浙江省金華市重點(diǎn)中學(xué)2025年高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題含解析

浙江省金華市重點(diǎn)中學(xué)2025年高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則線段的最小值為()A． B． C． D．62．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或3．已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次（假定費(fèi)用只可能為、、元）．甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、，甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為（）A． B． C． D．4．若,,,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A． B． C． D．6．已知直線y＝k（x﹣1）與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，直線y＝2k（x﹣2）與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣127．著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40408．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb9．對于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．10．已知集合，則=（）A． B． C． D．11．已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．12．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)________．14．正項(xiàng)等比數(shù)列|滿足，且成等差數(shù)列，則取得最小值時(shí)的值為_____15．現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．16．已知，則______，______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn)，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，的平行線交軌跡于，兩點(diǎn)，交軌跡在處的切線于點(diǎn)，問：是否存在實(shí)常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，要使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．22．（10分）已知三點(diǎn)在拋物線上.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，若直線過點(diǎn)，求此時(shí)直線與直線的斜率之積；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，求面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，可知拋物線存在某條切線與直線平行，則，設(shè)拋物線的切點(diǎn)為，則由可得，，所以切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值，則.故選：C.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.2．D【解析】

根據(jù)逆運(yùn)算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng)，解得

，所以3是輸入的x的值；當(dāng)時(shí)，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得．【詳解】由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為．故選：B．本題考查獨(dú)立性事件的概率．掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)．4．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋海瘮?shù)為偶函數(shù)，排除，排除故選本題考查了函數(shù)圖像，通過函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.6．D【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得，，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，聯(lián)立則，因?yàn)橹本€經(jīng)過C的焦點(diǎn)，所以.同理可得，所以故選：D.本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題，運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。7．D【解析】

計(jì)算，代入等式，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8．B【解析】試題分析：對于選項(xiàng)A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號方向，所以選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.9．D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）.又與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10．D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【詳解】，所以.故選：D此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因?yàn)椋源肷鲜交喌?由于，所以.又，故.故選：C.本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.12．D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

解：故答案為：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．2【解析】

先由題意列出關(guān)于的方程，求得的通項(xiàng)公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設(shè)公比為，且，時(shí)，上式有最小值，故答案為：2.本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算，中檔題.15．【解析】

由題意容積，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí).故答案為：本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16．【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，即四邊形面積的最大值.考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.18．（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得方程；（2）由拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，進(jìn)而求得與之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù).【詳解】（1）由題意得，點(diǎn)與點(diǎn)的距離始終等于點(diǎn)到直線的距離，由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則，.∴圓心的軌跡方程為.（2）因?yàn)槭擒壽E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.因?yàn)?，所以設(shè)直線的方程為，.由，得，則在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以在點(diǎn)處的切線方程為.由得所以，所以.由消去得，由，得且.設(shè)，，則，.因?yàn)辄c(diǎn)，，在直線上，所以，，所以，所以.∴故存在，使得.本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫妫医痪€為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，故可得//，為中點(diǎn)；又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，是的中點(diǎn)，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因?yàn)槠矫?，故?即證.（2）連接，，作交于點(diǎn)，由（1）可知平面，又因?yàn)?/，故可得平面，則；又因?yàn)?/，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)面的法向量為，則，，則，可取，設(shè)平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.20．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋缓项}意.②當(dāng)時(shí)，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，，，所以，只需，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.21．（1）（2）特征值為或．【解析】

（1）先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值．【詳解】解：（1）設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,（2）矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或．本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考