()d ()d

()d 為1()g()g()0g0(),1 1 1

g(),

(| p(x)0g0(0

P(1

(| p(x)1g1(

p(x)g0(

mB(x)

01

1p(x)g1(1

因此，雖然這時貝葉斯因子已經(jīng)不是似然比，但可看作0 與1 的 這過積（ 平均極限部分消除先驗(yàn)布的響，調(diào)了本觀值的用（數(shù)。例4.6 設(shè)從正態(tài)總體N(,1)中隨機(jī)抽取一個容量為10的樣本x，其樣本均值x1.5。若取的共軛先驗(yàn)分布為N(0.5,2)，試檢驗(yàn)如下兩假設(shè)H0:1，H1:解：根據(jù)所學(xué)知識，知N(,2，其中與2 1.5100.5

1.4524，2

10 與H的后驗(yàn)概 0P(1x)0.0713，0P(1x)10.0713因此后驗(yàn)機(jī)會比為010.07130.9287 [1][1][1]

1（雙小于號表示大大小于的意思00.6382,110.6382[1] / 例4.7設(shè)樣本x(x, ,x)來自正態(tài)總體N(,2)，其中2已知。如果均值參數(shù)的先驗(yàn)是無信息先驗(yàn)() H0:0，H1:解4.4.1小節(jié)知此時后驗(yàn)分布(xN(x,2n0P(

x)P

n(x) n(0x)

x

n(0x)()0

n(0x) 1n(0x) 驗(yàn)。例如，給定

21 1n10x1.5（4.6的一樣00n(0x)10(11.5) 0 H0:0，H1: 會以一定概率出現(xiàn)的參數(shù)值，因而可以給予0一個正概率0（可以認(rèn)為0是概率當(dāng)然具體的概率有多大必須由決策者依據(jù)先驗(yàn)信息和專業(yè)知識來判斷。而對于1{0}則可以給一個正常密度g1()，這樣，的先驗(yàn)分布就可取為()0

11g(),11其中110，而且易知(是參數(shù)空間現(xiàn)在設(shè)樣本x ,xn)的聯(lián)合分布密度為p(x)，則參數(shù)的后驗(yàn)分

g()p(x),1 1m1(x)p(x1m(x)p(x)()d0p(x0)0P(0x)0p(x0)/m(x)，1P(0x)1m1(x)/0

P(x0)，B(x)01p(x0

特別值得注意的是，從這個貝葉斯因子的表達(dá)式，我們看到先驗(yàn)概率已經(jīng)約去了，因此，貝葉斯因子不受先驗(yàn)概率的影響。這就是說，在計(jì)算這個貝葉斯因子的時候，我們并不需要真正知道先驗(yàn)概率等于多少，故在這種情形下，我們常常先計(jì)算和 貝葉斯因子B(x)，設(shè)H0的后驗(yàn)概率。案例4.4（Berger，1995）本案例是有關(guān)藥物療效的統(tǒng)計(jì)分析問題，在 H0:0，H1:H0H1取相等先驗(yàn)概率，即011/2。對于1}上的先驗(yàn)密度g1)（療效之差00更為g1)N(0,2)。這樣，我們確定了

) (x)2},g()

2

22]}d將被積函數(shù)指數(shù)部分進(jìn)行配m1(xn)p(xn)g1()d

2exp{2[n(xn

nxn(x)2 (n0.5) n0.5 1 xm1(xn) exp{ 2

2(2xng1N(0,2n1nexp{nx2/nB(x)n

0)

exp{ 1 2(2(nx(nx 12nexp{ 1若現(xiàn)在有樣本n1xn1.63

B(1.63) 12 }0.7144<1=1

0B(x

B(x =0.41670.5 B(x)1 B(x)1 H0:0，H2:0，H3:治療1。醫(yī)生們顯然對這個三假設(shè)檢驗(yàn)問題更感，因?yàn)樗麄冏罱K要了解的正是哪種治療的療效更好。為了做這個檢驗(yàn)，先把0時的后驗(yàn)分布求出來，此時后驗(yàn)分布有(xn)p(xn)()1g1()p(xn

2

nx

exp )2 exp (n0.5) 2 2

n0.5 1

exp2(n0.5)n0.5

xn下，（0）nN(nx n0.5),(n0.5)1。但是，當(dāng)0時，我們已算得H0的后驗(yàn)概率為nB(x)(B(x) 因此，（0） (1)N(nx n0.5),(n0.51 對于前面給定的樣本n1x

1.63以及1

1(1Bxn可以直接用如下R2P(0|xn)0.0534，3P(0|xn)21。顯然，要想得到更加可信的結(jié)論，那就必須[1][1] 有更好沒有最好的。設(shè)樣本x(x1,,xn的聯(lián)合分布密度為p(x|)而且參數(shù)的先驗(yàn)為)x~p(x|),~(),(|x) p(x|)其中，分母是樣本x m(x)p(x拉斯近法22m(x)p(x

2 Mk:x~pk(xk),k~k(k),kk,k k k

|x)，利用離散型的貝葉 1k

|x)

0kp(x|MkK p(x|M

j10 p(x|Mk)p(x,k|Mk)dkp(x|k,Mk)p(k|Mk 在貝葉斯模型Mkp(x|k,Mk)pk(x|k),p(k|Mk)k(k),k k1kk

P(Mk|x)

0kK

pk(xk)k(kjj10jj

pj(xj)j(j)d另一方面，模型MiMjB(x)

0j

0j0i

mij j

p(x)( p(x)(

mi i

0j

j j

另外，通過貝葉斯因子，模型Mk的后驗(yàn)概率又可以表示為1k

0k

pk(xk)k(kkkKK0j p(x)( jjK

0j

pj(xj)j(j)djjj

0

B(x)j1

p(x)()d

k 0k k k用后驗(yàn)概率來比較和選擇模型是很自然和恰當(dāng)?shù)淖龇?，哪個模型的后驗(yàn)概率最大，哪個模型就是最佳模型，但是計(jì)算后驗(yàn)概率必須已知先驗(yàn)概率，而先驗(yàn)概率并不容易確定。因此，在實(shí)際應(yīng)用中常常去估算貝葉斯因子，然后通過貝葉斯因子的結(jié)果來比較和選擇模型。 模型M 4.3表 Bij1Bij弱3Bij中10Bij強(qiáng)30BijBij表 1Bij弱3Bij中20Bij強(qiáng)Bij案例 案例4.5本案例是為一支 了它的n場比賽，得到它的進(jìn)球個數(shù)為x1,x2, 進(jìn)球是相當(dāng)難得的事，所以可以設(shè)進(jìn)球個數(shù)服從均值參數(shù)為的泊松分布Poisson()。為了對這支球隊(duì)有更深入的了解，我們當(dāng)然想去估計(jì)均值參數(shù)，但是我們沒有關(guān)于的先 認(rèn)定的先驗(yàn)分布1）~G (4.57,1.43)，這是的共軛2.102）0.663） 四分之一分位數(shù)分別是28.50和1.92。之所以取這個先驗(yàn)，是表明我們對 數(shù)服從正態(tài)分布，則其本身服從對數(shù)正態(tài)分布，所以（實(shí)際上是說參數(shù)分別服本案例的樣本是這支球隊(duì)35場比賽進(jìn)球個數(shù)的數(shù)據(jù)，以文件名football存放在RBayesianStat中。顯然，樣本x(x1,x2 ,xn)的分布或似然函數(shù)p(x|)

x!，其中t

xii現(xiàn)在用R程序計(jì)算四個備選貝葉斯模型的對數(shù)邊際密度mi(x),i1,2,3,4，所用命令如下，其中，命令list是將數(shù)據(jù)data=goals和參數(shù)par=c(4.57,1.43)組合成列表datapar；命令iLa ce就是用拉 近法計(jì)算模型的對數(shù)邊際密度，它的三個參變量分別是log[p(x