人教A版選修高中數(shù)學應用問題教學案例

高中數(shù)學應用問題教學案例普寧華僑中學黃少玲[課題]放大鏡點燃火柴實驗及研究——拋物線的光學性質的實際應用[背景資料]高中數(shù)學新教材數(shù)學1-1，P70閱讀材料：人們已經證明，拋物線有一條重要性質：從焦點發(fā)出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸，探照燈也是利用這個原理設計的，應用拋物線的這個性質，也可以使一束平行于拋物線的軸的光線，經過拋物線的面的反射集中于它的焦點，人們應用這個原理設計了一種加熱水和食物的太陽灶，在這種太陽灶上裝有一個旋轉拋物面形的反射鏡，當它的軸與太陽光線平行時，太陽光線經過反射后集中于焦點處，這一點的溫度就會很高。與之相應，為便于同學們操作，我們用放大鏡來進行研究，放大鏡的鏡面正是一個拋物面，太陽光線通過放大鏡凸面，經過折射集中于焦點處，可在焦點處放置火柴，太陽光較強時可點燃火柴。[教學目標]通過放大鏡點燃火柴實驗與研究，進一步理解拋物線的光學性質，學會用待定系數(shù)法求拋物線的方程，進一步領會拋物線方程中p的幾何意義。培養(yǎng)積極探索的精神，能用數(shù)學方法得出放大鏡鏡口面與燃點距離S公式（用鏡深h，口徑d，加以表達）即公式養(yǎng)成研究性學習的習慣，學會對數(shù)學問題進行深入探討，以主動獲取知識，應用知識和解決問題，進一步研究h,d變化與點燃時間的關系，提出改進太陽能利用中的某些建議。[教學方式]從數(shù)學的角度對日常生活中出現(xiàn)的問題進行研究，引導學生如何對日常所觀察到的現(xiàn)象提出數(shù)學問題，運用數(shù)學方法、數(shù)學思想，主動解決問題，并對提出的問題進行延伸，注重學生主動探索、自主學習、親身體驗、合作交流。[實驗器材準備]大小不一放大鏡10只玻璃板10塊火柴一盒游標卡尺10只（用于測量）[教學過程]一、課的引入介紹背景資料：閱讀高中數(shù)學新教材數(shù)學第二冊（上）P124閱讀材料，圓錐曲線的光學性質及其應用之有關拋物線部分，觀察圖1，圖2，圖3。教師引入：我們今天研究到的放大鏡的鏡面正是一個拋物面，太陽光線通過放大鏡凸面，經過折射后通過焦點處，可在焦點處放置火柴，太陽光線較強時可點燃火柴。經過教師引導，學生產生了強烈的實驗愿望，有了較強的學習興趣。教師實驗：可在學生中請助手幫忙，在教師與學生助手的實驗過程中，學生們一邊觀察現(xiàn)象，一邊努力思索如何就發(fā)生的現(xiàn)象提出一些數(shù)學問題。[實驗]將火柴放置于玻璃板上，放大鏡與玻璃板間保持一定距離，在太陽光照射下，玻璃板上出現(xiàn)一個白點，使白點盡量小，并集中于火柴上，幾分鐘后火柴燃燒，也可要求助手拿火柴，現(xiàn)象更為明顯。二、問題的提出實驗后教師引導：數(shù)學是一門關于數(shù)量關系和空間形成的科學，那么請同學們思考一下在此實驗中有什么量可以用數(shù)學方法加以研究和分析呢？通過教師點撥，引發(fā)學生間的討論，可分若干小組討論，并派代表發(fā)言。有學生甲會提出：燃點位置的確定是我們可以研究的問題，而且根據(jù)實際情況，燃點必處于與鏡口面（平面）垂直的中心軸線上，關鍵在于燃點與鏡口面的距離S。yxBAFO教師在肯定學生甲的發(fā)言后予以表揚，繼而提出這個量S與實驗中那些因素有直接的聯(lián)系呢？要求該因素是可以被測量的，引發(fā)學生的第二次發(fā)言。通過認真而熱烈的討論，同學們會提出不同的觀點，有學生乙提出：關鍵是鏡深h與口徑d，即SyxBAFO教師肯定了學生乙的觀點，針對于具體實驗，請學生助手用游標卡尺測得

h=1cm,d=7.4cm提請學生們計算理論上的S值。三、具體問題的解決學生們通過5~7分鐘的思考與練習，可提出不同的解決方案，將意見集中與拋物線方程的求解，學生丙提出可建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求出拋物線方程再行解決，直角坐標系如圖建立：拋物線方程的求出

教師引導學生用待定系數(shù)法求解，令拋物線方程為因為拋物線過點則：，∴S的求出

教師引導學生回顧拋物線p的含義：焦點到準線的距離

得出理論值與實際值的比較與分析

教師再請兩位同學重做實驗，并測得S的實際值，與理論值加以比較，略有誤差，請各小組派代表分析誤差產生的原因。四、問題的延伸分小組實驗與研究

分若干小組，按如下步驟合作

⑴測量h，d

⑵計算理論S值

⑶實驗并測得實際分組

⑷比較與分析誤差產生原因，形成小組報告分析、評價各小組報告，后教師指出：數(shù)學家對現(xiàn)實問題的研究總是從具體問題提升為一般性的結論，有學生丁指出：我們應該研究如何用d，h表示S，即寫出函數(shù)關系。思考3~5分鐘后，全班同學推薦一名代表來分析：關系。

實際上：令拋物線因為拋物線經過點

∴∴∴評價結論，得到階段性成果，表揚同學們的合作與研究精神。討論并進一步探究實驗有關問題，教師引導學生應努力培養(yǎng)科學探索的意志與毅力，同學們繼續(xù)努力，可提出如下思考問題：

思考1：滿足什么關系時，燃點F位于鏡口面外

[回答]，即，即

思考2：為何值時，點燃時間最快。

思考題2的說明：實際上，思考題2的解決直接有助于太陽的最佳利用問題，它涉及到

自然學科多方面的問題，可刺激學生產生強烈的求知欲望，培養(yǎng)科學

的探究精神。有兩個科學結論是可以得到：

其一、d一定時，隨著h的增大，光線反射部分變強，折射后進入部分變弱，點燃火柴

時間則變慢。其二、h一定時，隨著d的增大，收集到的光線更多，折射后進入部分變強，點燃時間

則更快。五、小結：表揚同學們在本研究中所取得的成功，我們應認識到所學數(shù)學知識在解決實際問題中的作用，養(yǎng)成用數(shù)學的意識，學會數(shù)學的思想方法，以開闊我們的視野