2019-2020學(xué)年重慶市南岸區(qū)高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前重慶市南岸區(qū)2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分時間：120分鐘）注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。一、選擇題已知集合A={x|x2?2x?3<0}，集合B={x|2A.[3,+∞)B.(3,+∞函數(shù)f(x)=exx的圖象大致為A.B.C.D.已知a=21.3，b=40.7，c=log38，則a，A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(????)A.83B.43C.8D.已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P為△ABC外接圓上的一動點，且AP=xAB+yACA.54B.43C.17將函數(shù)向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)，則g(x)具有性質(zhì)A.在(0,π4)上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)B.最大值為1，圖象關(guān)于直線x=3π4對稱C.在(?3π8《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何”大意是說：“已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步”請問乙走的步數(shù)是A.92B.152C.21已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=?1f(x)，且y=f(x+3)為偶函數(shù)，若f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是A.f(?4.5)<f(3.5)<f(12.5)B.f(3.5)<f(?4.5)<f(12.5)C.f(12.5)<f(3.5)<f(?4.5)D.f(3.5)<f(12.5)<f(?4.5)已知命題p：對任意x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是(????)A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)=12f(x?2π)，且當(dāng)x∈[0,2π)時，f(x)=8sinx，則函數(shù)g(x)=f(x)?lgx的零點個數(shù)是A.5B.6 C.7D.已知圓(x+1)2+y2=4的圓心為C，點P是直線l：mx?y?5m+4=0上的點，若該圓上存在點Q使得∠CPQ=30°A.[?1,1]B.[?2,2]C.[3?3不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].已知f(x)=cos([x]?x)，給出下列結(jié)論：

①f(x)是偶函數(shù)；

②f(x)是周期函數(shù)，且最小值周期為π；

③f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k,k+1)(k∈Z)；

④f(x)的值域為[cos1,1)．

其中正確的個數(shù)為(????)A.0B.1 C.2D.二、填空題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2?4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點P使過P如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCA=2∠BAC，若BD=xBA+yBC(x,y∈R)，則x?y的值為若a>0，b>2，且a+b=3，則使得4a+1b?2取得最小值的實數(shù)a=如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC=15°，沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處，又測得∠DBC=45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=______．三、解答題在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2+c2?a2=2bcsin(B+C)．(1)求角A的大??；

已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a2=8，a3+a4=48．Ⅰ求數(shù)列{an}的通項公式；Ⅱ如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F(xiàn)．

(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲乙兩人之間的距離；

(2)設(shè)∠CEF=θ，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且∠DEF=π3，請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，AB=AD=2，CA=CB=CD=BD=2．

(1)求證：AO⊥平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值大小；

(3)求點E到平面ACD的距離．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=12(弦×矢+矢?2).弧田如圖，由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角為2π(Ⅰ)計算弧田的實際面積；(Ⅱ)按照《九章算術(shù)》中的弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得結(jié)果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少平方米？(結(jié)果保留兩位小數(shù))已知四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=5,SB=7，點E是棱AD的中點，點F在棱SC上，且SFSC=λ，SA//平面BEF．Ⅰ求實數(shù)λ的值；Ⅱ求三棱錐答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查二次不等式的求解及指數(shù)不等式的求解，同時考查集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)集合A是二次不等式的解集，集合B是指數(shù)不等式的解集，因此可求出集合A，B，根據(jù)補(bǔ)集的求法求得?BA．

【解答】

解：因為A={x|x2?2x?3<0}={x|?1<x<3}，

B={x|2x+1>1}={x|x+1>0}={x|x>?1}【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的定義域與值域，以及函數(shù)圖象的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

先求出函數(shù)的定義域，再分別討論x>0，x<0時函數(shù)的范圍，由此判斷函數(shù)的圖象即可．

【解答】

解：函數(shù)f(x)=exx的定義域為：?∞,0∪0,+∞，排除選項A．

當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)=exx>0，選項C不滿足題意．

當(dāng)x<0時，函數(shù)【解析】【分析】

本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

將a，b化為同底數(shù)的冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定大小，a，c利用中間值2，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，然后利用不等式的基本性質(zhì)可知道a，b，c的大小關(guān)系．

【解答】

解：∵由對數(shù)函數(shù)y=log3x是單調(diào)增函數(shù)，

8<9，∴c=log38<log39=2，

∵指數(shù)函數(shù)y=2x是單調(diào)增函數(shù)，b=4【解析】【分析】本題考查了棱錐的三視圖、體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．由三視圖可知，該幾何體為一個三棱錐，底面是直角三角形，高為2，利用棱錐體積公式即可計算．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為一個三棱錐A?BCD，如圖：

底面是邊長為2的正方形的一半，高為2，

該幾何體的體積V=13×1

5.【答案】B

【解析】【分析】以AC的中點為原點，以ACx軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P的坐標(biāo)為(52cosθ,52sinθ)，求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)乘運算得到x+y=56sin(θ+φ)+12，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案

本題考查了向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)乘運算和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及直角三角形的問題，考查了學(xué)生的分析解決問題的能力，屬于難題．

【解答】

解：以AC的中點為原點，以ACx軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則△ABC外接圓的方程為x2+y2=2.52，

設(shè)P的坐標(biāo)為(52cosθ,52sinθ)，

過點B作BD垂直x軸，

∵sinA=45，AB=3∴BD=ABsinA=125，AD=AB?cosA=35×3=95，

∴OD=AO?AD=2.5?95=【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)平移、單調(diào)性、奇偶性、周期的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識，逐一分析，進(jìn)行解答．

【解答】

解：將的圖象向右平移個單位，得，則g(x)為偶函數(shù)，在(0,π4)上單調(diào)遞增，故A正確，

g(x)的最大值為1，對稱軸為2x=kπ，k∈Z，即，k∈Z，當(dāng)k=1，圖象關(guān)于對稱，故B錯誤，

由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，，k∈Z，∴g(x)在(?3π8,π8)上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯誤，

函數(shù)的周期T=π，不關(guān)于點(3π8,0)對稱，故D【解析】【分析】

本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，畫出圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)甲、乙相遇經(jīng)過的時間為x，由題意畫出圖形，由勾股定理列出方程求出x，即可求出答案．

【解答】

解：設(shè)甲、乙相遇經(jīng)過的時間為x，如圖：

則AC=3x，AB=10，BC=7x?10，

∵A=90°，∴BC2=AB2+AC2，

即(7x?10)2=102【解析】解：根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=?1f(x)，

則有f(x+6)=?1f(x+3)=f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，

又由y=f(x+3)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=3對稱，

則f(3.5)=f(2.5)，f(?4.5)=f(1.5)，f(12.5)=f(0.5)，

又由f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，則f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)，

則有f(3.5)<f(?4.5)<f(12.5)；

故選：B．

根據(jù)題意，由f(x+3)=?1f(x)分析可得f(x+6)=?1f(x+3)=f(x)，則可得函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，由y=f(x+3)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=3對稱，則有f(3.5)=f(2.5)【解析】解：因為命題p對任意x∈R，總有2x>0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷是真命題；

命題q：“x>1”不能推出“x>2”；但是“x>2”能推出“x>1”所以：“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，故q是假命題；

所以p∧￢q為真命題；

故選：D．

由命題p，找到x的范圍是x∈R，判斷p為真命題．而q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件是假命題，然后根據(jù)復(fù)合命題的判斷方法解答．

判斷復(fù)合命題的真假，要先判斷每一個命題的真假，然后做出判斷．

10.【解析】解：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)=12f(x?2π)，且當(dāng)x∈[0,2π)時，f(x)=8sinx，

當(dāng)x∈[2π,4π)時，f(x)=4sinx，

當(dāng)x∈[4π,6π)時，f(x)=2sinx，

當(dāng)x∈[6π,8π)時，f(x)=sinx，

在坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)y=f(x)與y=lgx的圖象如圖：

由圖象可知兩圖象有5個交點，故函數(shù)g(x)=f(x)?lgx有5個零點，

故選A．

求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的圖象以及函數(shù)值判斷即可．

本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．

11.【解析】解：由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，此時CP=4．

∵圓上存在點Q使得∠CPQ=30°，

∴圓心到直線的距離d=|?6m+4|m2+1≤4，

∴0≤m≤125，

故選：D．

由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，此時CP=4，利用圓上存在點Q使得【解析】解：對于①，∵f(π)=cos(3?π)=cos(π?3)，f(?π)=cos(?4+π)=cos(4?π)，

顯然f(π)≠f(?π)，∴f(x)不是偶函數(shù)，故①錯誤；

對于②，f(0)=cos(0?0)=cos0=1，而f(π)=cos(π?3)≠1，

∴f(0)≠f(π)，即f(x)不是周期為π的函數(shù)，故②錯誤；

對于③，當(dāng)x∈[k,k+1)時，[x]=k，

令t(x)=x?[x]，則t(x)在區(qū)間[k,k+1)單調(diào)遞增，且0≤t(x)<1，

又y=cosx在[0,1)上單調(diào)遞減，

∴f(x)=cos([x]?x)=cos(x?[x])在[k,k+1)單調(diào)遞減，故③正確；

對于④，∵?1<[x]?x≤0，∴f(x)取不到值cos1，且f(x)的最大值為1．

故④【解析】解：∵C的方程為x2+y2?4x=0，故圓心為C(2,0)，半徑R=2．

設(shè)兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有PC=2R=22，

∴圓心到直線y=k(x+1)的距離小于或等于PC=22，

即|2k?0+k|k2+1≤22，解得k2≤8，可得?22≤k≤22，

故答案為：[?22,22【解析】解：過D作BC的垂線，交BC延長線于M，

設(shè)∠BAC=α，則∠ACD=2α，∠ACB=90°?α，

∴∠DCM=180°?2α?(90°?α)=90°?α．

∴Rt△ABC∽Rt△DMC，

∴DMAB=CMBC=k，

∵BD=xBA+yBC，

∴x=DMAB=k，y=BMBC=CM+BCBC=k+1【解析】解：∵a>0，b>2，且a+b=3，

∴a+b?2=1，

那么：(4a+1b?2)[a+(b?2)]=4+1+(4(b?2)a+ab?2)≥5+24(b?2)a【解析】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，

在△ADB中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，∴BD=ABsin∠ADBsin∠DAB═25(6?2)，

在△DBC中，CD=25，∠DBC=45°，BD=25(6?2)，由正弦定理BDsin∠DCB=CDsin∠DBC，∴sin∠DCB=BDsin45°CD=3?1，

∴sin(θ+π2)=3?1，∴cosθ=3?1【解析】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

(1)利用余弦定理即可得出．

(2)根據(jù)正弦定理與三角形面積計算公式即可得出．

18.【答案】Ⅰ解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意q>0，

∵a2=8，a3+a4=48，

∴a1q=8，a1q2+a1q3=48，

兩式相除得q2+q?6=0，

解得q=2，q=?3(舍去，

∴【解析】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算法則、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的前n項和公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．Ⅰ利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；Ⅱ利用Ⅰ的結(jié)論和對數(shù)的運算法則進(jìn)行化簡，再計算bn+1?bn是否是一個常數(shù)即可判定，若是利用等差數(shù)列的前n項和公式即可．

19.【答案】解：(1)由題意，BD=300，BE=100，

△ABC中，cosB=12，B=π3，

△BDE中，由余弦定理可得DE=3002+1002?2?300?100?12=1007m；

(2)【解析】(1)由題意，BD=300，BE=100，△BDE中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；

(2)△BDE中，由正弦定理可得200?2ysinθsinθ=ysin60°，可將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．

本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查正弦、余弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：(1)連接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，

在△AOC中，由題設(shè)知AO=1，CO=3，AC=2，

∴AO2+CO2=AC2，

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，

∵AO⊥BD，BD∩OC=O，

∴AO⊥平面BCD；(2)取AC中點F，連接OF、OE、E△ABC中E、F分別為BC、AC中點

∴EF//AB，且EF=12AB=22△BCD中O.E分別為BD.BC中點

∴OE//CD且OE=12CD=1∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF(或其補(bǔ)角又OF是Rt△AOC斜邊上的中線∴OF=12AC=1∴等腰△OEF中cos∠OEF=12EFOE=24；(2)解：以O(shè)為原點，如圖建立