2023年廣東省高考數(shù)學總復習專題23：概率與統(tǒng)計解答題（含答案解析）

2023年廣東省高考數(shù)學總復習專題23：概率與統(tǒng)計解答題

-------------------導圖助思快速切入---------------------

［思維流程］——概率與統(tǒng)計問題重在“辨"——辨析、辨型

概

率

統(tǒng)

計

解

答

題

-典例分析規(guī)范答題——

(2019?全國I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進

行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機

選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種

藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.

為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈

則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1

分，甲藥得一1分：若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為

a和夕，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，“《=0」，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，

最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=O,ps=\,pt^api-1+bpi+cpi+1(z—1,2....

7),其中a=P(X=-l),6=P(X=0),c=P(X=l).假設a=0.5,4=0.8.

(i)證明：{Pi+i—p,}(i=0,l,2,…，7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

----------------高考真題把握規(guī)律-----------------

1.(2019?新課標H)"分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10：10平后，每

球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,

假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨

立.在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件"X=4且甲獲勝”的概率.

第1頁共15頁

2

2.(2019?天津)設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為假定甲、

乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

(I)用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布

列和數(shù)學期望；

(II)設M為事件”上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：

30之前到校的天數(shù)恰好多2",求事件M發(fā)生的概率.

-------------------模擬演練命中靶心-------------------

1.2019年國慶節(jié)假期期間，某商場為掌握假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計了10月1日7：

00-23：00這一時間段內(nèi)顧客購買商品人次，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)顧客購買商品共

5000人次顧客購買商品時刻的的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7：00~11：

00,11：00—15：00,15：00-19：00,19：00?23：00,依次記作[7,11),[11,15),

[15,19),[19,23].

(1)求該天顧客購買商品時刻的中位數(shù)t與平均值"(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值代表)；

(2)由頻率分布直方圖可以近似認為國慶節(jié)假期期間該商場顧客購買商品時刻服從正態(tài)

分布N(u，62),其中u近似為",6=3.6,估計2019年國慶節(jié)假期期間(10月1日

-10月7日)該商場顧客在12：12-19：24之間購買商品的總?cè)舜?結(jié)果保留整數(shù))；

(3)為活躍節(jié)日氣氛，該商場根據(jù)題中的4個時間段分組，采用分層抽樣的方法從這

5000個樣本中隨機抽取10個樣本(假設這10個樣本為10個不同顧客)作為幸運客戶，

再從這10個幸運客戶中隨機抽取4人每人獎勵500元購物券，其他幸運客戶每人獎勵

200元購物券，記獲得500元購物券的4人中在15：00-19：00之間購買商品的人數(shù)為

X,求X的分布列與數(shù)學期望；

參考數(shù)據(jù)：若T~N(H，則①p(R-OCTVU+O)=0.6827；

②P(^-2o<T<n+2o)=0.9545；③P(|i-3O<T<H+3O)=0.9973.

第2頁共15頁

頻率/組距

2.在貫徹中共中央、國務院關(guān)于精準扶貧政策的過程中，某單位在某市定點幫扶某村100

戶貧困戶.為了做到精準幫扶，工作組對這100戶村民的年收入情況、危舊房情況、患

病情況等進行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標X.將指標x按照[0,0.2),[0.2,

0.4),[0.4,0.6),[0.6,0.8),[0.8,1,0]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)

定若0興＜0.6,則認定該戶為"絕對貧困戶"，否則認定該戶為"相對貧困戶”；當0眾＜0.2

時，認定該戶為“亟待幫住戶工作組又對這100戶家庭的受教育水平進行評測，家庭

受教育水平記為"良好"與"不好"兩種.

(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與受教育水平不好

有關(guān)：

受教育水平良好受教育水平不好總計

絕對貧困戶2

相對貧困戶52

總計100

(2)上級部門為了調(diào)查這個村的特困戶分布情況，在貧困指標處于[0,0.4)的貧困戶中,

隨機選取兩戶，用X表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望EX.

2

K1_n(od-bc)

附：一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中"—+源+乩

P(K2>ko)0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

第3頁共15頁

3.近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植

的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟效益.根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新奇水果的

箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：

X13467

y56.577.58

y與x可用回歸方程"（其中°,“為常數(shù)）進行模擬.

（I）若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預測該新奇水果100箱的利潤

是多少元.（利潤=售價-成本）

（II）據(jù)統(tǒng)計，10月份的連續(xù)16天中該農(nóng)戶每天為甲地可配送的該新奇水果的箱數(shù)的

頻率分布直方圖如圖，用這16天的情況來估計相應的概率.一個運輸戶擬購置n輛小貨

車專門運輸該農(nóng)戶為甲地配送的該新奇水果，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟

最多只能裝載40箱該新奇水果，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利

500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元.試比較"=3和"=4時此項業(yè)務每

天的利潤平均值的大小.

參考數(shù)據(jù)與公式:設t=lgx,貝ij

0.546.81.530.45

AAu_s"=i(fj-Dfyj-y)

y=blgx+。中，a=y-bt

線性回歸直線鼻(與可?

4.郴州某超市計劃按月訂購一種飲料，每天進貨量相同，進貨成本每瓶6元，售價每瓶8

元，未售出的飲料降價處理，以每瓶3元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，

每天需求量與當天最高氣溫（單位：。C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500

第4頁共15頁

瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量

為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得

下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（I）求六月份這種飲料一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（II）設六月份一天銷售這種飲料的利潤為y（單位：元），當六月份這種飲料一天的進

貨量"（單位：瓶）為多少時，丫的數(shù)學期望達到最大值？

第5頁共15頁

2023年廣東省高考數(shù)學總復習專題23：概率與統(tǒng)計解答題

答案解析

------------導圖助思快速切入-----------------------

［思維流程］——概率與統(tǒng)計問題重在“辨”——辨析、辨型

［回歸方程、

T分析ic

［等可能事件、

一五百承神

概U關(guān)系1―面豆事柞

率

,通生?…

統(tǒng)

計-?-z商事許

解-一祺承作二

答

題［條件概率、

L(古典概型卜——芬布列

匚便^幾何概型)

-------典例分析規(guī)范答題---------------------

(2019?全國I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進

行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機

選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種

藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.

為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈

則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1

分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為

a和夕，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，p,(z=0,l,....8)表示“甲藥的累計得分為i時，

最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則po=O,P8=l，Pi=apt-1+bpi+cpi+1(z—1,2,...,

7),其中a=P(X=-l),6=P(X=0),c=P(X=l).假設a=0.5,4=0.8.

(i)證明：{0+i—pi}(i=O,l,2,…，7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

審題路線圖

(1)確定x的取值情況t求概率一寫分布列

⑵確定系數(shù)a,b,c—構(gòu)造并證明等比數(shù)列已知外,［求p4一說明試驗方案的合理性

構(gòu)建答

規(guī)范解密分步得分

題模板

第6頁共15頁

(1)解X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=T)=(l_a)￡,

P(X=0)=磔+(1—a)(l-￡),

P(X=l)=a(l一份..................................................3分

第一步

所以X的分布列為

定元：確定

X-101

隨機變量的

p(1一郎磔+(1—團(1一份1(1一”)

意義和取

值.

.................................................................................................................................4分

第二步

(2)(i)證明由(1)得a=0.4,。=0.5,c=0.1...........................................5分

定性：確定

因此pi=0Api-1+0.5/?/+0.\pi+1,故0.1(/VH—p?=0.4(pLp『i),即p^\—pi=

概率模型并

4(“一P-i)......................................................................................................6分

計算隨機變

又因為pi—po=pi，O,所以{pi+i—p/}(i=0,l,2,…，7)為公比為4,首項為pi

量取每一個

的等比數(shù)列.......................................................7分

值的概率.

(ii)解由(i)可得

第三步

P8=P8-p7+p7-p6+…+pi-po+po

列表：寫出

=(P8~P7)+(P1一夕6)+…+3-po)

隨機變量的

48-l

一p\.

3分布列.

3第四步

由于°8一1,故Pl-48?....................................................................1°分

求解:利用

所以P4=04—P3)+S3—〃2)+。2—0)+3—PO)隨機變量的

44-1分布列，等

p

3'比數(shù)列累加

=」一......................................................11分法并結(jié)合題

257目條件求

P4表示題干中的實驗方案最終認為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出，在解.

甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為P4=

—=0.0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.…12

257

分

評分細則第(1)問：三個概率寫正確給3分；分布列寫正確再給1分.

第(2)問：(i)a,b,c三個值正確給1分；寫出推導公式給1分，判斷首項給1分.

(ii)利用等比數(shù)列累加列方程給3分；求出小，寫出結(jié)論給1分.

第7頁共15頁

-------------------高考真題把握規(guī)律--------------------

1.(2019?新課標H)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10：10平后，每

球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,

假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨

立.在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件"X=4且甲獲勝”的概率.

【解答】解：(1)設雙方10：10平后的第k個球甲獲勝為事件4(k=l,2,3,...),

則P(X=2)=P(A1A2)+P(&&)

=P(Ai)P(A2)+P(4)P(4)

=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5.

(2)P(X=4且甲獲勝)=P(&A2A34)+P(4&月34)

=P(公)Pa2)P(G)P(4)+P(Ai)P(&)p(A3)p(4)

=(0.5x0.4+0.5x0.6)x0.5x0.4=0.1.

2

2.(2019?天津)設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為假定甲、

乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

(I)用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布

列和數(shù)學期望；

(II)設M為事件"上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：

30之前到校的天數(shù)恰好多2",求事件M發(fā)生的概率.

【解答】解：(/)甲上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概

2

率均為3.

2

故X?B(3,3),

從而=4"白尸—-

所以，隨機變量X的分布列為:

第8頁共15頁

X0123

P

2

X_—

隨機變量X的期望E（X）=3,3~2.

2

（//）設乙同學上學期間的三天中7：30到校的天數(shù)為匕則丫?8（3,3）,

且M={X=3,Y=1}U{X=2,丫=0},由題意知{X=3,丫=1}與夕=2,丫=0}互斥，且{X

=3}與{丫=1},{X=2}與『=0}相互獨立，

由（/）知，P（M）=P（{X=3,r=l}U{X=2,Y=0}=P（{X=3,Y=1}+P{X=2,K=0}

=p（x=3）p（y=i）+p（x=2）p（r=o）

----------模擬演練命中靶心-------------------

1.2019年國慶節(jié)假期期間，某商場為掌握假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計了10月1日7：

00-23：00這一時間段內(nèi)顧客購買商品人次，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)顧客購買商品共

5000人次顧客購買商品時刻的的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7：00~11：

00,11：00—15：00,15：00?19：00,19：00?23：00,依次記作[7,11）,[11,15）,

[15,19）,[19,23].

（1）求該天顧客購買商品時刻的中位數(shù)t與平均值*（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值代表）；

（2）由頻率分布直方圖可以近似認為國慶節(jié)假期期間該商場顧客購買商品時刻服從正態(tài)

分布N（u，62）,其中u近似為“，6=3.6,估計2019年國慶節(jié)假期期間（10月1日

-10月7日）該商場顧客在12：12-19：24之間購買商品的總?cè)舜危ńY(jié)果保留整數(shù)）；

（3）為活躍節(jié)日氣氛，該商場根據(jù)題中的4個時間段分組，采用分層抽樣的方法從這

5000個樣本中隨機抽取10個樣本（假設這10個樣本為10個不同顧客）作為幸運客戶，

再從這10個幸運客戶中隨機抽取4人每人獎勵500元購物券，其他幸運客戶每人獎勵

200元購物券，記獲得500元購物券的4人中在15：00-19：00之間購買商品的人數(shù)為

X,求X的分布列與數(shù)學期望；

參考數(shù)據(jù)：若T?N（n，o2）,則①戶（H-o<T<n+o）=0.6827；

第9頁共15頁

②P(H-2o<T<n+2o)=0.9545；③P(p-3o<T<n+3o)=0.9973.

A頻率/組距

【解答】解：(1)根據(jù)題意，中位數(shù)好(15,19),

由4x(0.025+0.075)+(t-15)x0.100=0.5,得t=16,

x=、

4(z9x0.025+13x0.075+17x0.100+21x0.050)=15.8；

(2)由題意可得，商場顧客購買商品時刻服從正態(tài)分布N(15.8,3.62),

口-6=12.2,^+6=19.4,

所以2019年國慶節(jié)假期期間，商場顧客在12：12-19：24之間購買商品的概率為P(12.2

<7<19.4)=0.6827,

所以人數(shù)為5000x0.6827x7=23895；

(3)根據(jù)題意X可能取值為0,1,2,3,4,

—=釗1

P(X=o)^io14,P(X=l)Cio",

_C6^4_3_C6^4_4_C4_1

P(X=2)C1O7,P(X=3)C1O界，P(X=4)^10

X的分布列如下

X01234

p

[834]

Xr+X+X亍+3X+4?于彳.—1.6

E(X)=01412127躬210

2.在貫徹中共中央、國務院關(guān)于精準扶貧政策的過程中，某單位在某市定點幫扶某村100

戶貧困戶.為了做到精準幫扶，工作組對這100戶村民的年收入情況、危舊房情況、患

病情況等進行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標x.將指標x按照[0,0.2),[0.2,

0.4),[0.4,0.6),[0,6,0.8),[0.8,1.0]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)

第10頁共15頁

定若0興＜0.6,則認定該戶為“絕對貧困戶"，否則認定該戶為"相對貧困戶”；當0眾＜0.2

時，認定該戶為“亟待幫住戶工作組又對這100戶家庭的受教育水平進行評測，家庭

受教育水平記為"良好"與"不好"兩種.

(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與受教育水平不好

有關(guān)：

受教育水平良好受教育水平不好總計

絕對貧困戶2

相對貧困戶52

總計100

(2)上級部門為了調(diào)查這個村的特困戶分布情況，在貧困指標處于［0,0.4)的貧困戶中,

隨機選取兩戶，用X表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望EX.

*2_______”(ad-be)2_________

附：一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+&

P(K2>ko)0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

M?/a?

2JOO

IM

【解答】解：(1)由如圖所示的頻率分布直方圖可得0眾＜0.6的概率pi=(0.25+0.50+0.75)

x0.2=O3,所以100戶家庭的“絕對貧困戶”由100困.3=30,由(1)的表可得"受教育水

平不好”的由30-2=28,

由題意可得"相對貧困戶"由100-30=70,由表可得“受教育水平良好的"有70-52=18,

所以表的值為下表：

第11頁共15頁

受教育水平良好受教育水平不好總計

絕對貧困戶22830

相對貧困戶

185270

總計2080100

_100(2x52-18*28)2_

因為卜220x80x70x304,762>3,841,

所以有95%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與受教育水平不好有關(guān);

(2)由題意可得100戶家庭中由“亟待幫住戶”有100x0.25x0.2=5戶,

[0,0.4)的貧困戶有:100x(0.25+0.5)x0.2=15,

由題意可得隨機變量X的可能取值為：0,1,2,

_Q產(chǎn)_3__10

p(x=0)p(x=l)21,p(x=2)

X012

3102

P2191

所以X的分布列為:7

,10+2_=2

所以數(shù)學期望EX=O?7!--2

3.近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植

的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟效益.根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新奇水果的

箱數(shù)x(單位：十箱)與成本y(單位：千元)的關(guān)系如下：

X13467

y56.577.58

y與X可用回歸方程)'=""十°(其中°,“為常數(shù))進行模擬.

(I)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預測該新奇水果100箱的利潤

是多少元.(利潤=售價-成本)

(II)據(jù)統(tǒng)計，10月份的連續(xù)16天中該農(nóng)戶每天為甲地可配送的該新奇水果的箱數(shù)的

第12頁共15頁

頻率分布直方圖如圖，用這16天的情況來估計相應的概率.一個運輸戶擬購置n輛小貨

車專門運輸該農(nóng)戶為甲地配送的該新奇水果，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟

最多只能裝載40箱該新奇水果，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利

500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元.試比較"=3和"=4時此項業(yè)務每

天的利潤平均值的大小.

參考數(shù)據(jù)與公式：設1=?乂，則

線性回歸直線y=b3+0中,

紇率/組距

4080120160200箝數(shù)

立（『t）2一強

【解答】解：（I）根據(jù)題意,

Q=V一抗=

所以6.8-3.4x0.54=4.964,

V=

所以3.4H4.964.

y=

又t=lgx,所以3.4/gx+4.964.

V=_

所以x=10時，3.4+4.964=8.364（千元），

即該新奇水果100箱的成本為8364元，故該新奇水果100箱的利潤15000-8364=6636.

（II）根據(jù)頻率分布直方圖，可知該農(nóng)戶每天可配送的該新奇水果的箱數(shù)的概率分布表

為：

第13頁共15頁

箱數(shù)[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

P1111

8428

設該運輸戶購3輛車和購4輛車時每天的利潤分別為冷，丫2元.

則看的可能取值為1500,800,100,其分布列為:

Y11500800100

P511

848

=Jx1500+1x800+i-X100=

故E(Yi)u40