利用定積分求簡單幾何體的體積

關于利用定積分求簡單幾何體的體積第一頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日1（一）、復習：（1）、求曲邊梯形面積的方法是什么？

(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？（二）新課探析問題：求函數，x=a,x=b圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得到的幾何體的體積。第二頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日2設由曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b與x軸圍成的平面圖形(如圖甲繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V.思考：

1．簡單幾何體的體積計算第三頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日3在區(qū)間[a，b]內插入n－1個分點，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝1，把曲線y＝f(x)，a≤x≤b分割成n個垂直于x軸的“小長條”，如圖甲所示．設第i個“小長條”的寬是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.這個“小長條”繞x軸旋轉一周就得到一個厚度是Δxi的小圓片，如圖乙所示．當Δxi很小時，第i個小圓片近似于底面半徑y(tǒng)i＝f(xi)的小圓柱，因此第i個小圓臺體積Vi近似為Vi＝πf2(xi)Δxi.該幾何體的體積V等于所有小圓柱的體積和V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]．這個問題是積分問題，則有第四頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日4(1)找準母線的表達式及被旋轉的平面圖形，它的邊界曲線直接決定了被積函數．(2)分清端點．(3)確定幾何體的構造．(4)利用定積分進行體積表示．2．利用定積分求旋轉體的體積問題的關鍵在于3．一個以y軸為中心軸的旋轉體的體積yox第五頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日5例1、求由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉所得旋轉體的體積。

例題研究

xyox=1第六頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日6變式練習1、求曲線，直線，與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。答案：例2、如圖，是常見的冰激凌的形狀，其下方是一個圓錐，上方是由一段拋物線弧繞其對稱軸旋轉一周所成的形狀，尺寸如圖所示，試求其體積。第七頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日7分析：解此題的關鍵是如何建立數學模型。將其軸截面按下圖位置放置，并建立坐標系。則A，B坐標可得，再求出直線AB和拋物線方程，“冰激凌”可看成是由拋物線弧OB和線段AB繞X軸旋轉一周形成的。解：將其軸截面按下圖位置放置，并建立如圖的坐標系。則，，設拋物線弧OA所在的拋物線方程為：，

第八頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日8代入求得：∴拋物線方程為：（）設直線AB的方程為：，代入求得：∴直線AB的方程為：∴所求“冰激凌”的體積為：

第九頁，共十一頁，編輯于2023年，星期日9變式引申:某電廠冷卻塔外形如圖所示,雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A,A’是雙曲線的頂點，C,C’是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B,B’是下底直徑的兩個端點，已知AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.(1)建立坐標系，并寫出該曲線方程．(2)求冷卻塔的容積（精確到10m3塔壁厚度不計，

取3.1