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數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師:楊春數(shù)學科學學院22本次課主要內(nèi)容(一)、狄氏問題與牛曼問題解的適定性狄氏問題格林函數(shù)(二)、三維空間中狄氏問題格林函數(shù)(三)、平面中的三個格林公式33定理1(唯一性定理)拉氏方程的狄氏問題的解是唯一的。

(一)、狄氏問題與牛曼問題解的適定性證明:設u1與u2是定解問題

的兩個解。令v=u1-u2,則:由調(diào)和函數(shù)性質(zhì)知:在VS上:44定理2(穩(wěn)定性定理)拉氏方程的狄氏問題的解是穩(wěn)定的。

證明:設在邊界S上給出兩個函數(shù)f1與f2,且:

拉氏方程的狄氏問題對應于f1與f2的解設為u1與u2,即:

令:那么:由調(diào)和函數(shù)極值原理,v在VS上的極值只能在S上取得,所以

55即證明了穩(wěn)定性。

定理3拉氏方程的牛曼問題的解,若不管任意常數(shù)的差別,是唯一的。

證明:設u1與u2是同一拉氏方程牛曼問題的兩個解,即有:令:66則:由第一格林公式:取

77由條件:所以:88于是得到:定理4拉氏方程的牛曼問題的解,對邊界條件不穩(wěn)定。證明:設f1與f2是拉氏方程對應的兩個不同的邊界條件,又設u1與u2是對應于兩個邊界條件的解。由定理3,兩個解相差一個常數(shù),因此,無論邊界條件相差如何小,99解的相差可能不會任意小,即解不穩(wěn)定。(二)、三維空間中狄氏問題格林函數(shù)

1、狄氏問題格林函數(shù)的引出泊松方程狄氏問題為:(1)、解的積分表達式設u(x,y,z)為定解問題的解,令v(x,y,z)為VS上調(diào)和函數(shù)。1010由第二格林公式:由定解問題得:由第三格林公式,如下定解問題1111的解為:結(jié)合*可得如下等式:12121313其中:容易驗證:如果令G(M,M0)滿足:則可得泊松方程狄氏解定理1414定理:泊松方程狄氏解為:其中G(M,M0)滿足:推論:拉氏方程狄氏解為:定理給出了泊松方程狄氏解的積分表達式。1515定義:若G(M,M0)滿足:則稱G(M,M0)為定義在VS上的三維狄氏格林函數(shù)。(1)、方程ΔG(M,M0)=-δ(M-M0)的解物理意義是:空間M0點處有一電量為ε(真空中的介電常數(shù))的正點電荷,在M處產(chǎn)生的電勢,其大小為G(M,M0)=1/4πr;(2)、狄氏格林函數(shù)的定義與性質(zhì)狄氏格林函數(shù)的物理意義rMM0ε1616(2)、狄氏格林函數(shù)定解問題的解的物理意義為:接地導電殼內(nèi)M0處有正點電荷ε,該電荷與它在邊界面上產(chǎn)生的感應電荷在殼內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢疊加為定解問題的解,其大小為G(M,M0)=1/4πr+v(x,y,z)。根據(jù)狄氏格林函數(shù)定解問題的解的物理意義,要求出格林函數(shù),只需要求出感應電荷產(chǎn)生的電勢v(x,y,z)即可!rMM0ε下次課里我們將根據(jù)其物理意義,采用物理方法----電像法來求格林函數(shù)。1717性質(zhì)1:狄氏格林函數(shù)在除去M=M0點外處處滿足拉氏方程。當M→M0時,G(M,M0)趨于無窮大,其階數(shù)和1/rMM0相同。狄氏格林函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2:在邊界上格林函數(shù)恒等于零。性質(zhì)3:在區(qū)域V內(nèi),有:1818證明:由格林函數(shù)定義:其中:由于在邊界S上有:v>0,所以,由極值原理,在整個VS上v>0。所以:下面證明:1919一方面:以M0為心在V中作球Vε,球面設為Sε則:M0MSVxyz2020由極值原理:另一方面,容易知道:對任意的ε>0,在VS-Vε中的點M,函數(shù)G(M,M0)不能為零。所以,我們有:至此,證明了:2121性質(zhì)4Green函數(shù)具有對稱性(物理上稱為互易性),即

證明:(課后自學)

如圖所示,以M1,M2為球心,ε為半徑作球K1

與K2,其邊界分別記為S1,S2?!ぁ1S2M1M2S令:U=G(M,M1),V=G(M,M2),在VS-K1-K2上利用格林第二公式得:2222注意到,在

VS-K1-K2上,U與V是調(diào)和函數(shù),且在S上有U|S=V|S=0,于是有:(1)對于:2323而:所以:2424而對于所以:2525所以:

(2)對于2626而:所以:由*得:即得:2727等式的物理意義是:把電量為ε的點電荷放在M1處在M2處產(chǎn)生的電勢應等于把它放在M2處時,在M1處產(chǎn)生的電勢。(三)、平面中的三個格林公式首先證明一個定理:設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,且f(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導數(shù),n為曲線的外法線方向,則:2828證明:注意到:xLnτ?yDα所以:2929由平面曲線格林公式:(1)第一格林公式設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,且u(x,y),v(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導數(shù),n為曲線的外法線方向,則:證明:3030所以由平面曲線格林公式:(2)第二格林公式證明:由第一格林公式:在第一格林公式條件下:3131證明:由第一格林公式:由(1)-(2)得:(3)第三格林公式設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,且u(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導數(shù),n為曲線的外法線方向,令:3232則:證明:由于v(x,y)在D內(nèi)只有唯一奇點M0,所以,以M0為心,ε為半徑作圓Kε,其邊界為Lε3333由第二格林公式:·M0LεLxyo注意到,在D-Kε內(nèi),有Δv=0,于是得:3434而:3535而:所以:

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