2023學(xué)年完整公開課版培優(yōu)資料20221108

培優(yōu)資料（20221108）1．(2022年浙大)已知，，求證：．證明：因?yàn)?，所以即證而所以即證即證即證即證此式顯然成立，于是命題得證．2．(2022年南大)若正數(shù)滿足，求證：．證明：，同理，，，所以，又，所以，所以．3．已知實(shí)數(shù)滿足，求證：．證明：因?yàn)椋啥魏瘮?shù)性質(zhì)可證，所以，所以，所以只需證明，也就是證，只需證，即，顯然成立,所以命題成立．4．（11遼寧理20）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓的短軸為MN，且，的離心率都為e，直線⊥MN，與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D．（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時，是否存在直線，使得BO∥AN，并說明理由．解：（I）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得………………4分當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知………………6分（II）t=0時的l不符合題意.時，BO………………12分5．（09天津）過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且．⑴求橢圓的離心率；⑵求直線AB的斜率；⑶點(diǎn)C與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線上有點(diǎn)在的外接圓上，求值．.解：⑴。⑵，.①②由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以③聯(lián)立①③解得，，將代入②中，解得.⑶解：由⑵可知，當(dāng)時，得，由已知得.線段的垂直平分線的方程為直線與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，由解得故，當(dāng)時，同理可得.6．(10天津)橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且=4，求的值．解：⑴⑵，，，由得設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)時，線段AB的垂直平分線方程為令，解得由整理得，綜上。7．(10年高考北京理科19)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于．(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得，化簡得.故動點(diǎn)的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為,.則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積又直線的方程為，，點(diǎn)P到直線的距離.于是的面積當(dāng)時，得又，所以=，解得。因?yàn)椋怨蚀嬖邳c(diǎn)P使得與的面積相等，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.因?yàn)?，所以，所以即，解得因?yàn)椋怨蚀嬖邳c(diǎn)S使得與的面積相等，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.8．（08湖南競賽）過直線上的點(diǎn)作橢圓的切線、，切點(diǎn)分別為、，聯(lián)結(jié)．（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，證明：直線恒過定點(diǎn)；（2）當(dāng)∥時，定點(diǎn)平分線段．證明：（1）設(shè)、、.則橢圓過點(diǎn)、的切線方程分別為，.……（3分）因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn)，則有，.這表明、均在直線①上.由兩點(diǎn)決定一條直線知，式①就是直線的方程，其中滿足直線的方程………（6分）（1）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，可理解為取遍一切實(shí)數(shù)，相應(yīng)的為代入①消去得②對一切恒成立……………（9分）變形可得對一切恒成立.故有由此解得直線恒過定點(diǎn).……（12分）（2）當(dāng)∥時，由式②知解得代入②，得此時的方程為③將此方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得………（15分）由此可得，此時截橢圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即代入③式可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即這就是說，點(diǎn)平分線段……（18分）9．（2022湖北競賽）已知直線與橢圓C：交于兩點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交弦于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)．（1）用表示四邊形的面積；（2）求四邊形的面積取到最大值時直線的方程．解（1）直線的傾斜角為，記，則，．而與所成的角為，則四邊形面積．…………5分而，A點(diǎn)坐標(biāo)為，且，從而，，其中或．……………10分（2）記，而只可能在時才可能