2019-2020學(xué)年甘肅省武威市第六高二上學(xué)期第一次學(xué)段考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年甘肅省武威市第六高二上學(xué)期第一次學(xué)段考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知的頂點(diǎn)、在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長軸長2a，進(jìn)而可得△ABC的周長【詳解】橢圓，a=，長軸長2a=設(shè)直線BC過橢圓的右焦點(diǎn)F2，根據(jù)橢圓的定義可知：|AB|+|BF2|=2a=，|AC|+|F2C|=2a=．∴三角形的周長為：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a=．故選：C【點(diǎn)睛】橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1,F2組成的三角形稱為“焦點(diǎn)三角形”，橢圓中焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論有：①|(zhì)PF1|+|PF2|=2a；②當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大；③焦點(diǎn)三角形的周長為2（a+c）.2．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線的方程得，利用即可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】雙曲線的方程為，則，得，即焦點(diǎn)為,其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為:.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值是（）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再由準(zhǔn)線方程，得到的方程，解得即可．【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為，又拋物線準(zhǔn)線方程為，得，解得.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．4．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，虛軸長為．則雙曲線的方程為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，再根據(jù)已知條件得，，從而得的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】∵中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)在軸上，得，又其虛軸長為，則，解得，∴的標(biāo)準(zhǔn)方程是：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，注意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，屬于基礎(chǔ)題．5．已知橢圓，長軸在軸上.若焦距為，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，又其焦距為，即，解得的值即可．【詳解】由橢圓方程的長軸在軸上，得，，則．又其焦距為，即，解得，所以，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，考查橢圓中的參數(shù)的關(guān)系，注意焦點(diǎn)在軸上，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)橢圓=的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,離心率為,則此橢圓的方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得橢圓的半焦距c,根據(jù)橢圓的離心率求得m,最后根據(jù)m、n和c的關(guān)系求得n.【詳解】拋物線,

,焦點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同

橢圓的半焦距,即，

，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

故選B.本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題.要熟練掌握橢圓方程中a,b和c的關(guān)系,求橢圓的方程時(shí)才能做到游刃有余.【考點(diǎn)】橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及性質(zhì).點(diǎn)評(píng)：由拋物線的焦點(diǎn)，可得橢圓的半焦距c,再由離心率可知m,從而,因而橢圓方程確定.7．相距米的兩地，聽到炮彈爆炸的時(shí)間相差2秒，若聲速每秒米，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡可能是（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．橢圓 D．拋物線【答案】B【解析】由已知條件可得：，根據(jù)雙曲線的定義可判斷出答案．【詳解】由已知條件可得：，根據(jù)雙曲線的定義可知：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為米的雙曲線上．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．過橢圓的左焦點(diǎn)做軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】把代入橢圓方程求得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，推斷出，整理得，解得即可．【詳解】已知橢圓的方程，由題意得把代入橢圓方程，解得的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，﹣），∵，∴，即．∴，∴＝或＝﹣（舍去）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的方程及其簡單的幾何性質(zhì)，也考查了直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：雙曲線的一條漸近線為，由題意，化簡得，所以，，故選A．【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)．10．為橢圓上的點(diǎn)，是兩焦點(diǎn)，若，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝＝，|F1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|?|PF2|的值，從而可求得△PF1F2的面積．【詳解】∵橢圓，∴＝，b＝2，c＝2．又∵P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，且F1、F2為左右焦點(diǎn)，由橢圓的定義得|F1P|+|PF2|＝＝，|F1F2|＝4，∴|F1F2|2＝|PF1|+|PF2|-2|PF1|?|PF2|cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|F1P|?|PF2|cos60°＝32﹣3|F1P|?|PF2|＝16∴|F1P|?|PF2|＝，∴＝|PF1|?|PF2|sin60°＝××＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及其簡單的幾何性質(zhì)，考查了余弦定理的應(yīng)用與三角形的面積公式，屬于中檔題．11．橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到、兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和，則、中點(diǎn)坐標(biāo)可求，由斜率公式列式可得的值．【詳解】設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，得：，①．，＝．設(shè)是線段的中點(diǎn)，∴（）．∴直線的斜率為．則,代入①滿足△＞0（＞0，＞0）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了斜率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．12．拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)拋物線上點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出距離，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求得其最小值即可．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，，當(dāng)時(shí)，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線上的點(diǎn)距離的最值問題，關(guān)鍵把距離表示為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)性質(zhì)解決問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題13．若是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的取值范圍是_____【答案】【解析】由雙曲線方程得，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線左支上，即可得的取值范圍.【詳解】雙曲線方程為：，其焦點(diǎn)在軸上，且，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線左支上，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的方程和簡單的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14．拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為，且焦點(diǎn)在直線上．則拋物線的方程為_____【答案】【解析】依題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，直線中，令可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得答案．【詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵其焦點(diǎn)在直線上，∴令得，∴焦點(diǎn)．∴，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型及其焦點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），若，則_____【答案】【解析】由題意，按直線的斜率不存在和存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出．【詳解】由拋物線，得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得，這時(shí)，不滿足題意，舍.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，，則，根據(jù)拋物線的定義，得，解得，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓E上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓E的離心率的取值范圍是_________.【答案】【解析】根據(jù)題意，得，，設(shè)橢圓E上任一點(diǎn)，則，將代入，消去得到關(guān)于的關(guān)系式，進(jìn)而可得到當(dāng)時(shí)，的值取到最大，進(jìn)而可求出離心率的取值范圍．【詳解】由題意可得，，設(shè)橢圓E上任一點(diǎn)，∵，∴，∴，∴＝＝，∵，∴當(dāng)時(shí)，取到最大值為，即，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題17．如圖所示，在中，，且的周長為20．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【解析】以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，由的周長為20，得，再根據(jù)橢圓的定義求出的軌跡方程.【詳解】以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，．因?yàn)?，且的周長為20，所以.根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為14的橢圓(除去與軸的交點(diǎn))．所以，，，即的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程，也考查了橢圓方程定義的應(yīng)用和三角形的周長，注意不在同一直線上，屬于中檔題.18．已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線與相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．【答案】見解析【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線，的斜率，求出它們的斜率之積，利用斜率之積是，建立方程，去掉不滿足條件的點(diǎn)，即可得到點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn),，則，整理得，且.即.當(dāng)時(shí)，，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；當(dāng)，即且時(shí)，方程，表示橢圓（除去與軸兩個(gè)交點(diǎn)）；當(dāng)，即時(shí)，方程為，表示的雙曲線（除去與軸兩個(gè)交點(diǎn)）.【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求解，熟練掌握斜率的計(jì)算公式及橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵，利用條件建立方程，屬于中檔題．19．點(diǎn)是橢圓一點(diǎn)，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，的最小值為，最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）直線被橢圓截得的弦長為，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件求出橢圓的，然后求解，即可得到方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式解得的值即可.【詳解】（1）由點(diǎn)是橢圓一點(diǎn)，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，的最小值為，最大值為．可得，解得，進(jìn)而，所以橢圓方程為：.（2）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)分別為聯(lián)立得,,即又，，化簡，整理得，∴，符合題意.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.20．雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為，把點(diǎn)代入中，解得即可；（2）聯(lián)立，由題意得設(shè)，且，利用韋達(dá)定理得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線有共同的漸近線，所以設(shè)雙曲線的方程為，把點(diǎn)代入中，即，解得，所以雙曲線的方程為.（2）聯(lián)立，消去得：，①因?yàn)橹本€與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，且，解不等式，解得：，即.綜上：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.21．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過垂直于軸的直線被截得的弦的長度為．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)，且斜率為的直線被拋物線截得的弦為，若點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，求的范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，把代入，截得的弦的長度為，解得即可；（2）由題意得直線方程為，聯(lián)立，得：，設(shè)，且拋物線的，將問題轉(zhuǎn)化為，利用韋達(dá)定理將代入解得即可.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入，得，所以，因此拋物線方程為.（2）設(shè)，過點(diǎn)，且斜率為的直線方程為，聯(lián)立,消去得：，易知拋物線的，點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)等價(jià)于，解得：，符合.綜上：的范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系，向量數(shù)量積坐標(biāo)的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為別為、，且過點(diǎn)和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)），的延長線與橢圓交于點(diǎn)，的延長線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）將點(diǎn)和代入橢圓方程解得，即可得橢圓方程；（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，易得；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程