任意角的概念與弧度制

關(guān)于任意角的概念與弧度制第一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日任意角的三角函數(shù)之一角的概念的推廣第二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.在數(shù)學(xué)上，我們規(guī)定，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角。1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。

這樣，鐘表的指針在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角總是負(fù)角。一、角的相關(guān)概念：第三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.在圖1.6中，一條射線的端點(diǎn)是O，它從起始位置OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個(gè)正角，記作α。點(diǎn)O是角的頂點(diǎn)，射線OA、OB分別是α的始邊、終邊。

4.如果一條射線它從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，我們稱這樣形成的角為零度角，又稱零角，記作α=0°

第四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日角應(yīng)包括正角、負(fù)角和零角

第五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日為了研究問(wèn)題方便，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合．圖1-9中的30°，

390°，-330°角，都是第一象限角；圖1-10中的300°，-60°角，都是第四象限角；585°角是第三象限角。

角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．

二、象限角終邊在坐標(biāo)軸的角，稱為象限界角，它不屬于象限角第六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成α與周角的整數(shù)倍的和．

注意以下幾點(diǎn)（1）kZ;（2）是任意角；（3）終邊相同的角不一定是等角；但相等的角一定是終邊相同的角；（4）終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，他們相差360o的整數(shù)倍；（5）k?360o與α之間為“+”，k?360o-α看作k?360o+（-α）三、終邊相同的角第七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1判定下列各角是第幾象限角．(1)-60°；(2)585°；(3)-950°12′

例3

在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在y軸上的角的集合(α用0°到360°的角表示)．

例2設(shè)P={銳角}，Q={小于90的角}，M={第一象限角}，S={小于90的正角}，則下列六個(gè)關(guān)系：①P=Q②P=M③P=S④PQ⑤PM⑥QM中，正確的有

個(gè)？（1）四（3）-950°12′=-2×360o+（-230o12’）（2）580°12′=360o+225o，三③④⑤（3）β={α|α=n×180o+90o，n∈Z}第八頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例7設(shè)為第三象限角，求所在象限，并畫圖表示在該象限的什么區(qū)域內(nèi).例6若是第四象限角，則180-是第幾象限角？例5寫出與60°角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤β＜720°的元素β寫出來(lái)：例4在0°-360°間，找出下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.（1）-140°（2）670°（3）-850°36‘第九頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日任意角的三角函數(shù)之二弧度制在物理學(xué)和日常生活中，一個(gè)量，常常需要用不同的方法進(jìn)行度量，不同的度量方法可以滿足我們的不同需要。第十頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日周角，將它分為360等分，把一等分確定為1個(gè)單位，即1度角。

當(dāng)半徑不同時(shí)（如圖1-13），同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù)。我們稱這個(gè)常數(shù)為該角度的弧度值。

我們規(guī)定，在單位圓中長(zhǎng)為1的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角稱為1弧度角，它的單位符號(hào)是rad，讀作弧度。

第十一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日一般地，任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0。這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制。

【角度與弧度的互化】

1.360°=2πrad，180°=πrad.第十二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1（1）將11230’化為弧度；（2）將弧度化為度；例2、把下列角化為2k+（0<<2

，kZ）的形式.（1）；（2）；并指出所在象限.例3、用弧度制表示第一—第四象限的角的集合第十三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表

度0153045607590120135150弧度0度180210225240270300315330360弧度第十四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)R是圓的半徑，l是所對(duì)的弧長(zhǎng)，在使用弧度制時(shí)，圓心角α的弧度值通常也用α來(lái)表示，由弧度的定義可知，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值滿足：

即l=|α|R弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值與半徑的積。

角度制時(shí)弧長(zhǎng)公式為：

其中n表示角度數(shù)。

弧度制時(shí)弧長(zhǎng)公式為：第十五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4、利用弧度制證明扇形面積公式S=lR，其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，R是圓的半徑。

證明：如圖1-15，因?yàn)閳A心角為1的扇形的面積為

而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角的大小為

rad所以扇形的面積為

第十六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾個(gè)需要注意的問(wèn)題：在表示角的集合時(shí)，一定要使用統(tǒng)一單位（統(tǒng)一制度），只能用角度制或弧度制的一種，絕對(duì)不能混用；用弧度制表示終邊相同的角2k+(kZ)時(shí)，是的偶數(shù)倍，而不是的整數(shù)倍；1弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角（或該弧）的大小，而1是圓的1/360所對(duì)的圓心角（或該弧）的大??；不管是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值；用弧度單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫，如sin2理解為sin（2弧度）；一般弧度表示時(shí)，常寫成多少的形式；但以度為單位，不能省略；第十七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5、根據(jù)下列已知條件，解決扇形的有關(guān)問(wèn)題（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形中心角的弧