橢圓高考真題

橢圓

一、選擇題

1.（2014?福建高考文科?T12）在平面直角坐標(biāo)系中，

兩點4（和弘）,6（々,為）間的"L-距離”定義為

P.P2=卜1一々|+卜|一川則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的

定點片,尸2的“L-距離”之和等于定值（大于|片巴|）的點的軌跡可以是（）

【解題指南】本題是新定義問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【解析】選A.以線段6尸2的中點為坐標(biāo)原點，K心所在直線為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)式（-C,0）,F2（C,0）,P（X,>>）,則c>0.

由題意|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a（2a為定值），整理得「+。|+卜一1+21yl=2a.

y=x+a,y>0

{。?

——fy=-x+tz,y>0

當(dāng)xNc時，方程化為2x+2y=2〃，即引二一次+〃，即/，.

[y=<0

當(dāng)一c<x<c時，方程化為2c+2|y|=2a,即國=一。+。.所以A圖象符合題意.

2.（2014?福建高考理科?T9）.設(shè)P,。分別為圓6）2=2和橢圓彳+>2=1上的點，則P,。兩

點間的最大距離是（）

A.5A/2B.V46+V2C.7+V2D.6V2

【解題指南】兩動點問題，可以化為一動一靜，因此考慮與圓心聯(lián)系.

【解析】D.圓心M（0,6）,設(shè)橢圓上的點為。（x,y）,

貝-6）2=710-10/+（y-6）2=J-9y2-12y+46,

當(dāng)y=-ge[T,l]時，|MQL1ax=5五.所以|尸。|皿=5上+0=6后.

二、填空題

3.（2014?遼寧高考文科?T15）與（2014?遼寧高考理科?T15）相同

c：=+J=1

已知橢圓，94，點M與點C的焦點不重合，若用關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，8,線段MN

的中點在Ct,

則|AN|+忸叫=一

【解析】根據(jù)題意，橢圓的左右焦點為月(一由于點〃的不確定性，不妨令其為橢圓的

左頂點“(一3,0),線段MN的中點為橢圓的上頂點"(0,2),則用關(guān)于c的焦點的對稱點分別為

4—26+3,0),8(2石+3,0),而點N(3,4),

據(jù)兩點間的距離公式得

N|+3|=J(—2石+3—3)2+(0—4)2+招出+3-3)2+(0—4)2=12

答案：12

【誤區(qū)警示】在無法明確相關(guān)點的具體情況的時候，可以取特殊情形處理問題。避免對一般情況處理的

復(fù)雜性

三、解答題

丫22

4.(2014?天津高考文科?T18)設(shè)橢圓=+}v=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi,Fz,右頂點為A,上頂點為

ab~

B.已知|AB|=d5|F,F2|.

2

(1)求橢圓的離心率.

(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點Fb經(jīng)過點B的直線1與該圓相切于點

M,|MF/=2錯誤！未找到引用源。.求橢圓的方程.

【解析】(1)設(shè)橢圓右焦點&的坐標(biāo)為(c,0),

由IAB|=錯誤!未找到引用源。|FE|,可得a2+b2=3c；

又b2=a2-c2,則彳=L

a22

/y

所以橢圓的離心率e=—.

2

⑵由(1)知a2=2c2,b2=c2,故橢圓方程為「+r=1.

設(shè)P(xo,yo),由Fi(-c,0),B(0,c),有錯誤!未找到引用源。=(xo+c,yo),錯誤！未找到引用源。=(c,c),

由已知，有錯誤！未找到引用源。?錯誤！未找到引用源。=0,即(x°+c)c+y°c=0.

又cWO,故有xo+yo+c=O.①

因為點P在橢圓上，故與+*=1.②

2c2C2

由①和②可得3X；+4CX0=0,而點P不是橢圓的頂點，

故x°=-竺，代入①得y°=￡，即點P的坐標(biāo)為錯誤！未找到引用源。.

33

設(shè)圓的圓心為T(xi,y,),則x尸錯誤！未找到引用源。=-錯誤！未找到引用源。c,y尸錯誤！未找到引用源。

=錯誤！未找到引用源。c,

進(jìn)而圓的半徑片錯誤！未找到引用源。=—c.

3

由已知，有心2廣=|幽「+亡

又|昵|=2錯誤!未找到引用源。，

故有IV軒

解得C2=3.

所以所求橢圓的方程為.=1.

63

5.(2014?天津高考理科?T18)(本小題滿分13分)

設(shè)橢圓5r+%=1"＞匕＞0)的左、右焦點為4,鳥，右頂點為4,上頂點為8.已知|AB|=等帆用?

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點大，經(jīng)過原點的直線/與該圓相切.求

直線的斜率.

的坐標(biāo)為(c,o).由|AB|=*閨闈

【解析】(1)設(shè)橢圓的右焦點與

-02,則￡=

可得/+/=3c2,又/=力.

a22

后

所以，橢圓的離心率e=—.

2

yja2+b2=岳，所以2/一c)=3，，解得。=行＜?,e=---.

2

,X2y2

(2)由(1)知/=2c2,b2=.故橢圓方程為—+4=1-

設(shè)PQo，%).由片(-c,0),B(O,c),有6P=Qo+c,%),F,B=(c,c).

由已知，有大尸？耳80,即（/+c）c+%c=0.又c?0,

故有/+為+c=0.①

又因為點P在橢圓上，所以父+工=1.

②

2c2c2

由①和②可得3/2+4cx0=0.

而點P不是橢圓的頂點，故/=-手，

c3孱4cc

代入①得y0=-1即點尸的坐標(biāo)為標(biāo)牙,爭

c

--c+0一十

23c2c

設(shè)圓的圓心為T（xi，y）,則再=—'---，%=------=—c，

3123

進(jìn)而圓的半徑r=J（x「0）2+（x-播=與

設(shè)直線/的斜率為左，依題意，直線/的方程為^=丘.

7解2cq2c

由/與圓相切，可得地即亞

——C

J-]“2+13

整理得公-84+1=0,解得％=4V15.

所以，直線/的斜率為4+而或4-V15.

6.（2014?新課標(biāo)全國卷II高考文科數(shù)學(xué)?T20）（本小題滿分12分）設(shè)F?F2分別是橢圓

=1（a>6>0）的左右焦點,M是C上一點且ME與x軸垂直,直線MR與C的另一個交點為N.

ab~

3

⑴若直線MN的斜率為一，求C的高心率.

4

⑵若直線MN在y軸上的截距為2,且眼義卜51片N|,求a,b.

【解題提示】（1）利用直線MN的斜率為-再結(jié)合aJb'c?表示出關(guān)于離心率e的方程,解方程求得離心率.

4

（2）結(jié)合圖形,利用橢圓的性質(zhì)和焦半徑公式求得a,b.

【解析】（1）因為由題知，竺^=3,所以Q?'-=',且aJy+c,.聯(lián)立整理得:2了+36-2=0,

F{F24a2c4

解得e=，.所以C的離心率為

22

h2

（2）由三角形中位線知識可知,M&=2X2,即—=4.

a

3

設(shè)RN二叫由題可知MF尸4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點橫坐標(biāo)分別為c,--c.由焦半徑公式可得:

2

MF尸a+ec,NF產(chǎn)a+e（-gc）,且MFi：NFi=4：l,e二錯誤！未找到引用源。，a'b%?.聯(lián)立解得a=7,b=2J7.

所以，a-7,b=2-\/l.

7.（2014?浙江高考理科?T21）（本題滿分15分）

22

C:――+—1（<2>b>0）,

如圖，設(shè)橢圓。一片動直線/與橢圓C只有一個公共點

且點尸在第一象限.

（1）已知直線’的斜率為左，用”/#表示點2的坐標(biāo);

（2）若過原點。的直線人與/垂直，證明：點P到直線4的距離的最大值為。一/

【解析】（1）設(shè)直線/的方程為>=質(zhì)+機(jī)（及<°）,

y=kx+m消去y得（匕2+a2A2）/+2/而a+/〃?22b2=o

由于/與C只有一個公共點，故八=0,即始―/+〃2k2=0,所以機(jī)=

玖-a2kmb2m）

解得點P的坐標(biāo)為b：+0^^b：+a2k2,又點P在第一象限，故點P的坐標(biāo)為

P（二a2k/）

y/b+a2k2ylb+a2k2

（2）山于直線4過原點。且與直線/垂直，故直線4的方程為x+6=°,所以點2到直線4

-a2kb2

\lb+a2k2ylb+a2k2a2—b2

Jl+新%+。2+八2+4

k2

的距離

a2-b2

干=a—b

b2《b?+cr+2ab

a2E2ab,b2+a2+a2k2+

因為k，所以V，

k-

當(dāng)且僅當(dāng)a時等號成立

所以，點2到直線4的距離的最大值為4一〃

8.(2014?陜西高考文科?T20)(本小題滿分13分)已知橢圓錯誤！未找到引用源。+錯誤！未找到

引用源。=l(a>b>0)經(jīng)過點(0,錯誤！未找到引用源。)，離心率為錯誤！未找到引用源。，左、右焦

點分別為FI(-C,0),F2(C,0).

(1)求橢圓的方程.

(2)若直線l:y=-錯誤！未找到引用源。x+m與橢圓交于A,B兩點，與以FR為

直徑的圓交于C,D兩點，且滿足錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。，

求直線1的方程.

【解題指南】(1)先山已知得橢圓短半軸長，再由陷心率及a,b,c間的關(guān)系，列

方程組得解.(2)先利用直線與圓相交求得弦CD的長，再利用橢圓與直線相交得AB的長，通過解方程

得m值從而得解.

【解析】

(1)由題設(shè)知錯誤！未找到引用源。

解得a=2,b=錯誤！未找到引用源。，c=l,

所以橢圓的方程為錯誤！未找到引用源。+錯誤！未找到引用源。=1.

⑵由題設(shè)，以FF?為直徑的圓的方程為x2+y2=l,

所以圓心到直線的距離d=錯誤！未找到引用源。.

由d〈l得|m[<錯誤！未找到引用源。.(*)

所以|CD|=2錯誤！未找到引用源。=2錯誤！未找到引用源。

=錯誤！未找到引用源。.

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),

由錯誤！未找到引用源。得xJnx+m2-3=0,

2

由根與系數(shù)的關(guān)系可得xi+x2=m,xix2=m-3.

所以|AB|=錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。.

山錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。得錯誤！未找到引用源。=1,

解得m=±錯誤！未找到引用源。，滿足(*)

所以直線1的方程為y=-錯誤！未找到引用源。x+錯誤！未找到引用源?；騳=-錯誤！未找到引用

源。x-錯誤！未找到引用源。.

橢圓

一、選擇題

1.（2013?新課標(biāo)全國n高考文科?T5）設(shè)橢圓C:二+二=1（a>b〉0）的左、右焦點分別為

ab

是上的點，PF1FF,行則的離心率為（）

FPF2,PC2,2NP"=30°,C

A.由B

6-Ic4D-T

【解題指南】利用已知條件解直角三角形，將尸片,尸工用半焦距C表示出來，然后借助橢圓的定義,

可得a,C的關(guān)系，從而得離心率.

【解析】選D.因為「工J.F；鳥,/尸我怎=30°,

所以「工=2ctan30°=苧。,尸6=乎

又PF\+PF『^c=2a,所以￡=」=且,

123a#,3

即橢圓的離心率為正，選D.

3

2.（2013?大綱版全國卷高考理科?T8）橢圓C：L+”=1的左、右頂點分別為兒，A2,點P在C

43

上且直線242斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線P4斜率的取值范圍是（）

【解題指南】將PQo，%）代入到二+2=1中，得到不與比之間的關(guān)系，利用k.A-kPA為定值求

4312

解女也的取值范圍.

22

【解析】選B.設(shè)P（x°,），。），則》+個=1,%,=仁，％=一^

43x0-2x0+2

23--Xg

kPA3PA2啟=x；44=_''故女5=-：=.因為所以您A

3.（2013?大綱版全國卷高考文科?T8）已知F,（-1,0）,F2（1,0）是橢圓C的兩個焦點，過F2

且垂直于x軸的直線交于A,B兩點，且錯誤！未找到引用源。=3,則C的方程為（）

22222

X1xyixy1

A.—+y2=1B.—+—=1』匚1D.---F—=I

2.324354

2、.22

【解題指南】由過橢圓1+與=Ka>b>0）的焦點且垂直x軸的通徑為生求解.

aha

產(chǎn)v2h23

【解析】選C.設(shè)橢圓得方程為A+ZuKa〉/?〉。），由題意知幺=±,^C2=a2-h2=1,解

a2h2a2

1x22

得。=2或〃=一一（舍去），而〃=3,故橢圓得方程為L+2_=1.

243

4.（2013?四川高考文科?T9）從橢圓二+反=15>6>0）上一點P向x軸作垂線，垂足恰為

左焦點耳，A是橢圓與無軸正半軸的交點，8是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB//OP（O是坐

標(biāo)原點），則該橢圓的離心率是（)

V3

A,也B.-c在

422

【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì)，解題時要注意兩個條件的應(yīng)用，一是尸石與x軸

垂直，二是ABI/OP

卜2cz

【解析】選C,根據(jù)題意可知點P（c,%）,代入橢圓的方程可得比2=/—一1，根據(jù)A3//。尸，

a

22

PF,BOnny0b._be_2b2c?hc曰cV2…4八

可知---=----，即—=—，解得光=—,即匕~----T—=—z—，解得e=—=，故選C.

FfiOAca°aa2a2a2

5.（2013?廣東高考文科?T9）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為尸（1,0）,離心率等于;,

則C的方程是（）

22222222

A.二+工=1B.工+”=1C.二+2=1D.二+"=1

344c4243

【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質(zhì)，用好a,b,c,e的關(guān)系即可.

1*2C11—

【解析】選D.設(shè)C的方程為三+==1,Ca>h>0）,則c=l,e=t=上,a=2/=G，C的方

a2b2a2

22

程是E"

6.（2013?遼寧高考文科?T11）已知橢圓C:鼻+2r=l（a>/?>0）的左焦點為F,C與過原點的

ab

4

直線相交于A,B兩點，連接AF,BF.若|AB=10,；BF|=8,cosNABF=不，則C的離心率為（）

A.-B.-C.-D.-

5757

【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)（對稱性）求出點到右焦點的距離，進(jìn)

而求得a.c

【解析】選B.在三角形ABb中，由余弦定理得

,,,4

|AF|-=+忸葉一2MM忸可cosNABF,又|AB|=10,|BF|=8,cosZABF=y

解得|AF|=6.在三角形ABF中，|AB『=l（）2=82+62=|Bff+|A殲，故三角形ABE為直角三角

形.設(shè)橢圓的右焦點為尸，連接AF,8/，根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形AP8尸為矩形，

則其對角線=卻=10,且忸司=|AP|=8,即焦距2c=10,

2c_5

又據(jù)橢圓的定義，得|AF|+|AFl=2a,所以2a=|Af|+|AF'|=6+8=14.故離心率e

2a~7

二、填空題

7.（2013?江蘇高考數(shù)學(xué)科?T12）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

/v2

—+^=l（a>0,&>0）,右焦點為產(chǎn)，右準(zhǔn)線為/,短軸的一個端點為8,設(shè)原點到直線3尸的距

ab“

離為4，尸至此的距離為&，若4=癡4，則橢圓c的離心率為

【解題指南】利用4=癡4構(gòu)建參數(shù)a,b,c的關(guān)系式.

【解析】由原點到直線BF的距離為4得&=眩，因F至IJ/的距離為d2故d2=--c，又4=癡&

ac

所以——c—y/6—=>tz2-c2=灰如一=1-e2=V6—e2又）=J1-『解得e—^-

caaaa3

【答案】—.

3

8.（2013?上海高考文科?T12）與（2013?上海高考理科?T9）相同

設(shè)AB是橢圓「的長軸，點C在「上，且NCBA=2.若AB=4,BC=后，則「的兩個焦點之間的距

4

離為.

【解析】如圖所示，以AB的中點0為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系.

設(shè)。的B上，且CO±AB,AB=4,BC=42,ZCBA=45°=>

=2"4,把“」）代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得上+5=畫=〃

n2c=—V6

3

【答案】-V6

3

9.（2013?福建高考文科?T15）與（2013?福建高考理科?T14）相同

22

橢圓「：1+3=1（。>6>0）的左、右焦點分別為R,F2,焦距為2c.若直線y=錯誤！未找到引用

ab

源。與橢圓r的一個交點M滿足NMFR=2NMF2K,則該橢圓的離心率等于.

【解題指南】①e=￡=至，而2c是焦距，2a是定義中的PFj+|PF?|=2a,因此，如果題目出現(xiàn)焦點

a2a

三角形（由曲線上一點連接兩個焦點而成），求解離心率，一般會選用這種定義法：

C=曜1

[P￡|+|PB「

②求解離心率，還有一種方法，叫平方法.注意到e2=二，在具體問題中，結(jié)合基本量關(guān)系式a2=b2+c2

a

進(jìn)行求解，顯然這樣的方法適合于題目給出標(biāo)準(zhǔn)方程的題.

【解析】NMF1F2是直線的傾斜角，所以NMFR=60°,NMFzFi=30°,所以△MF2F1是直角三角形，在Rt

△MF2F1中，|F2F1|=2C,|MFI|=c,IMF2\=y/3c，所以e=—=-----------=—7=3—=^3-1.

2a\MFl\+\MF2\V3+1

【答案】V3-1.

10.（2013?遼寧高考理科?T15）已知橢圓C:=+「=l（a〉b>0）的左焦點為E,C與過原點

a~b~

4

的直線相交于兩點，連接AR".若\AB\=10,|AF|=6,COSZABF=-,則。的離心率

e=.

【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)（對稱性）求出點力到右焦點的距離，進(jìn)

而求得a.c.

【解析】在三角形A8F中，由余弦定理得|4殲=|A8『+忸丹2一2,同怛目cosNABF,又

\AB\=10,|AF|=6,cosZABF=|,解得|BF|=8.在三角形ABF中，

|A5|2=102=82+62=\BFf+\AFf,故三角形A8F為直角三角形。

設(shè)橢圓的右焦點為尸，連接Ak,BP',根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形AEBE'為矩形，則其對角線

\FF'\=\AB\=10,且忸/I=\AF'\=8,即焦距2c=10,

又據(jù)橢圓的定義，得所以2a=HH+|A尸［=6+8=14.

故離心率6=c9=2'c=工5

。2。7

【答案】

7

三、解答題

11.（2013?陜西高考文科?T20）

已知動點材（％力到直線7:^=4的距離是它到點Ml,0）的距離的2倍.

（1）求動點材的軌跡。的方程；

（2）過點尸（0,3）的直線如與軌跡C交于48兩點.若/是心的中點，求直線加的斜率.

【解題指南】設(shè)出動點"的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程即可；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出

k與％,X2的關(guān)系式，利用中點坐標(biāo)即可得斜率.

【解析】（1）點M（x,y）到直線x=4的距離是它到點”（1,0）的距離的2倍，則

_____________22

|x-4|=2）（x-l）2+V=亍+g=L

x2y2

所以，動點M的軌跡為橢圓，方程為二+2-=1.

43

（2）P（O,3）,設(shè)A（x”yJ,B（X2，y2）,由題意知：2X1=O+X2,2y1=3+丫2,

橢圓的上下頂點坐標(biāo)分別是（0,百）和（0,-VJ）,經(jīng)檢驗直線如不經(jīng)過這2點，即直線m斜率力存在。

設(shè)直線機(jī)方程為：y=丘+3.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：

-24k24

（3+4k2）x2+24kx+24=0=＞x.+x=-----7，x.-x=-----彳