3.2 均值不等式 學(xué)案(人教B版必修5)

2222222222222222222222

均值不等(一自主學(xué)習(xí)知識梳理．如果，b∈，那么

＋b

2

(當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”號)＋．若，為_______，那么ab(當(dāng)且僅當(dāng)a________時，等號成立，稱上述不等式為不等式，其中稱ab的算術(shù)平均值，________稱為，b的何平均值．．均值不等式的常用推論a＋(1)≤≤(a∈R)；2(2)當(dāng)x>0時，＋≥________；x當(dāng)x<0時x＋≤________.x(3)當(dāng)時＋≥；當(dāng)ab<0，＋≤(4)a＋＋c________ab＋bcca(a，c∈)．自主探究＋下面是均值不等式ab≤的種幾何解釋，請你補(bǔ)充完整．如圖所示，ABO的徑＝，＝，點(diǎn)C作CDAB交O上圓于D，連結(jié)AD由射影定理可知＝__________OD________，＋所以________ab，當(dāng)且僅當(dāng)C與________即________，等號成立．a(chǎn)＋b＋b．當(dāng)，b>0時≤≤≤這是一條重要的均值不等式鏈請122＋你給出證明．對點(diǎn)講練知點(diǎn)

利均不式較小例已正a<1且ab則＋，2，2，個是)Aa＋b．2C2abD．＋b

＋，中最大的一總結(jié)

(1)(2)

22變式訓(xùn)練設(shè)0<，且＋＝，在下列四個數(shù)中最大的()B．CabD．

2

＋知點(diǎn)利用值等證不式例

bcab設(shè)a、bc都正，證：＋＋≥＋＋c.總結(jié)變式訓(xùn)練已，b，c為等正實(shí)數(shù)，abc＝1.1求證：ab＋c<＋＋.b知點(diǎn)

利均不式含數(shù)題n例ab，n∈M且＋≥，求n的大值．－－c－總結(jié)

x2222222222222222x2222222222222222變式訓(xùn)練已不式(x＋y)＋≥對意正實(shí)數(shù)，y恒立，則正實(shí)數(shù)a的小值為)A8B．C4D．．)ab)abmin()≤≤ab≤≤b

a2≤a)ab2≥2≥ab…‘’”abbab課時作業(yè)一、選擇題＋＋2．已知>0>0，則，ab，，中小的是()2＋＋

abC.

＋bab＋b．已知＝a＋(a>2)，＝x－，、n之的大小關(guān)系(－AmB．<CmnD．mn．設(shè)，b∈，且≠，a＋＝，則必有)＋ba＋A1≤B．a(chǎn)b＋ba＋C．<<1<2．若不等式＋＋≥0對切x∈，恒立，則a的小值為)A0B．－C．－D．－．如果正數(shù)a，c，滿足＋＝＝，那么()Aab≤c＋，且等號成立時，b，，的值唯一Bab≥c＋，且等號成立時，b，，的值唯一C．≤c＋d，且等號成立時a，c，d的值不唯一D．a(chǎn)b＋d，且等號成立時，b，，的值不唯一二、填空題．若lgx＋＝1則＋的小值為_．x．若，則＋

有最______值，為________．－．設(shè)正數(shù)x，滿x＋≤a＋恒成立，則最小值_____．三、解答題＋．已知、b、c是實(shí)數(shù)，求證＋＋≥

2222x＋．已知>>01，求證：≥x－y知識梳理．≥a＝b．正≥＝均

＋b

均值不等一．－2(3)2－2(4)≥自主探究

＋

≥≥重a．證明≤

12222bcbcbbcacbcabbc2ca∴2bc12222bcbcbbcacbcabbc2ca∴2bc≥

2b2a≥∵ab

2abaaababb2∴ab≥≤ab1bb

≥0∵

2b22

a224

2b2

ab≥4∴

2b2aba≥≤

2b2b≤≤對點(diǎn)講練

a2例1D[a∈(0,1)≠bb>2aba

2b2>2aa(b(1)0<ab1<0a2

<ba]變式訓(xùn)練B[∵ab<

2∴ab∴2ab<∵

b2>>0∴

2b2>∴a>.2∵b(a

)()ab)aaba2ab∴b>22∴]例證明∵ac∴bccaab∴≥2c≥2≥2≥2(abcbcabbc

≥ac.1111變式訓(xùn)練證∵≥2≥bcc

≥2

2acbc

≥2()≥bc1∵ac∴<.

n22222axxy2b2ab8ababaab20xxxn22222axxy2b2ab8ababaab20xxx例

解方法一∵≥a>abcc∴n∵ac∴n≤

min≥

4.∴n4∴n4.方法二

∵a>bc∴

acb

b

2

≥24.∴n4∴n4.變式訓(xùn)練[(xy)

9x()1aa≥a12yx()22≥

21ayyx()228≥0≥2a)a44.]課時作業(yè)．[法一bab3ab8

10∴3方法二

ab2a≤ab≤≤1b

a2

]A[(≥2

2x2

<2

4.>．[∵≤

b

2a≠∴ab<1∵

2b2abb2>∴>1∴abB[2≥0∈?ax≥x?ax

∵x≥2∴x≤∴≥2.]．A[bab∴≤

2a

x2xy2x2xy2cd∴c≥cdd2≥abcd]．5解析∵xlg1∴xy10∴≥2.]．大－解析∵∴1<0∴

a≥2∴a≤2∴a≤1.y解析≥y∵

x≤