4.2.2第2課時圓錐曲線的極坐標方程及應(yīng)用

212212第課時

圓錐曲線的極標方程應(yīng)用1．掌握極標系中圓錐曲線的方程．2．會求簡的圓錐曲線的極坐標方程．3．感受在坐標系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的完美統(tǒng)一．[基礎(chǔ)初探圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程ρ＝

ep1－cosθ

，(***)其中p焦點到相應(yīng)準線的距離，稱為焦準距．ep當0＜＜時，方程ρ＝表示橢圓；1－eθp當＝時，方程(***)ρ＝，表示拋物線；1－θep當＞時，方程ρ表示雙曲線，其中ρ∈R1－eθ[思考探究1．用圓錐線統(tǒng)一極坐標方程的標準形式判別圓錐曲線需注意什么？【提示】應(yīng)注意統(tǒng)一極坐標方程的標準形式只有方程右邊分母中的常數(shù)為1cosθ的系數(shù)的絕對值才表示曲線的離心率如果該常數(shù)不是1一定要將其轉(zhuǎn)化為1，再去判別，例如方ρ＝

4的離心率不是1，其不表示拋2－cosθ14×1線，將方程變形為ρ＝，則e＝，表示橢圓．1－cosθ

2ab222222aρb222212222ab222222aρb22221222212．我們由線的直角坐標方程很容易知道它是哪種曲線，那如何由曲線的極坐標方程確定其是哪一種曲線呢？【提示】如果對簡單的直線和圓的極坐標方程及圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程熟練的話可由其判斷否則一般是將其化成直角坐標方程再判斷其是哪種曲線．[質(zhì)疑手記預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問4：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________橢圓極坐標方程的應(yīng)用xy已知AB為橢圓＋＝＞＞0)上兩點OAOBO為原點)．求證：

11＋為定值．【自主解答】以為極點x軸正方向為極軸，長度單位不變建立極坐標x1cosθsinθ系，則＝ρcosθ，y＝sinθ，代入＋＝1中得＝＋設(shè)Aρ，α，

11ρ，α±＋＝＋＝＋(為定值)ρρa[練一題]

2△12222222△22222222222242222222△12222222△2222222222224222222442△2222△a＋222432422＝.1．本例條不變，試求△AOB面積的最大值和最小值．【解】

1由例題解析得，S＝ρρ，AOB而ρ＝

aba＋bα

，abρ＝，aα＋bα∴S

1＝·AOB

aα＋bcos＋bsin1＝·

a＋csinα＝

－c

1abα－

2

＋a

2

b

1＋c∴當sin

2

1α＝1時，)＝abAOBmax1ab∴當sinα＝時，(S)＝AOBmin雙曲線極坐標方程的應(yīng)用xπ過雙曲線－＝1的右焦點，引傾斜角為的直線，交雙曲線于A、B兩點，求AB.【思路探究】求出雙曲線極坐標方程得出A兩點極坐標進而求AB.x3【自主解答】雙曲線－＝1，a＝2，b＝5，c＝3，所以e＝p＝bc取雙曲線的右焦點為極點，軸正方向為極軸正方向建立極坐標系，則雙曲

ππ33112ππ＝33.121554－5cosθ42ππ33112ππ＝33.121554－5cosθ4222c525c.2線的極坐標方程為ρ＝

ep1－eθ

.5代入數(shù)據(jù)并化簡，得ρ＝2－3cosθ設(shè)，＝ρ＋ρ＝

5＋2－3cos－807應(yīng)用圓錐曲線的極坐標方程求過焦點(極點)的弦長非常方便．橢圓和拋物線中，該弦長都表示為ρ＋ρ，而雙曲線中，弦長的一般形式是ρ＋ρ[練一題]2．已知雙線的極坐標方程是ρ＝和準線方程．

9，求雙曲線的實軸長、虛軸長4－θ59×9455【解】雙曲線方程ρ＝可以化為ρ＝所以e＝p1－cosθb設(shè)＝5，＝r，則b＝c－a＝9r.p＝＝，得r＝1.以2＝b＝6.所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為6.9a準線方程ρcosθ＝－即ρcosθ＝－或ρcos＝－p－2即cosθ＝－415拋物線極坐標的應(yīng)用已知拋物線y＝4x焦點為F.以F為極點，x軸正方向為極軸正方向，寫出此拋物線的極坐標方程；過F作直線l交拋物線于，B點，若＝16，運用拋物線極坐標

12122sin4226622211－cosθ12122sin4226622211－cosθ方程，求直線l的傾斜角．【自主解答】

2(1)極坐標方程為ρ＝.1－cosθ設(shè)A(，θ)，B(，π＋θ)．2＝ρ＋ρ＝＋1－θ141＝＝，即θ＝得θ＝±.θπ故l的傾斜角為或π.[練一題]3．平面直坐標系中，有一定F和一條定直線lx＝－2.求與定點1的距離和定直線l的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡的極坐標方程．【導學號：98990015】【解】

過定點定直線l的垂線，垂足為K以F極點，的反向延長線為極軸，建立極坐標系．由題意，設(shè)所求極坐標方程為ρ＝

ep1－eθ

，∵定點F(2,0)，定直線l：＝－2，∴pF點到直線l的距離，為－(－＝4.1又∵常數(shù)＝e，1×4ep4∴所求點的軌跡的極坐標方程為ρ＝＝，即ρ＝1－ecosθ－θ2[題鏈接賞析]教材第33頁習題第10題我國自行研制的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，軌道的近地點和遠地點分別為

111211211121122211244111211211121122211244439km和2地球半徑取6出衛(wèi)星運行軌道的極坐標方程．已知雙曲線的極坐標方程為ρ＝

31－2cosθ

，過極點作直線與它交于A，B兩點，且AB＝6，求直線AB的極坐標方程．【命題意圖】本題主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程和直線的極坐標方程．【解】

設(shè)直線的極坐標方程為＝θρθ，ρθ＋π)．則ρ

13＝，1－2cosθ33ρ＝＝1－π＋θ3＝ρ＋ρ＝|＋1－2cosθ＋θ6＝＝，1－4cosθ11∴＝±1.1－4cosθ12∴cosθ＝0θ＝±ππ3π故直線的極坐標方程為θ＝或θ＝或θ＝1．拋物線＝

4(ρ＞0)的準線方程為_____．1－cosθ【答案】

ρcosθ＝－2．設(shè)橢圓極坐標方程是ρ＝

42－θ

，則λ的取值范圍是_．【導學號：98990016】

222222【解析】

ρ＝

42－θ

2＝，λ1－cosθλ所以離心率＝，λ由0＜＜1，得λ∈(0,2)．【答案】

3．橢圓＝

4的焦距是________．2－θ【答案】

834．雙曲線＝

4的焦點到準線的距離為_2－3cosθ【答案】

43我還有這些不足：(1)____________________________________