2019-2020學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修四教師用書第2章22.1向量的加法

§2從位移的合成到向量的加法2.1向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握向量加法的定義，會用向量加法的三角形法則和向量加法的平行四邊形法則作兩個向量的和向量．(重點)2．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算．(難點)1.通過學(xué)習(xí)向量加法的定義及三角形法則與平行四邊形法則，體會數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)．2．通過運用交換律、結(jié)合律進行向量加法運算、提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).向量求和法則及運算律類別圖示幾何意義向量求和的法則三角形法則已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up9(→))，則向量eq\o(AC,\s\up9(→))叫作a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))向量求和的法則平行四邊形法則已知向量a，b，作eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，再作平行eq\o(AD,\s\up9(→))的eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形，向量eq\o(AC,\s\up9(→))叫作向量a與b的和，表示為eq\o(AC,\s\up9(→))＝a＋b向量加法的運算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考：根據(jù)圖中的四邊形ABCD，驗證向量加法是否滿足結(jié)合律．(注：eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝c)[提示]∵eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→)))＋eq\o(CD,\s\up9(→))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝(a＋b)＋c，又∵eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋(eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．作用在同一物體上的兩個力F1＝60N，F(xiàn)2＝60N，當(dāng)它們的夾角為120°時，這兩個力的合力大小為()A．30N B．60NC．90N D．120N[答案]B2．在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))等于()A．0 B．0C．任一向量 D．與三角形形狀有關(guān)[答案]B3．化簡下列各向量：(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝________.(2)eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＝________.(1)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)eq\o(PM,\s\up9(→))[根據(jù)向量加法的三角形法則及運算律得：(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＝eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(PO,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(PM,\s\up9(→)).]4．在正方形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))|＝________.[答案]eq\r(2)向量加法法則的應(yīng)用【例1】(1)如圖①，用向量加法的三角形法則作出a＋b；(2)如圖②，用向量加法的平行四邊形法則作出a＋b.[解](1)在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，再作向量eq\o(OB,\s\up9(→))，則eq\o(OB,\s\up9(→))＝a＋b.(2)在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，再作平行eq\o(OB,\s\up9(→))的eq\o(AC,\s\up9(→))＝b，連接BC，則四邊形OACB為平行四邊形，eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b.用三角形法則求向量和，關(guān)鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點，平行四邊形法則注意“共起點”.且兩種方法中，第一個向量的起點可任意選取，可在某一個向量上，也可在其它位置.兩向量共線時，三角形法則仍適用，平行四邊形法則不適用.1．已知向量a，b，c，如圖，求作a＋b＋c.[解]在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝c，如圖，則由向量加法的三角形法則，得eq\o(OB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b＋c.向量加法及其運算律【例2】化簡下列各式：(1)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))；(2)eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))；(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→)).[思路探究]所給各式均為向量和的形式，因此可利用三角形法則和向量加法的運算律求解．[解](1)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→)))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝0或eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DB,\s\up9(→)))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(CB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝0.向量加法運算律的應(yīng)用原則及注意點1應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.2注意點：①三角形法則強調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則強調(diào)“起點相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉(zhuǎn)化，達到“首尾相連”的目的.2.如圖：在平行四邊形ABCD中．(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝________.(1)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)eq\o(AO,\s\up9(→))(3)eq\o(AD,\s\up9(→))(4)0[(1)由平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝eq\o(AO,\s\up9(→)).(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→)).(4)∵eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(CD,\s\up9(→))，∴eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝0.]向量加法的實際應(yīng)用[探究問題]1．如何計算兩個向量的和？[提示]兩個向量相加，其和仍是一個向量．計算兩個向量的和需利用三角形法則或平行四邊形法則，在使用三角形法則時，應(yīng)注意“首尾相連”；在使用平行四邊形法則時，應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點相同．2．共線的兩向量相加，其結(jié)果怎樣？[提示](1)向量a與b同向(如圖①所示)，即向量a＋b與a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.①②(2)向量a與b反向(如圖②所示)，且|a|<|b|時，a＋b與b方向相同(與a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.【例3】在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向．[思路探究]速度是向量，因此需要作出船的速度與水流速度的示意圖，把實際問題轉(zhuǎn)化為三角形中求角度問題．[解]作出圖形，如圖．船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝v實際，結(jié)合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，在Rt△ACD中，|eq\o(CD,\s\up9(→))|＝|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝v水＝10m/min，|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝eq\f(|\o(CD,\s\up9(→))|,|\o(AD,\s\up9(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴α＝60°，從而船與水流方向成120°的角．故船行進的方向是與水流的方向成120°的角的方向．1．(變結(jié)論)若例3條件不變，則經(jīng)過3小時，該船的實際航程是多少？[解]由題意可知|eq\o(AC,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(3),2)×20＝10eq\r(3)(m/min)＝eq\f(3\r(3),5)(km/h)，則經(jīng)過3小時，該船的實際航程是3×eq\f(3\r(3),5)＝eq\f(9\r(3),5)(km)．2.(變結(jié)論)若例3的條件不變，改為若船沿垂直于水流的方向航行，求船實際行進的方向的正切值(相當(dāng)于河岸的夾角)．[解]如圖所示，|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|＝|v船|＝20m/min，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝|v水|＝10m/min，則tan∠BAC＝2，即為所求．應(yīng)用向量解決平面幾何問題的基本步驟1表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2運算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進行運算，解答向量問題.3還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當(dāng)兩個向量共始點時，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行．3．使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接”．和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點．向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不應(yīng)寫成0.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩向量的和，可能是一個數(shù)量．()(2)兩向量相加，就是兩向量的模相加．()(3)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DE,\s\up9(→))＝eq\o(CE,\s\up9(→)).()(4)矩形ABCD中，eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up9(→)).()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知四邊形ABCD是菱形，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(BC,\s\up9(→))C.eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→)) D.eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))C[由加法的平行四邊形法則可知eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，即(－eq\o(B