剛體的自由度和平面平行運(yùn)動(dòng)

關(guān)于剛體的自由度和平面平行運(yùn)動(dòng)第一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

其次剛體的方位由其軸的取向決定，確定空間直線的方位坐標(biāo)有兩個(gè)，借用緯度角與經(jīng)度角來(lái)描述，在直角坐標(biāo)系中，采用用、，如圖所示：oxyzp

最后，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，需要一個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述，選定參考方向后，轉(zhuǎn)動(dòng)位置用表示。

總的說(shuō)來(lái)，剛體共有6個(gè)自由度，其中3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

物體有幾個(gè)自由度，它的運(yùn)動(dòng)定律可歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)立的方程。自由度第二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)定義：當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中各點(diǎn)始終和某一平面保持一定的距離，或者說(shuō)剛體中各點(diǎn)都平行于某一平面運(yùn)動(dòng)，這就叫剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)。根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的定義，剛體平面運(yùn)動(dòng)的自由度有三個(gè)，兩個(gè)坐標(biāo)決定質(zhì)心位置，一個(gè)坐標(biāo)決定轉(zhuǎn)動(dòng)角度。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可以看做質(zhì)心的平動(dòng)與相對(duì)于通過(guò)質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。第四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)質(zhì)心在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則平動(dòng)方程可以證明，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在此仍適用剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日車(chē)輪的純滾動(dòng)車(chē)輪中心前進(jìn)的距離與質(zhì)心轉(zhuǎn)過(guò)的角度的關(guān)系則剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日車(chē)輪上任意一點(diǎn)的速度

G點(diǎn)的速度

B點(diǎn)的速度

A點(diǎn)的速度剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日剛體的動(dòng)能質(zhì)心是基點(diǎn)且所以剛體的動(dòng)能等于質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第八頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題4-9討論一勻質(zhì)實(shí)心的圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)。NaCxG=mgrxyOfr解圓柱體所受的力共有三個(gè)：重力G

，斜面的支承力N和摩擦力fr，如圖所示。設(shè)圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為r，那么，它對(duì)其幾何的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第九頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日這樣可得以上三式中，aCx和aCy是圓柱體質(zhì)心在x軸和y軸方向的加速度，是圓柱體對(duì)其通過(guò)質(zhì)心的幾何軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。因斜面粗糙，圓柱體下降時(shí)沒(méi)有滑動(dòng)，只能在斜面上作純粹滾動(dòng)，那么此時(shí)解上列五個(gè)式子，得我們?nèi)『托泵嫫叫卸蛳碌姆较驗(yàn)閤軸的方向，和斜面垂直而向上為y軸的方向剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日代入上式得因剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果這圓柱體從靜止開(kāi)始沿斜面滾下一段距離x，與之相應(yīng)，下降的豎直距離是h=xsin，這時(shí)質(zhì)心的速度由求得如果斜面是光滑的，對(duì)圓柱體沒(méi)有摩擦力，即fr=0，則圓柱體沿斜面滑下的加速度是剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日而圓柱體對(duì)質(zhì)心的角加速度與角速度為如果圓柱體從靜止沿斜面下滑的距離也是x，則質(zhì)心所獲得的速度由求得在上述純粹滾動(dòng)與純粹滑動(dòng)兩種情況中，我們看到，兩者加速度之比是2/3，兩者速度之比是剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日本題也可用機(jī)械能守恒定律討論。圓柱體在斜面上作純粹滾動(dòng)下落時(shí)，所受到的斜面的摩擦力和正壓力都不作功，滿足機(jī)械能守恒的條件。圓柱體從靜止?jié)L下，它沒(méi)有初動(dòng)能，只有重力勢(shì)能mgh，當(dāng)它滾動(dòng)下降這段高度時(shí)，全部動(dòng)能是對(duì)純粹滾動(dòng)而言，vc=r，以此代入得由機(jī)械能守恒定律得剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日求得代入上式得因和以前的結(jié)果完全一致。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4-10一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。解：設(shè)靜摩擦力f的方向如圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律純滾動(dòng)條件為圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為FaC聯(lián)立以上四式，解得剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日由此可見(jiàn)l<r/2,f>0,靜摩擦力向后

l>r/2,f<0,靜摩擦力向前l(fā)=r/2,f=0剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)第十七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日由此可見(jiàn)l<r/2,f