河南省溫縣第一高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

河南省溫縣一中2021-2022學(xué)年上學(xué)期高三12月月考試題理科數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上）1.已知集合，，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合、，再進(jìn)行交集運算.【詳解】，，所以，故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及解一元二次不等式、求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由可得出關(guān)于實數(shù)的等式，進(jìn)而可求得實數(shù)的值.【詳解】，，則，解得.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知條件，條件直線與圓相切，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出直線與圓相切時的值，再由充分必要條件的定義判定，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為，由直線與圓相切，則，解得，成立則成立，成立不一定成立，所以是充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判定以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)，其中，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外可計算得出的值.【詳解】，.故選：B.【點睛】本題考查分段函數(shù)值的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因為曲線，所以切線過點（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切線方程為：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，與x軸的交點為：（2，0），

令x=0，y=-e2，與y軸的交點為：（0，-e2），

∴曲線在點（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=×2×|-e2|=e2.

故選D．6.若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．7.若函數(shù)（且）在R上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖像可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)可得且函數(shù)的定義域為，結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用排除法確定函數(shù)圖象.【詳解】由題設(shè)，且，即函數(shù)的定義域為，排除A、B；當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，而在定義域上遞減，所以時遞增；時遞減；排除C.故選：D8.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的有（）A.在上是增函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.在x=3處取得極小值 D.在處取得極大值【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；在上是減函數(shù)，故B正確；因為在上單調(diào)遞減，故在x=3處不能取得極值，故C錯誤；在上單調(diào)遞增，故在處不能取得極值，故D錯誤.故選：B【點睛】本題考查了由函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)圖像研究函數(shù)得性質(zhì)，考查了基本知識得掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.9.若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，然后計算即可.【詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個不同的極值點，則在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，故，解得：，故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求參，考查計算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.10.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，，若，，，則，，的大小關(guān)系為A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由定義在上的偶函數(shù)滿足可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較大小，從而可得所求結(jié)論．【詳解】因為為上的偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，．又當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即．故選B．【點睛】解題時注意兩點：一是知道函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性中的兩個性質(zhì)可推出第三個性質(zhì)；二是比較函數(shù)值的大小時，可將問題轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行研究，利用單調(diào)性得到函數(shù)值的大小關(guān)系．11.已知函數(shù)的定義域為，且滿足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造，根據(jù)已知條件判斷在上單調(diào)性，又題設(shè)不等式等價于，利用單調(diào)性及其定義域范圍求解集.【詳解】令，則，即在上遞增，又，則等價于，即，所以，解得，原不等式解集為.故選：C12.已知函數(shù)，若方程有8個相異實根，則實數(shù)的取值范圍A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示．由題意知，當(dāng)時，；當(dāng)時，．設(shè)，則原方程化為，∵方程有8個相異實根，∴關(guān)于的方程在上有兩個不等實根．令，．則，解得．∴實數(shù)的取值范圍為．選D．點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解．本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識．二?填空題13.已知實數(shù)，滿足則的最大值為_______．【答案】5【解析】【分析】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)約束條件畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點，觀察可得何時目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而得解.【詳解】解：根據(jù)方程組畫出可行域如圖所示，可以求得B(1,1),當(dāng)直線經(jīng)過點B時取得最大值為5，故答案為：5.14.已知向量，，，則實數(shù)k的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個向量垂直其數(shù)量積為，列出等式求解即可.【詳解】因為，所以，即，又因為，，所以，，所以，解得故答案為：15.如圖是2021年9月17日13：34神舟十二號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1200m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于D，D和觀測點A在同一水平線上.在A測得點B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的視角∠BAC滿足sin∠BAC＝，則此時返回艙底端離地面距離CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，計算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù)，長度單位：m).【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理得即可求解．【詳解】設(shè)半球半徑為，則，∴，∴．在中，由正弦定理得，∴，．故答案為：16.已知函數(shù)，，若函數(shù)有3個不同的零點，，，且，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求得的極小值為，由題可得函數(shù)的零點即方程和的根，討論和時可求得結(jié)果.【詳解】，時，，時，的極小值為.令，即，解得方程兩根為和，函數(shù)的零點即方程和的根.函數(shù)有3個不同的零點需滿足：當(dāng)時，且，；當(dāng)時，且，，綜上：的范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題，屬于較難題.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；（2）求B的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角關(guān)系及和角正弦公式、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）由（1）知，結(jié)合余弦定理及基本不等式求的范圍(注意等號成立條件)，進(jìn)而可得B的最大值.【小問1詳解】由已知及正弦定理，得：，所以，又，即，由正弦定理，得：，故a，b，c成等差數(shù)列.【小問2詳解】由可得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以取最小值為，又，即取最大值為.18.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)名某傳染病患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)（1）求這名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述名患者中抽取人，得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整、并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).潛伏期天潛伏期天總計歲以上（含歲）歲以下總計附：，其中.【答案】（1）（天）（2）沒有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得（天）.【小問2詳解】解：名患者中，潛伏期天所占的頻率為，所以，所抽取的名患者中潛伏期天的人數(shù)為，則列聯(lián)表如下表所示：潛伏期天潛伏期天總計歲以上（含歲）歲以下總計，因此，沒有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).19.如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，是邊長為2的正三角形，的面積為2.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）具體見解析（2）【解析】【分析】（1）分別取AB，DC的中點O，F(xiàn)，進(jìn)而證明平面ABE，最后證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而空間向量夾角公式求得答案.小問1詳解】分別取AB，DC的中點O，F(xiàn)，連接OE，OF，因為四邊形ABCD是矩形，所以，則.又△ABE是邊長為2的正三角形，所以.根據(jù)圖形的對稱性可知，，所以，由題意：.所以，故，而，所以平面ABE，而，所以平面ABE.【小問2詳解】由（1），以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面CDE與平面BDE的法向量分別為，所以，令y=1，則，，令b=1，則.所以，，由圖可知二面角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】【分析】（1）求得，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）令，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，.①當(dāng)時，由可得，由可得.此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，，由可得，由可得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時，對任意的，且不恒為零，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；④當(dāng)時，，由可得，由可得或，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，，由可得，，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，所以，，可得，令，其中，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.21.設(shè)不同的兩點A，B在橢圓上運動，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，過O作，M為垂足.（1）求點M的軌跡方程；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）討論直線AB斜率的存在性，設(shè)、、直線AB為并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、向量垂直的坐標(biāo)表示可得，再由點線距離公式求得，即可判斷M的軌跡，進(jìn)而寫出軌跡方程.（2）由相關(guān)線段的幾何關(guān)系可得，結(jié)合，且，，利用坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的有界性求范圍即可.【小問1詳解】①若直線AB的斜率不存在，由已知得：點M的坐標(biāo)為；②若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB為，聯(lián)立橢圓，得：，設(shè)，，則，，以線段AB為直徑的圓過原點O，即，所以，所以，整理得：，又，故O到AB的距離.綜合①②，點M的運動軌跡為O以為圓心，以1為半徑的圓，軌跡方程為：.【小問2詳解】因為，點M在橢圓內(nèi)部，所以，由，且，，則，又，整理得：，所以，又，則.22.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，如圖，曲線被稱為“四葉玫瑰線”以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）射線，的極坐標(biāo)方程分別為，，，分別交曲線于，兩點（不同于），求的最小值.【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程，（2）的最小值4.【解析】【分析】(1)由，將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，(2)由極徑的幾何意義求，再求其最值.【小問1詳解】∵，又