2021高三數(shù)學教師用書：第4章 第7講解三角形的應(yīng)用舉例含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三人教B版數(shù)學一輪（經(jīng)典版）教師用書：第4章第7講解三角形的應(yīng)用舉例含解析第7講解三角形的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)知識整合1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線eq\x(\s\up1(01)）上方的角叫仰角，在水平線eq\x（\s\up1（02）)下方的角叫俯角（如圖①)．2．方位角從正北方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角．如B點方位角為α(如圖②）．3．方向角相對于某一正方向的水平角，即從指定方向線到目標方向線的水平角（指定方向線一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏東α,南偏西α。特別地，若目標方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向、東北方向等．（1)北偏東α,即由eq\x(\s\up1(03）)指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③）；(2）北偏西α，即由eq\x（\s\up1（04）)指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；（3）南偏西等其他方向角類似．4.坡角與坡度（1）坡角:eq\x(\s\up1（05）)坡面與水平面所成的二面角（如圖④,角θ為坡角）．(2）坡度：eq\x（\s\up1（06）)坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．1．仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的．2．“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是［0,2π），方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)))。1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（)A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°答案B解析由題可知∠ABC＝50°，A,B，C位置如圖．故選B.2．(2019·廈門模擬）如圖,D,C，B在地平面同一直線上，DC＝10m,從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于(）A．10m B．5eq\r（3）mC．5(eq\r（3）－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m答案D解析在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得eq\f（AB，tan30°）－eq\f（AB，tan45°）＝10,解得AB＝5（eq\r（3）＋1）(m）．故選D。3．(2019·武漢模擬）海面上有A，B，C三個燈塔,AB＝10nmile,從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝（)A．10eq\r(3）nmile B．eq\f(10\r（6),3）nmileC．5eq\r（2)nmile D．5eq\r(6)nmile答案D解析由題意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理，得eq\f(10，sin45°)＝eq\f(BC，sin60°)，所以BC＝5eq\r(6)nmile。4．(2020·安徽安慶期末質(zhì)量監(jiān)測）某快遞公司在我市的三個門店A,B,C分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店A,B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50°方向上，門店B位于門店C的北偏西70°方向上,則門店A，B間的距離為(）A．a(chǎn)km B．eq\r（2)akmC.eq\r(3）akm D．2akm答案C解析如圖所示，依題意知CA＝CB＝akm,∠ACB＝50°＋70°＝120°，∠A＝∠B＝30°，由正弦定理,得eq\f(AB,sin120°)＝eq\f（a，sin30°)，則AB＝eq\f（asin120°，sin30°）＝eq\r(3)a(km）,即門店A，B間的距離為eq\r(3）akm。故選C。5．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m。答案50解析設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝hm，AB＝100m,BC＝eq\r(3)hm，根據(jù)余弦定理得（eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0,即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50(m),故水柱的高度是50m.核心考向突破考向一測量距離問題例1（2019·江西贛州模擬）如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測,A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A,B兩處島嶼間的距離為（)A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20（1＋eq\r（3)）海里 D．40海里答案A解析由題意可知,∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40（海里）．在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，由正弦定理可得AC＝eq\f（40sin105°，sin45°）＝20(eq\r(3)＋1）(海里)．在△ABC中，由余弦定理，得AB＝eq\r（AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°)＝20eq\r（6)(海里)．故選A。距離問題的解題思路這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當．[即時訓練］1。（2019·福建寧德第二次（5月）質(zhì)量檢查)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)"，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°,∠ACB＝120°，則A，B兩點間的距離為________米．答案80eq\r（5）解析∵在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°。由正弦定理,得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°）＝eq\f(40，\f（\r(6)－\r（2)，4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2)）(米),在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°,∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得eq\f(CD，sin∠CBD）＝eq\f(BC，sin∠BDC）,∴BC＝eq\f（CD·sin∠BDC，sin∠CBD)＝eq\f（80×sin15°,\f(1，2)）＝160sin15°＝40(eq\r（6）－eq\r(2)）（米)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝1600(8＋4eq\r（3））＋1600eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（8－4\r(3)）)＋2×1600（eq\r(6）＋eq\r（2))×(eq\r(6）－eq\r（2）)×eq\f（1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r（5）(米），則A，B兩點間的距離為80eq\r(5）米．考向二測量高度問題例2為了測量某新建的信號發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C,D，測得∠BDC＝60°,∠BCD＝75°，CD＝40m，并在點C的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1m，則發(fā)射塔高AB＝()A．(20eq\r（2）＋1)m B．（20eq\r(3）＋1)mC．20eq\r（2)m D．(40eq\r(2)＋1）m答案A解析如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F，則EF＝BC，BF＝CE＝1m,∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得,BC＝eq\f（CD·sin∠BDC，sin∠CBD)＝eq\f（40·sin60°，sin45°)＝20eq\r（6)(m)．所以EF＝20eq\r（6)m，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq\r(6)×eq\f(\r（3）,3)＝20eq\r（2）(m），所以AB＝AF＋BF＝20eq\r（2）＋1（m）．故選A。處理高度問題的注意事項（1）在處理有關(guān)高度問題時，正確理解仰角、俯角是一個關(guān)鍵．(2）在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．[即時訓練]2.(2019·湖北宜昌模擬）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m。答案100eq\r(6）解析依題意有AB＝600m，∠CAB＝30°,∠CBA＝180°－75°＝105°,∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由eq\f（AB，sin∠ACB）＝eq\f（CB，sin∠CAB）,得eq\f（600,sin45°)＝eq\f(CB，sin30°)，解得CB＝300eq\r（2)(m)，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝100eq\r(6）（m）．則此山的高度CD＝100eq\考向三測量角度問題例3（2019·沈陽模擬）如圖，位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．

解在△ABC中,AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°,由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7）(海里)．由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB）＝eq\f（BC，sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f（AB，BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21），7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7)，7).由θ＝∠ACB＋30°,得cosθ＝cos（∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f（\r(21）,14）.解決測量角度問題的注意事項（1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意,分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．（3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．[即時訓練］3．（2020·商丘模擬)如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)的方向，勻速向北航行20分鐘后到達B處，測得山頂P位于北偏東60°的方向，此時測得山頂P的仰角為60°，已知山高為2eq\r（3)千米．（1）船的航行速度是每小時多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處南偏東多少度的方向?解（1）在△BCP中，由tan∠PBC＝eq\f（PC，BC)，得BC＝eq\f（PC，tan∠PBC）＝2，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC，sin∠BAC)＝eq\f（AB,sin∠BCA）,即eq\f(2,sin15°）＝eq\f（AB,sin45°），所以AB＝2(eq\r（3）＋1），故船的航行速度是每小時6(eq\r(3)＋1)千米．（2)在△