2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-3達標練習(xí):第二章2.2-2.2.2事件的相互獨立性含解析_第1頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3達標練習(xí):第二章2.2-2.2.2事件的相互獨立性含解析第二章隨機變量及其分布2.2二項分布及其應(yīng)用2。2.2事件的相互獨立性A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0。9、0。8、0。8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0。960B.0.864C.0。720D.0.576解析:可知K、A1、A2三類元件正常工作相互獨立.所以當A1,A2至少有一個正常工作的概率為P=1-(1-0。8)2=0.96,所以系統(tǒng)正常工作的概率為PK·P=0。9×0。96=0。864。答案:B2.一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨立的加工程序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則產(chǎn)品的正品率為()A.1-a-b B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)解析:設(shè)A表示“第一道工序的產(chǎn)品為正品”,B表示“第二道工序的產(chǎn)品為正品",則P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).答案:C3.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤,記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y(若指針停在邊界上則重新轉(zhuǎn)),x,y構(gòu)成數(shù)對(x,y),則所有數(shù)對(x,y)中滿足xy=4的概率為()甲乙A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8) C.eq\f(3,16) D。eq\f(1,4)解析:滿足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1。所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=eq\f(1,4)×eq\f(1,4)+eq\f(1,4)×eq\f(1,4)+eq\f(1,4)×eq\f(1,4)=eq\f(3,16)。答案:C4.在一段時間內(nèi),甲去某地的概率是eq\f(1,4),乙去此地的概率是eq\f(1,5),假定兩人的行動相互之間沒有影響,那么在這段時間內(nèi),至少有1人去此地的概率是()A.eq\f(3,20) B。eq\f(1,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(9,20)解析:法一考查相互獨立事件的概率公式.設(shè)“甲去某地”為事件A,“乙去某地”為事件B,則至少1人去此地的概率為P=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=eq\f(1,4)×eq\f(4,5)+eq\f(3,4)×eq\f(1,5)+eq\f(1,4)×eq\f(1,5)=eq\f(2,5).法二考查對立事件:P=1-P()P()=1-eq\f(3,4)×eq\f(4,5)=eq\f(2,5).答案:C5.某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅、綠燈,汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為eq\f(1,3),eq\f(1,2),eq\f(2,3),則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為()A。eq\f(1,9) B.eq\f(1,6) C。eq\f(1,3) D.eq\f(7,18)解析:設(shè)汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事件A,B,C,則P(A)=eq\f(1,3),P(B)=eq\f(1,2),P(C)=eq\f(2,3),停車一次即為事件BC+AC+AB的發(fā)生,故概率P=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)+eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))×eq\f(2,3)+eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))=eq\f(7,18)。答案:D二、填空題6.在甲盒內(nèi)的200個螺桿中有160個是A型,在乙盒內(nèi)的240個螺母中有180個是A型.若從甲、乙兩盒內(nèi)各取一個,則能配成A型螺栓的概率為________.解析:從甲盒內(nèi)取一個A型螺桿記為事件M,從乙盒內(nèi)取一個A型螺母記為事件N,因事件M,N相互獨立,則能配成A型螺栓(即一個A型螺桿與一個A型螺母)的概率為P(MN)=P(M)P(N)=eq\f(160,200)×eq\f(180,240)=eq\f(3,5)。答案:eq\f(3,5)7.已知A,B,C相互獨立,如果P(AB)=eq\f(1,6),P(C)=eq\f(1,8),P(AB)=eq\f(1,8),則P(AB)=________.解析:依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P(AB)=\f(1,6),,P(BC)=\f(1,8),,P(ABC)=\f(1,8),))解得P(A)=eq\f(1,3),P(B)=eq\f(1,2).所以P(B)=eq\f(2,3)×eq\f(1,2)=eq\f(1,3).答案:eq\f(1,3)8.在某道路A,B,C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這條道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為________.解析:由題意可知,每個交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12),eq\f(7,12),eq\f(3,4)。在這個道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)=eq\f(35,192).答案:eq\f(35,192)三、解答題9.已知電路中有4個開關(guān),每個開關(guān)獨立工作,且閉合的概率為eq\f(1,2),求燈亮的概率.解:因為A,B斷開且C,D至少有一個斷開時,線路才斷開,導(dǎo)致燈不亮,P=P()[1-P(CD)]=P()P()[1-P(CD)]=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)×\f(1,2)))=eq\f(3,16)。所以燈亮的概率為1-eq\f(3,16)=eq\f(13,16).10.在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中,某市決定在一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工,綠色蔬菜種植和水果種植三個項目,據(jù)預(yù)測,三個項目成功的概率分別為eq\f(4,5),eq\f(5,6),eq\f(2,3),且三個項目是否成功互相獨立.(1)求恰有兩個項目成功的概率;(2)求至少有一個項目成功的概率.解:(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個項目成功的概率為eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))=eq\f(2,9),只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個項目成功的概率為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(5,6)))×eq\f(2,3)=eq\f(4,45),只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目成功的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(4,5)))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)=eq\f(1,9),所以恰有兩個項目成功的概率為eq\f(2,9)+eq\f(4,45)+eq\f(1,9)=eq\f(19,45).(2)三個項目全部失敗的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(5,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))=eq\f(1,90),所以至少有一個項目成功的概率為1-eq\f(1,90)=eq\f(89,90)。B級能力提升1.從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3),從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2),從兩袋各摸出一個球,則eq\f(2,3)等于()A.2個球不都是紅球的概率B.2個球都是紅球的概率C.至少有1個紅球的概率D.2個球中恰有1個紅球的概率解析:分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事件A、B,則P(A)=eq\f(1,3),P(B)=eq\f(1,2),由于A、B相互獨立,所以1-P(eq\o(\s\up6(—),\s\do5(A)))P(eq\o(\s\up6(-),\s\do5(B)))=1-eq\f(2,3)×eq\f(1,2)=eq\f(2,3).根據(jù)互斥事件可知C正確.答案:C2.有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍色、黑色各兩瓶,某同學(xué)從中隨機任取出兩瓶,若取出的兩瓶中有一瓶是藍色,則另一瓶是紅色或黑色的概率是________.解析:設(shè)事件A為“其中一瓶是藍色”,事件B為“另一瓶是紅色”,事件C為“另一瓶是黑色”,事件D為“另一瓶是紅色或黑色”,則D=B∪C,且B與C互斥,又P(A)=eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))=eq\f(4,5),P(AB)=eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))=eq\f(1,5),P(AC)=eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))=eq\f(2,5),故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=eq\f(P(AB),P(A))+eq\f(P(AC),P(A))=eq\f(3,4)。答案:eq\f(3,4)3.本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租用時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足一小時的部分按一小時計算).有甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,4),eq\f(1,2),超過兩小時但不超過三小時還車的概率分別為eq\f(1,2),eq\f(1,4),兩人租車時間都不會超過四小時.(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率.(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列.解:(1)由題意,得甲、乙兩人超過三小時但不超過四小時還車的概率分別為eq\f(1,4),eq\f(1,4).記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A,則P(A)=eq\f(1,4)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,4)+eq\f(1,4)×eq\f(1,4)=eq\f(5,16).所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為eq\f(5,16).(2)由題意可得ξ的可能取值為0,2,4,6,8.P(ξ=0)=eq\f(1,4)×eq\f(1,2)=eq\f(1,8),P(ξ=2)=eq\f(1,4)×eq\f(1,4)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(5,16),P(ξ=4)=eq\f(1,4)×eq\f(1,4)+eq\f(1,2)×eq\f(1,4)+eq\f(1,2)×eq\f(1,4)=eq\f(5,16),P(ξ=6)=eq

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