任意角和弧度制

任意角和弧度制第一頁(yè)，共43頁(yè)。1.角的定義角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形.AOBα始邊終邊頂點(diǎn)角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？

但在實(shí)際問(wèn)題中還會(huì)遇到其他角．第二頁(yè)，共43頁(yè)。第三頁(yè)，共43頁(yè)。探究一：角的形成結(jié)果；在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度所形成的角，與按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度所形成的角是否相等？如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，常常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體10800”、“轉(zhuǎn)體12600”這樣的解說(shuō)．因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的．角的形成過(guò)程第四頁(yè)，共43頁(yè)。規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.１.角的方向任意角度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過(guò)上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到：任意大小.第五頁(yè)，共43頁(yè)。βB2γAB1αO對(duì)于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點(diǎn)嗎？

畫(huà)圖表示一個(gè)大小一定的角:(1)先畫(huà)一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，(3)再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，(4)畫(huà)出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.第六頁(yè)，共43頁(yè)。問(wèn)題1：鐘表經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)

(填度).

問(wèn)題２：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？

－120°，450°.

－120°，-1440°.第七頁(yè)，共43頁(yè)。探究二：象限角

思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy象限角：角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，或稱(chēng)這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°xyo405°xyo－200°xyo第八頁(yè)，共43頁(yè)。問(wèn)題３：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限(位置)，不能反映角的大小.問(wèn)題2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？

第九頁(yè)，共43頁(yè)。思考４：在直角坐標(biāo)系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo第十頁(yè)，共43頁(yè)。探究三：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°－392°xyo328°與－32°角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？

第十一頁(yè)，共43頁(yè)。思考2：所有與－32°角終邊相同的角，連同－32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

第十二頁(yè)，共43頁(yè)。

129°48′，第二象限角.

300°，-60°.例題分析例1．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

例2．求與3900°終邊相同的最小正角和最大負(fù)角.第十三頁(yè)，共43頁(yè)。例2:寫(xiě)出終邊在Y軸上的角的集合

分析:首先寫(xiě)出在Y軸的正半軸上的角的集合,然后寫(xiě)出在Y軸的負(fù)半軸上的角的集合解答:終邊在Y軸的正半軸上的角的集合為終邊在Y軸的負(fù)半軸上的角的集合為xyoxyo第十四頁(yè)，共43頁(yè)。所以,終邊在Y軸上的角的集合為xyo第十五頁(yè)，共43頁(yè)。鞏固與提高寫(xiě)出終邊在X軸上的角的集合寫(xiě)出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合x(chóng)yoxyo第十六頁(yè)，共43頁(yè)。xyoxyo小結(jié)1:終邊在軸線上的角的集合x(chóng)yoxyo第十七頁(yè)，共43頁(yè)。例4．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示為第二象限的角表示為第三象限的角表示為第四象限的角表示為{|k360<<k360+90，（kZ）}

{|k360+90<<k360+180，（kZ）}{|k360+180<<k360+270，（kZ）}{|k360+270<<k360+360，（kZ）}或{|k36090<<k360，（kZ）}第十八頁(yè)，共43頁(yè)。小結(jié)2：第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

第一象限：S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；第二象限：S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；第三象限：S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；第四象限：S={α|－900＋k·3600<α<k·3600，k∈Z}.第十九頁(yè)，共43頁(yè)。例3:寫(xiě)出終邊在直線上的角的集合S,并把S中適合不等式的元素寫(xiě)出來(lái)第二十頁(yè)，共43頁(yè)。Ｓ中適合的元素45°—2x180°=--315°45°—1x180°=--135°45°+0x180°=45°45°+1x180°=225°45°+2x180°=405°45°+3x180°=585°S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.(確定整數(shù)k)第二十一頁(yè)，共43頁(yè)。例4：已知與240°角的終邊相同，判斷是第幾象限的角。第二十二頁(yè)，共43頁(yè)。110°，230°，350°.例5．已知角θ的終邊與30°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)試在0°～360°范圍內(nèi)，找出與終邊相同的角.

第二十三頁(yè)，共43頁(yè)。弧度制第二十四頁(yè)，共43頁(yè)。一）問(wèn)題的提出1、度量角的方法——度分秒制——把圓周角分為360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一個(gè)圓中，圓心角的大小與它所對(duì)的弧長(zhǎng)一一對(duì)應(yīng).

當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣大的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)不相等.第二十五頁(yè)，共43頁(yè)。半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長(zhǎng)L弧長(zhǎng)與半徑的比值當(dāng)n=300時(shí)練習(xí):當(dāng)n=600時(shí)呢?可以計(jì)算弧長(zhǎng)L=第二十六頁(yè)，共43頁(yè)。3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比是常數(shù).稱(chēng)這個(gè)常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長(zhǎng)來(lái)定義角的大小呢?第二十七頁(yè)，共43頁(yè)。二、1弧度角的定義我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。1弧度單位符號(hào)是rad,讀作弧度弧度把角度單位與長(zhǎng)度單位統(tǒng)一起來(lái).第二十八頁(yè)，共43頁(yè)。三）弧度數(shù)1、在單位圓中，當(dāng)圓心角為周角時(shí)，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2π，所以周角的弧度數(shù)為2π，周角是2πrad的角.2、任意一個(gè)00~3600的角的弧度數(shù)必然適合不等式0≤x<2π.3、任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正實(shí)數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0.

弧度制下的角與實(shí)數(shù)之間的關(guān)系是怎樣的呢?第二十九頁(yè)，共43頁(yè)。4、用弧度來(lái)度量角，實(shí)際上角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：實(shí)數(shù)集R角的集合正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)第三十頁(yè)，共43頁(yè)。角度制與弧度制的換算

用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算．

若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，

因此．

第三十一頁(yè)，共43頁(yè)。因?yàn)椋?/p>

1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？度第三十二頁(yè)，共43頁(yè)。把化成弧度．例1解：∵∴第三十三頁(yè)，共43頁(yè)。

角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵．把化成度．例2解：第三十四頁(yè)，共43頁(yè)。角度

弧度

寫(xiě)出一些特殊角的弧度數(shù)

第三十五頁(yè)，共43頁(yè)。例3計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）∵

∴

（2）∵∴第三十六頁(yè)，共43頁(yè)。２.試推出弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式(角用弧度).第三十七頁(yè)，共43頁(yè)。xyoxyo用弧度表示終邊在軸線上的角的集合x(chóng)yoxyo第三十八頁(yè)，共43頁(yè)。（1）；（2）；（3）．1．把下列各角化成的形式：２．下列角的終邊相同的是（）．A．與與與與B．C．

D．

B第三十九頁(yè)，共43頁(yè)。第四十頁(yè)，共43頁(yè)。問(wèn)題３：任意兩個(gè)