貴州省2023屆高三開學考試數學（理）試卷

貴州省高三年級考試

數學（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時間

120分鐘。

2.請將各題答案填寫在答題卡上。

3.本試卷主要考試內容：高考全部內容。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知復數z=a-2i,且z+應+4=0,其中。力為實數，則

A.a=-2,b=lB.a=—2,Z?=—1

C.a=2,〃=—1D.tz=2,Z?=1

2.設集合A={x|-2<x<2},B={^|X2-2X-3<0},則a(Au8)=

A.{x|-l<x<2}B.{Rx京2}

C.{x|-2<x<3}D.{R2sJu3}

3.目前，全國多數省份已經開始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績由語

文、數學、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成.某校高

三年級選擇“物理、化學、生物”，“物理、化學、政治”和“歷史、政治、地

理”組合的學生人數分別是200,320,280.現采用分層抽樣的方法從上述學生

中選出40位學生進行調查，則從選擇“物理、化學、生物”組合的學生中應抽

取的人數是

A.6B.10C.14D.16

1

4.已知a=\n23,h=2.3°,c=log091.2,則

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<hD.b<c<a

5.已知函數/（尤）=2cos（2x+M（0<e</］的圖象向右平移?個單位長度后，

得到函數g（x）的圖象，若g（x）的圖象關于原點對稱，則（p=

7t7t717t

A.B.c.D.

T7n

6.已知拋物線C:y2=2x的焦點為(九〃)是拋物線C上的一點，若［4/卜』,

2

則AQA%。為坐標原點)的面積是

A.-B.1C.2D.4

2

7.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似

地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中3,C分別

是上、下底面圓的圓心，且AC=3AB,則該陀螺下半部分的圓柱與上半部分的圓

錐的體積的比值是

8.已知sin(a+()=亨，則sin(2a-卡)=

9.已知函數/(x)=/〃lnx+，的最小值為一"2,則m=

X

A.—B.—C.eD.e2

e-e

10.已知AABC的內角A,B,C對應的邊分別是a/,c,內角A的角平分線交邊

于。點，且AD=4.若(2/?+c)cosA+acosC=0,則AA6C面積的最小值是

A.16B.16百C.64D.64百

X2+2x+l,%,0,

11.已知函數/(%)=<若關于x的不等式/(x)+1..a(x+1)恒成立,

|2x-1-2|,x>0.

則。的取值范圍是

B.(-00,-2]u0,1

A.(-00,-2]u-,+oo

D.[-2,0]口—,4-00

12.在長方體ABCO—ABCQ中，AAi=2AB=2AD=4,點E在棱CC；上,

且￡E=2CE,點F在正方形ABCD內.若直線A/與84所成的角等于直線

所與所成的角，則AF的最小值是

?乎「夜.竽

AB.3a9D

4

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中

的橫線上.

13.已知向量。=(1,—2),|川=1,若|。一2》|=2g,則a.b=.

14.(6—gj展開式中的常數項是.(用數字作答)

15.甲、乙、丙等五人在某景點站成一排拍照留念，則甲不站兩端且乙和丙相鄰

的概率是.

22

16.已知雙曲線C:二-±=1(。＞0)的左焦點為網—c,0),點P在雙曲線C的右

a-5

支上，4(0,4).若|PA|+|PF|的最小值是9,則雙曲線C的離心率是.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求

作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)

在數歹(I｛?！埃?，q+2a,+3a3+…+nan=-2〃.

(1)求｛a,,｝的通項公式；

⑵若bn=an+]-an,求數列也｝的前〃項和S..

18.(12分)

某校舉辦傳統(tǒng)文化知識競賽，從該校參賽學生中隨機抽取100名

學生，根據他們的競賽成績(滿分：100分)，按

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五組，得到如圖所示的

頻率分布直方圖.

(1)估計該校學生成績的中位數；

(2)已知樣本中競賽成績在［90,100］的女生有3人,從樣本中競賽成績在［90,100］

的學生中隨機抽取4人進行調查，記抽取的女生人數為X,求X的分布列及期

望。

19.(12分)

如圖,在直四棱柱中，四邊形是菱形，分別是棱

8月,￡)。的中點.

(1)證明:平面但J_平面ACC,./,>

(2)若A4,=2A8,N3AD=60",求二面角B—AF—E的余弦值.

20.(12分)

已知橢圓C：￡+［=l(a>〃>0)的離心率是逅，點在橢圓C上.

a-b-3(2

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵過點8(0,2)的直線/與橢圓C交于P,Q兩點，求AOPQ(。為坐標原點)面積

的最大值.

21.(12分)

已知函數f(x)=ex+x2-x-l.

(1)求/(幻的最小值；

(2)證明：eA+xInx+x2-2%>0.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按

所做的第一題計分.

22.選［修4-4:坐標系與參數方程］(10分)

Y=2+3ccq(y

在平面直角坐標系直刀中，曲線C的參數方程為"(a為參數)，

y=3sina

以坐標原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方

程是pcos^-2x?sin0+2=0.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線。交于兩點，點P(—2,0),求一1一+」一的值.

|PA|IPB\

23.選［修4-5:不等式選講］(10分)

已知函數/(x)=|x+3|.

⑴求不等式/(x)..2x-l的解集；

(2)若*r)..2-|x-a|恒成立，求a的取值范圍.

貴州省高三年級聯(lián)合考試

數學參考答案（理科）

l.A2.D3.B4.C5,C6.A7.D8.B9.D10.Bll.C12.A

313

13.一一14,-1415.-16.-

452

17.17.:(1)因為q+2%+3q—2n

JVr以當.2時*,4+2a2+3/+.?.+(〃-—4〃+3

所以na=2n-3,所以a=――-=2--(H..2)

nnnn

-3

當〃=1時，4=一1滿足上式.則?！?2—.

n

(2)由⑴可得為=2-工則。，出=2———,

n〃+1

573、以3、33

從而4"%+]―/=2----2=-----—>

I〃+1)\nJn〃+1

+斤C心3、(3八L3、(33-33n

"I2八2八4Jn+lj〃+1〃+1

18.解：(1)因為(0.008+0.024)x10=0.32<0.5,0.32+0.036x10=0.68>0.5,

所以中位數在[70,80)內.

設中位數為陽，則0.32+?！?70)x0.036=0.5,解得，〃=75.

(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3.

C12614

P(X=O)=L

49555

C；C；_252_28

P(X=1)--

C,249555

"X=2）=巖嚏12

55

c'c39_1

P(X=3)=言

495-55

'-12

則X的分布列為

p0123

1428121

X

55555555

,,…、八14,28c12

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.

55555555

19.(1)證明：連接BD.

因為四邊形ABC。是菱形，所以BDLAC.

由直四棱柱的定義可知G，平面ABC。，則CG

因為Gu平面ACG.ACu平面ACC,且ACnCC,=C,所以30,平面

ACCt.

由直四棱柱的定義可知BBJ/DD,,BB\=DD「

因為E,尸分別是棱叫,”>|的中點，所以BE//DF,BE=DF,

所以四邊形BEFD是平行四邊形，則EF//BD.

故所，平面4。。1.

因為所u平面AEF,所以平面A￡F_L平面ACC一

(2)解：記ACr>BD=O,以。為原點，分別以前，反的方向為軸的正

方向，垂直平面ABC￡>向上為z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系

0-xyz.

設AB=2,則4((),一百,()),3(1,(),()),E(l,0,2),尸(-1,0,2),故

而=(1,G0),通=(1,百,2),而：=(-1,后2).

設平面A3/7的法向量為〃=(百,如4),

?,[n-AF=-x.+Gy+2z,=0,r-廠r-

則\__廣令A，得n=(>/3,-l,V3)

n-AB=x,+=0,

設平面AEF的法向量為m=(x2,^2,z2)

"牛"戶2+24=。，令%=2得吁(0,2,一技

則

m-AE=%+43y2+2Z2=0,

設二面角B—AF—E為仇由圖可知。為銳角，則

cos0=|cos〈〃,ni）|=?處=I.-]=-

\n\\m\V7xV77

c

a3

91L

20.解：(1)由題意可得=+_1=1,解得4=百/=1故橢圓C的標準方程

4礦4/r

a2=b-+c2,

>,X22

為=i

(2)由題意可知直線/的斜率存在，設直線l-.y=kx+2,P(xi,yl\Q(x2,y2).

y-kx+2,

聯(lián)立4%2,]整理得（3公+1卜2+12米+9=0

3

A=144A:2-36（3^2+1）=36（A:2-1）>0,所以公>1,即％>1或％<一1,

皿I12k9

貝U%+%=-----o——,XX=-——

3公+1廠23k2+1

29_67（^2+1）（^2~0

故|PQ|=42+1.<—引=〃2+1.12kI-4x

3k2+13k2+1~3公+1

點。到直線/的距離貝ijAOPQ的面積S=：|尸。|/=坐二

止+123k+1

設，=五一1>0,則k2=t2+1,

故S=/,6'=',"2當且僅當，=竽時，等號成立,

3（產+1）+13t+i2V122

即MP。面積的最大值為#.

21.(1)解：由題意可得f'(x)=ex+2x-l,

則函數/'(X)在R上單調遞增，且/'(0)=0.

由/'(x)>0,得x>0;由/'(x)<0,得x<0.

則/(x)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+oo)上單調遞增，

故/U)min=/(o)=o.

⑵證明：要證e'+xInx+d-Zx〉。，即證ev+x2-x-l>-xlnx+x-l.

由(1)可知當x>0時，/(x)>0恒成立.

設g(x)=-xlnx+x-l,則g'(x)=-lnx.

由g'(x)〉0,得0cx<1;由g(x)<0,得