地球物理資料數(shù)字處理(第二十、二十一講)

/最小熵反褶積(ＭiｎiｍｕmEntropyDeconvolｕtion）地球物理技術(shù)具有高科技密集，更新速度快的特點(diǎn).每一次新技術(shù)的出現(xiàn)及其應(yīng)用都對數(shù)字處理技術(shù)產(chǎn)生巨大的沖擊。尤其是隨著現(xiàn)代信息處理技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，更加促進(jìn)了新技術(shù)在地震資料數(shù)字處理中的應(yīng)用。最小熵反褶積就是將信息論中熵的概念引入到反褶積中的技術(shù)。與最小平方反褶積不同的是，它不需要假定反射系數(shù)是白噪，子波為最小相位的條件，從這個(gè)意義上講，它比最小平方反褶積方法先進(jìn),從另外的角度看，它的算法較為復(fù)雜，這又是這種方法的缺點(diǎn)。這里討論最小熵反褶積技術(shù),意義不在于其方法本身.目的是把反褶積技術(shù)引入更廣闊的領(lǐng)域.最小熵反褶積的目的是壓縮地震子波,提高地震記錄的分辨率。本節(jié)要點(diǎn)：熵的基本概念；最小熵反褶積原理;最小熵反褶積原理的步驟.熵的基本概念（TheBａsicCｏnｃeptofＥｎtｒｏpｙ）研究最小熵反褶積,必須首先理解熵的概念。熵,最早并不是地震資料數(shù)字處理技術(shù)中的專有名詞。它是由物理學(xué)中熱學(xué)的概念借用而來。在物理熱力學(xué)中,研究分子運(yùn)動(dòng)狀態(tài),用熵來衡量分子熱運(yùn)動(dòng)的秩序.從分子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，分子熱運(yùn)動(dòng)要從有序趨于混亂，這時(shí)分子的熵發(fā)生變化,熵越大，分子運(yùn)動(dòng)越無秩序，規(guī)律性不強(qiáng)，反之熵越小,分子運(yùn)動(dòng)越有秩序.可見，最早熵是用來衡量分子運(yùn)動(dòng)秩序的物理量。在信息論中,熵用來衡量系統(tǒng)內(nèi)信息的不確定性或不可預(yù)測性，熵越大系統(tǒng)內(nèi)信息的不確定性就越大，反之，則不確定性就越小最小熵反褶積原理（ＴhｅPｒｉｎciｐleＯFMｉnimｕｍＥntrｏpyＤeconvｏlutｉon)根據(jù)地震褶積模型,地震記錄,最小熵反褶積問題歸結(jié)為１。尋找一線性(ＬｉnｅarDeconvolutioｎFactor）反褶積算子2.使得地震記錄與反褶積算子褶積后其輸出為(WaveShaｐe)波形簡單，（Ｐolaｒiｔy）和延遲時(shí)間（TimeDｅlaｙ）未知的尖脈沖序列。即輸出為反射系數(shù)序列,則有下式成立（5-4-1)從熵的角度分析，最小熵反褶積的輸出準(zhǔn)則是希望得到褶積輸出是由一系列極性和延遲時(shí)間未知(由地下介質(zhì)的性質(zhì)決定）的尖脈沖序列組成，且應(yīng)使信號的秩序最好，規(guī)律性強(qiáng)，亦即熵最小。因此，最小熵反褶積的關(guān)鍵是如何使褶積的輸出達(dá)到最小.為了提高反褶積算子的精度，實(shí)際確定反褶積算子時(shí)，不是使用一道地震記錄，而是選區(qū)一組地震道組成一個(gè)道集,如圖（5-1１)。這時(shí)，反褶積的輸出亦為一個(gè)道集,則（5—4其中,求取反褶積因子的道集,為道序號，為記錄樣點(diǎn)采樣序號(，m為反褶積因子的長度，下面的問題是如何衡量輸出道集的熵達(dá)到最小.為了確定輸出波形達(dá)到熵最小，構(gòu)造函數(shù)，成為最大方差范數(shù)圖5-１1確定最小熵反褶積因子輸入道集（5—4(5－4-4）可以證明分析最大方差范數(shù)的特點(diǎn)，若取輸出為尖脈沖時(shí)，即輸出波形最為簡單，亦即熵最小的情況,則，若輸出為幅度相等的2個(gè)尖脈沖時(shí),V=０。50。若輸出為1０個(gè)幅度相等的尖脈沖時(shí)，V=0．１0。雖然,當(dāng)脈沖幅度相等時(shí),脈沖的個(gè)數(shù)越多，則最大方差范數(shù)V的值越小，且最大方差范數(shù)不受脈沖的極性和出現(xiàn)時(shí)間影響。對于輸出波形為幅度不等的尖脈沖時(shí)，可以參看圖（5-1２)了解最大方差范數(shù)的特點(diǎn)?？梢岳斫?最大方差范數(shù)Ｖ可以作為衡量輸出信號熵大小的準(zhǔn)則。下面討論如何確定反褶積因子。根據(jù)上面建立的最小熵反褶積準(zhǔn)則及最大方差范數(shù)的特點(diǎn)，所求的反褶積因子必滿足使最大方差范數(shù)達(dá)到最大，也就是輸出地震記錄的熵最小,所以必須滿足下式（5－４-5）圖5—12簡單脈沖序列最大方差值數(shù)V的特征所以(５—4為簡化求導(dǎo)，令，則（５-４—6（5-４-7）由(５－4-2）式知?jiǎng)t（5—4-7）又可寫成下式對上式整理,又可寫成下式令將代入(5-4－7）得(5-4-8）寫成矩陣形式（5-4－9)分析（5-４-7)式知，該方程組并不是一個(gè)線性方程組,而是一個(gè)復(fù)雜的非線性高次方程，將(5－4—7)式寫（５－4—8）式制式起到使其表達(dá)式簡潔的作用，因此不能用求解線性方程組的方法求解?？梢圆捎玫ㄇ蠼?迭代求解過程為1)給定一初始線性褶積算子２）根據(jù)計(jì)算值。3)根據(jù)計(jì)算和的值４）將計(jì)算所得的和的值代入矩陣(5—4－9)并求解，可得一新的褶積算子5）重復(fù)(２）~(４）步驟，直至得到滿意的輸出為止,這時(shí)得到的可做為反褶積算子。上述的迭代過程一般4～6次就可以結(jié)束.由于所解方程為非線性,這時(shí)輸出的反褶積算子并不能保證最大方差范數(shù)V是唯一的極大值,但此時(shí)的反褶積算子仍不失其使用意義。在迭代的過程中為確保最小熵準(zhǔn)則的一致性，必須對每次迭代所得的反褶積算子進(jìn)行歸一化處理，以使每次計(jì)算的最大方差范數(shù)V是使用統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)比較.在建立最小熵反褶積準(zhǔn)則時(shí)，我們僅考慮輸出具有簡單外形的條件,并沒有考慮輸出脈沖的極性和其時(shí)間延遲,這可能導(dǎo)致輸出脈沖的極性與實(shí)際反射系數(shù)的極性相反，或與實(shí)際的時(shí)間延遲不一致的情況出現(xiàn)，這是最小熵反褶積方法的一個(gè)缺點(diǎn)，只要我們合理選擇初始的反褶積算子,我們可以避開這個(gè)問題。一般，若選線性反褶積算子的初始值為一尖脈沖時(shí)，其間脈沖出現(xiàn)的位置應(yīng)接近實(shí)際位置.圖(5－１3）是利用人工合成記錄進(jìn)行最小熵反褶積的算例.圖（5-13）（a）是原始模型,（a）(b）（c)圖（５-１3)最小熵反褶積算例上部是輸入子波,下部是反射系數(shù)序列。圖（5—13)(ｂ）上部是由所得反褶積算子計(jì)算的最小平方逆，下部是輸入子波與反射數(shù)褶積所得的紀(jì)錄道集，圖（5-13）（ｃ）是最小熵反褶積的輸出結(jié)果,上部是所求的線性反褶積算子。值得一提的是反褶積算子的最小平方逆與模型的輸入子波形非常相似,這說明,最小熵反褶積方法的效果令人滿意。極大似然反褶積(ＭostlikelihｏoｄDeconvolutiｏn）極大似然反褶積是建立在概率論中極大似然估計(jì)理論基礎(chǔ)之上的一種反褶積新技術(shù)。由于反褶積準(zhǔn)則是建立在概率基礎(chǔ)之上，不需假設(shè)子波的最小相位特征，只需假設(shè)反射系數(shù)滿足高斯－貝努力序列條件，而該條件符合實(shí)際情況,因此,極大似然反褶積方法適應(yīng)性強(qiáng)。且所得每一個(gè)反射脈沖都比較準(zhǔn)確地對應(yīng)于反射界面，地震剖面的精度和分辨率均得到提高.由于極大似然反褶積算法比較復(fù)雜，這里只介紹基本原理。本節(jié)要點(diǎn)：極大似然反褶積原理;分塊最優(yōu)化迭代法。一、極大似然反褶積原理根據(jù)地震記錄褶積模型，對于任意一地震道記錄，可以寫成下式現(xiàn)對于波和反射系數(shù)做如下假設(shè)1．對于任意相位的地震子波和反射系數(shù)，均可由ARMA（自由歸平均）模型表示，即子波的Z變換為（５-5—1其中，,,ｍ，ｎ為子波參數(shù)2.假設(shè),地層的反射系數(shù)序列滿足高斯—貝努力序列，且可用乘積模型表示，則(5-５-2)其中是與地層散射序列有關(guān)的背景散射序列,是零均值的高斯白噪，它表示反射系數(shù)幅度的大小，是序列，它表示反射是否存在.,表示有反射,，表示無反射，且其概率密度滿足（5-５-3）其中,稱為反射頻次對于地震記錄的褶積模型,若江地震記錄寫到向量形式，則有(5—5－４其中表示列向量，N表示記錄長度。對于（5－５—（５－5-5）為使表達(dá)式簡潔，對所有的變量均以列向量的形式表示，則有其中,表示統(tǒng)計(jì)參數(shù)列向量，表示方差，表示變量的方差,表示的方差，表示的方差,為反射頻次。設(shè)地震記錄的似然函數(shù)為，根據(jù)概率理論,似然函數(shù)可以表示成下式(5—５-6其中,P表示概率密度，由條件概率的乘法定理,有（5-５－7）若設(shè)與無關(guān)，則(5-５—7）式可寫為（５—５-8現(xiàn)在計(jì)算上式中的似然函數(shù)。根據(jù)概率分布性質(zhì)，有其中（5—5-１0（5－5—1１（5－５—1２上面各式中括號外的”'"表示轉(zhuǎn)置將（5-5－9)式~（5—5-1)式代入（5－5—8）式，則似然函數(shù)的表達(dá)式為（5－５-13)由于似然函數(shù)與似然函數(shù)的自然對數(shù)等價(jià),則有(5—5圖5-14分塊最優(yōu)化迭代法示意圖上式表明,若求得的子波參數(shù)，反射系數(shù)參數(shù)，以及統(tǒng)計(jì)參數(shù)和與實(shí)際的地震記錄的參數(shù)一致，則似然函數(shù)會出現(xiàn)極大值?？梢姌O大似然反褶積準(zhǔn)則很好地解決了子波壓縮問題和反射脈沖出現(xiàn)的時(shí)間問題。進(jìn)一步分析表明，極大似然反褶積可以同時(shí)獲得子波參數(shù)和反射系數(shù)序列。此時(shí)，反褶積問題歸結(jié)為，如何計(jì)算我們所關(guān)心的子波參數(shù)反射系數(shù)序列以及其他參數(shù)，使得似然函數(shù)達(dá)到極大值。分析(５-5—14）式知,計(jì)算中的似然函數(shù)需求解個(gè)未知參數(shù),當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)很大時(shí)，直接求解幾乎不可能。分塊最優(yōu)化迭代可以較好地解決上述問題，下面僅介紹最優(yōu)化迭代的基本原理。由于采用分塊最優(yōu)化迭代法，至少可以保證所求出的子波參數(shù)和反射系數(shù)參數(shù)使似然函