幾何與代數(shù)歷年真題

01-02學(xué)年第二學(xué)期

幾何與代數(shù)期終考試試卷

一（30%）填空題:

1.設(shè)。=(1,2),力=(1,—1),則。夕,；a，/3==；（a。00

120、234、

2.設(shè)矩陣A031，B056,則行列式|AB[=

130>007,

3.若向量組%線性無關(guān)，則當(dāng)參數(shù)上____時，%一二2，%。2一。3，二3一，也線性無關(guān);

’1111、

0111

4.矩陣A的伴隨矩陣A*=

0011

,00017

5.設(shè)矩陣A及A+E均可逆，則G=E—（A+E）T,且

6.與向量Q=（1,0,1）,a=（1』,1）均正交的單位向量為

7.四點(diǎn)7(1,1,1),5(1,1,x),C(2,l,l),0(2,y,3)共面的充要條件為

8.設(shè)實(shí)二次型/（七,工2，工3）=X；+叱+工；+2々工3，則當(dāng)左滿足條件.?時，/（西,々,工3）=1是橢

球面；當(dāng)&滿足條件時，/（斗,々,七）=1是柱面。

Z=「一3繞z-軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面,叼為以巧與平面%：X+y+Z=1的

（8%）記再為由曲線

x=0

交線為準(zhǔn)線，母線平行于Z-軸的柱面。試給出曲面可及陶方程，并畫出多被巧所截有界部分在

x-y平面上的投影區(qū)域的草圖（應(yīng)標(biāo)明區(qū)域邊界與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）。

x+2y-z2且與x-y平面垂直的平面方程.

（8%）求經(jīng)過直線《

-x+y-2z

四（12%）求矩陣方程M4=2X+B的解,其中,

311、

"-101

A010,B

.32-1

003

7

五（12%）設(shè)線性方程組

X]+x2+x3+x4=0

=2

玉+3X2+5X3+5X4

-X?+P%一=q

3占+2X2+(p+3)z=-i

1.問：當(dāng)參數(shù)p,q滿足什么條件時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？

2.當(dāng)方程組有無窮多解時，求出其通解。

‘1111、

六（12%）設(shè)矩陣A=3-120,已知秩（A）=2。

J-3k-2,

1.求參數(shù)上的值；

2.求一4x2矩陣戰(zhàn)得日就8=0,（B）=2;

3.問：是否存在秩大于2的矩陣〃使得AM=。？為什么？

七（12%）設(shè)實(shí)對稱矩陣

gonp、

A=0k0與曲域I/

Joo）Ib

1.求參數(shù)上』的值：

2.求一正交陣。，使得0AQ=B.

八（6%）已知”階方陣A相似于對角陣，并且，A的特征向量均是矩陣8的特征向量。證明：AB=BA。

02-03學(xué)年第二學(xué)期

幾何與代數(shù)期終考試試卷

一.填空題、單選題(每小題3分，共36分)

’23OY1

2.11o

02,

3.若A是正交矩陣，則行列式卜

4.空間四點(diǎn)41,1,1),B(2,3,4),C(1,2,Q,￡>(—1,4,9)共面的充要條件是Z=

5.點(diǎn)P(2,-1,1)到直線/：王」=>1=工的距離為；

2-21

6.若4階方陣A的秩為2,則伴隨矩陣A*的秩為_；

(\~2\

7.若可逆矩陣P使=B=,則方陣A的特征多項(xiàng)式為；

I。3)一

8.若3階方陣A使/—A,2/-A,A+3/都不可逆，則A與對角陣相似(其中，/是3階單位陣);

‘011、

9.若A=x1y與對角陣相合，貝ij(x,y)=

J-20,

10.設(shè)A=(4,4,4，AJ,其中列向量4,4,4線性無關(guān)，A3=2A,-A2+A4,則齊次線性方程組

Ax=Q的一個基礎(chǔ)解系是一；

11.設(shè)A,8都是3階方陣，AB=O,“A)—?5)=2,則+()

(A)5；(B)4；(03；(D)2

12.設(shè)n階矩陣4滿足A?=2A,則以下結(jié)論中未必成立的是()

(A)A-/可逆，且(A—/)T=A-/；

(B)A=?；駻=2/；

(C)若2不是4的特征值，則A=。；

(D)間=0或4=2/。

--計(jì)算題（每小題8分，共24分）

2015

1

1

3012

14.求直線/X:—2廠=V、—1一=7工+1廠在平面乃：x+y—2z+l=0上的垂宜投影直線方程.

「1021、

15.設(shè)X4=A8+X,其中A=020,8=0,求乂9:

、T。1Ib

三.計(jì)算題、解答題（三小題共32分）

16.設(shè)向量組

丫=〃4,。2，4）是%，。2，。3生成的空間.已知維"）=2,/?eV.

（1）求；

（2）求V的一個基，并求/?在此基下的坐標(biāo)；

（3）求V的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.

17.用正交變換化簡二次曲面方程

X；+x；-4X,X2-2xtx3-2X2X3-1

求出正交變換和標(biāo)準(zhǔn)形）并指出曲面類型.

18.設(shè)。為由yoz平面中的直線z=0,直線z=y,（yN0）及拋物線y+z?=2圍成的平面區(qū)域.將。

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體Q.（1）畫出平面區(qū)域。的圖形；（2）分別寫出圍成。的兩塊曲面$2

的方程；（3）求5，邑的交線/在zox平面上的投影曲線。的方程；（4）畫出S3S2和/，。的圖

形.

四.證明題、解答題（每小題4分，共8分）

19.設(shè)"是線性方程組4x=b的一個解，b￥0,配$是導(dǎo)出組"=0的基礎(chǔ)解系.證明：

+〃,$+〃線性無關(guān).

20.設(shè)a是3維非零實(shí)列向量，=5LA=aaT.(1)求4的秩；(2)求A的全部特征值;

(3)問A是否與對角陣相似？(4)求卜―43卜

03-04學(xué)年第二學(xué)期

幾何與代數(shù)期終考試試卷

—.(24%)填空題

1.若向量8=7+4]一工，^=hi+J+k,/=Z共面，則參數(shù)滿足.

2.過點(diǎn)P(l,2,l)且包含X軸的平面方程為.

3.已知矩陣A滿足A?+2A—3/=。，則A的逆矩陣A"=.

4?設(shè)矩陣3(,TB=[o5：]，則行列式|設(shè)丁[=--------

J3oj1007,

5.設(shè)向量組a=2c=\2\a=k9貝汁當(dāng)人一時，/，%，%線性相關(guān).

6.向量空間/?2中向量〃=(2,3)在/?2的基&=(1,1),夕=(0,1)下的坐標(biāo)為L

7.滿足下述三個條件的一個向量組為,這三個條件是：①匕是線性無關(guān)的；②其中的每個向量

均與向量a=(l21)正交；③凡與。正交的向量均可由它們線性表示.

8.已知2x2矩陣A=卜口，若對任意2維列向量〃有〃'Az;=0,則a/,c,d滿足條件_____.

[bd)

'0-20、

(12%)假設(shè)矩陣A,8滿足A—8=A8,其中A=1-20.求8.

、T20,

三.(15%)設(shè)向量臼=(a210)r,

?2=(-215丫，&3=(一124)丁，夕=(1bc)T.問：當(dāng)參數(shù)a,。,C滿足什么條件時

1.，能用火,。2，。3唯一線性表示？

2.〃不能用%,%，。3線性表示？

3.，能用線性表示，但表示法不唯一？求這時￡用%,。2，%線性表示的一般表達(dá)式?

四.(8%)設(shè)實(shí)二次型

/(x,y,z)-x2+y2+z2+2axy+layz

問：實(shí)數(shù)。滿足什么條件時，方程/(x,y,z)=l表示直角坐標(biāo)系中的橢球面？

五.(12%)設(shè)3階方陣A的特征值為2,-2,1,矩陣B=aA3—4aA+/。

1.求參數(shù)。的值，使得矩陣8不可逆：

2.問：矩陣5是否相似于對角陣？請說明你的理由.

六.(12%)已知二次曲面5的方程為：

Z=3/+y2,S2的方程為：Z=l-x2o

1.問：S1,S2分別是哪種類型的二次曲面？

2.求M與$2的交線在xOy平面上的投影曲線方程；

3.畫出由加及§2所圍成的立體的草圖.

(11}(-11)

七.(10%)假設(shè)3x3實(shí)對稱矩陣A的秩為2,并且AB=C,其中B=00，c=00。求A

CJUL

的所有特征值及相應(yīng)的特征向量；并求矩陣A及4溺9.

八.(7%)證明題：

1.設(shè)7,…,7是齊次線性方程組Ax=6的線性無關(guān)的解向量，，不是其解向量。證明：

尸，/+7，￡+%，…也線性無關(guān).

2.設(shè)A是〃階正定矩陣，證明：+

04-05學(xué)年第二學(xué)期

幾何與代數(shù)期終考試試卷

一、(24%)填空題

1.以A(l,l,2),5(-2,-1,1),C(—1,1,—1)為頂點(diǎn)的三角形的面積為

2.設(shè)3階矩陣A=(',4,。3)，6=(a2+&3，囚一2a3，，)。若A的行列式|A|=3,則8的行列式

年---------；

3.若向量a=(1,0,1),>0=(2,1,-1),7=(-1,1?)共面，則參數(shù)人=

(1

4.若A為〃階方陣，則方陣3=,的逆矩陣51=

21)

5.已知向量/”是矩陣1r

o1的特征向量，則參數(shù)。=,相應(yīng)的特征值等于—

22,

3、

6.假設(shè)矩陣4=(1叫，則在實(shí)矩陣B=I中，

(00J(10,

與A相抵的有；與A相似的有:與4相合的有

12x1

X\XX

(8%)計(jì)算行列式

XX\X

XXX\

三、(10%)假設(shè)

’200、

(\2—1、

A=110B=12-10；

J02,

求矩陣方程3X=B+X4的解.

四、(14%)假設(shè)矩陣

1.已知齊次線性方程組Ax=。的基礎(chǔ)解系中有兩個線性無關(guān)的解向量.試確定這時參數(shù)X的值，并求

這時Ax=6的一個基礎(chǔ)解系.

2.若在非齊次線性方程組Ar=6的解集中，存在兩個線性無關(guān)的解向量，但不存在更多的線性無關(guān)的

解向量，試確定這時參數(shù)2及。的值，并求Ax=匕的通解.

五、（10%）已知直線/過點(diǎn)與平面乃：x+y—z=l平行，且與直線九-=^-=—相

交。求直線/的方向向量，并寫出直線/的方程.

六、（10%）假設(shè)二次曲面多的方程為：龍2+4>2=27；平面萬2的方程為：x=z-l.

1.巧與巧的交線向?qū)O平面作投影所得的投影曲線I的方程為—

2.該投影曲線繞％軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面左的方程為；

3.在坐標(biāo)系中畫出投影曲線/的草圖（請給坐標(biāo)軸標(biāo)上名稱）；

4.在坐標(biāo)系中畫出可與巧所圍成的立體的草圖（請給坐標(biāo)軸標(biāo)上名稱）.

七、（14%）設(shè)二次型

/(xpx2,x3)———x；+2x；—Xj+2kx、Xj

I.試就參數(shù)%不同的取值范圍，討論二次曲面/（%,々,X3）=1的類型；

2.假設(shè)人>0.若經(jīng)正交變換X=Qy,/（和々,鼻）可以化成標(biāo)準(zhǔn)形2y；+2），；—4y；,求參數(shù)人及一

個合適的正交矩陣Q.

八、（10%）證明題

1.假設(shè)一維向量=aa{+ha2，P2=cax+da2。若仇,0?線性無關(guān)，證明:%,%線性無關(guān)，并且，

ab

行列式。0。

cd

2.假設(shè)A,8都是〃階實(shí)對稱矩陣，并且，A的特征值均大于。，8的特征值均大于〃，證明：A+6

的特征值均大于〃+0。

05-06學(xué)年第二學(xué)期

幾何與代數(shù)期終考試試卷

一.（24%）填空題

1.直角坐標(biāo)系中向量a=（1,1,2）與/=（1,0,1）的向量積為；

2.過點(diǎn)P（l,0,l）且與直線|=三」=y垂直的平面的方程為；

3-設(shè)。0則尸0叱=（）

4.若3x3矩陣A的秩為2,a?a2,a3是線性方程組Ax^b的解向量，并且

4=（2,3,4），,%+%=（2,4,6），,則線性方程組Ax=b的通解是；

5.設(shè)a是“5>1）維列向量，則”階方陣A=a/的行列式⑶的值為；

6.設(shè)A是3x3矩陣，若矩陣/+42/—42/—34均不可逆，則行列式|A卜；

7.若3是〃x〃矩陣A的特征值,恒|=2,4*是4的伴隨矩陣，則矩陣A*的一特征值為；

8.若/+2y2+?+2kxz=1表示一單葉雙曲面，則左滿足條件o

,求求「IBi以及矩陣X,使卜小X=C式

@0-1J11-b

中的。均指相應(yīng)的零矩陣。

.三（10%）設(shè)向量組%線性無關(guān)，問：參數(shù)/，機(jī)滿足什么條件時，向量組a}+la2,a2+may,

a,+%也線性無關(guān)？

四（14%）已知空間直角坐標(biāo)系中三平面的方程分別為：

/:x+y+2z=1,

7r2:x+Ay+z-2,

%：/lx+y+z=l+2

1.問：當(dāng)2取何值時這三個平面交于一點(diǎn)？交于一直線？沒有公共交點(diǎn)？

2.當(dāng)它們交于一直線時、求直線的方程。

'-100、

五（12%）已知3x3矩陣4=—a2a+3有一個二重特征值。

、一。一30。+2,

1.試求參數(shù)a的值，并討論矩陣A是否相似于對角陣。

2.如果A相似于對角陣，求可逆矩陣尸，使得=A是對角陣。

(An\

六(10%)假設(shè)A,8是實(shí)對稱矩陣。證明：分塊矩陣”=是正定矩陣的充分必要條件

I。BJ

是A,8都是正定矩陣。

七(8%)由與平面z=-l及點(diǎn)朋(0,0,1)等距離運(yùn)動的動點(diǎn)尸(x,y,z)所生成的曲面記為多，將yOz平面

上曲線4)以Z軸為旋轉(zhuǎn)軸所生成的旋轉(zhuǎn)曲面記為萬2。則：

x=0

1.%的方程是：:町的方程是：；

2.%與12的交線在xOy平面上的投影曲線方程是：；

3.在坐標(biāo)系中畫出由這兩個曲面所圍成的有限立體的簡圖.

八(10%)證明題：

1.若2x2實(shí)矩陣4的行列式|A|<0,證明：A必定相似于對角陣.

2.假設(shè)〃x〃實(shí)對稱矩陣A的特征值為4,4,…,4，。是A的屬于特征值4單位特征向量，矩陣

B=A-\aar.證明：8的特征值為0,為…，4”.

06-07第二學(xué)期

幾何代數(shù)期終考試試卷

（30%）填空題（/表示單位矩陣）

1.向量￡=（1,0,-1）,夕=（一1,1,0），7=（1,1,女）共面時參數(shù)k的值為,此時，與這三個向量

都正交的一個單位向量是.

2.向量組

的秩等于—，這個向量組的一-極大線性無關(guān)組是

3.,則參數(shù)t的值為—:

4.二次型/（蒼乂z）=/+2z2+2盯的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為一，下列圖形中，能表示二次曲面

/（X,y,Z）=l的圖形的標(biāo)號為

(A)B)

(C)(D)

7=

5.由曲線＜繞Z-軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

y=（）

11

6.若向量組內(nèi)與向量組片等價，則參數(shù)4,。必定滿足條件

a2血:

13、c00、

7.