短時傅立葉變換

第2章短時傅立葉變換2．1連續(xù)信號的短時傅立葉變換我們在1.1節(jié)中已指出，由于在實際工作中所遇到的信號往往是時變的，即信號的頻率在隨時間變化，而傳統(tǒng)的傅立葉變換，由于其基函數(shù)是復正弦，缺少時域定位的功能，因此傅立葉變換不適用于時變信號。信號分析和處理的一個重要任務，一方面是要了解信號所包含的頻譜信息，另一方面還希望知道不同頻率所出現(xiàn)的時間。早在1946年，Gabor就提出了短時傅立葉變換（ ShortTimeFourierTransform ，STFT）的概念，用以測量聲音信號的頻率定位 [64]。給定一信號x(t)L2(R)，其STFT定義為STFTx(t,)x()gt*,()d（2.1.1）x()g*(t)ejdx(),g(t)ej式中gt,()g(t)ej2.1.2）及 ||g()||1，||gt,()||1并且窗函數(shù) g()應取對稱函數(shù)。 STFT的含義可解釋如下：在時域用窗函數(shù) g()去截x()（注：將x(t)，g(t)的時間變量換成 ），對截下來的局部信號作傅立葉變換，即得在 t時刻得該段信號得傅立葉變換。不斷地移動 t，也即不斷地移動窗函數(shù) g()的中心位置，即可得到不同時刻的傅立葉變換。 這些傅立葉變換的集合， 即是STFTx(t, )，如圖2.1.1所示。顯然， STFTx(t, )是變量(t, )的二維函數(shù)。由于g()是窗函數(shù)，因此它在時域應是有限支撐的，又由于 ej 在頻域是線譜，所以STFT的基函數(shù) g( t)ej 在時域和頻域都應是有限支撐的。這樣， （2.1.1）式內(nèi)積的結果即可實現(xiàn)對 x(t)進行時－頻定位的功能。當然， 我們自然要關心這一變換時域及頻域的分辨48率。對（2.1.2）式兩邊作傅立葉變換，有Gt,()g(t)ejejdej()tg(t)ej()tdtG()ej()t（2.1.3）式中 是和 等效的頻率變量。x(τ)x( )g( t1)x()g( t2)0 t1 t2ΩFTFT0 t1 t2圖2.1.1 STFT示意圖由于x(t),gt,()1X(),Gt,()21X(*()ej()td2)G

x()g( t3)t3 τFTt3 t(2.1.4)所以STFTx(t,)ejt1*()ejtd（2.1.5）2X()G該式指出，對x()在時域加窗g(t)，引導出在頻域對X()加窗G()。由（1.3）節(jié)及圖2.1.1可以看出，基函數(shù)gt,()的時間中心0t（注意，t是移位變49量），其時寬2(t)2|gt,()|2d2|g()|2d（2.1.6）即gt,()的時間中心由t決定，但時寬和t無關。同理，Gt,()的頻率中心0，而帶寬21()2212|G(2（2.1.7）2|Gt,()|d2)|d也和中心頻率無關。這樣，STFT 的基函數(shù)gt,( )具有時－頻平面上的一個如下的分辨“細胞” ：其中心在(t,)處，其大小為，不管t,取何值（即移到何處），該“細胞”的面積始終保持不變。該面積的大小即是STFT的時－頻分辨率。如圖2.1.2所示。vΩ2 Gt2,2vvGt1, 1 vΩ1 vgt2,2gt2,2t1t2圖2.1.2STFT的時－頻分辨率當我們對信號作時－頻分析時，一般，對快變的信號，我們希望它有好的時間分辨率以觀察其快變部分（如尖脈沖等），即觀察的時間寬度 t要小，受時寬－帶寬積的影響，這樣，對該信號頻域的分辨率必定要下降。由于快變信號對應的是高頻信號，因此對這一類信號，我們希望有好的時間分辨率，但同時就要降低高頻的分辨率。反之，對慢變信號，由于它對應的是低頻信號，所以我們希望在低頻處有好的頻率分辨率，但不可避免的要降低時域的分辨率。因此，我們希望所采取的時－頻分析算法能自動適應這一要求。顯然，由于 STFT的不隨t,變化而變化，因而不具備這一自動調節(jié)能力。我們在后面要討論的小波變換則具備這一能力?，F(xiàn)在，我們舉例來討論 STFT的時－頻分辨率和窗函數(shù)的關系及 STFT的應用。50例2.1.1令x()(0)，可以求出其STFTx(t,)(0)g(t)ejg(0t)ej0（2.1.7）該例說明，STFT的時間分辨率由窗函數(shù)g()的寬度而決定。例2.1.2若x()ej0，則STFTx(t,)ej0g(t)ejdG(0)ej(0)t（2.1.8）這樣，STFT的頻率分辨率由g()頻譜的寬度來決定。這兩個例子給出的是極端的情況，即x(t)分別是時域的函數(shù)和頻域的函數(shù)。x(t)為其他信號時的情況也是如此。顯然，當利用STFT時，若我們希望能得到好的時－頻分辨率，或好的時－頻定位，應選取時寬、帶寬都比較窄的窗函數(shù)g()，遺憾的是，由于受不定原理的限制，我們無法做到使 , 同時為最小。為說明這一點，我們再看兩個極端的情況：例2.1.3若g()1，，則G()()，這樣，STFTx(t,)X()。這時，STFT減為簡單的FT，這將給不出任何的時間定位信息。其實，由于g()為無限寬的矩形窗，故等于沒有對信號作截短。圖2.1.3給出的是在g()1，的情況下所求出的一高斯幅度調制的chirp信號的STFT，上面是時域波形，其中心在t70處，時寬約為15，左邊是其頻譜，右下是其STFT，可見此時的STFT無任何時域定位功能。Signalintimetr0.5pl0aeR-0.5Linearscaleyis]nezdHl[ayrcneepusqyegrrFenE168840

|STFT| 2,Lh=63,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%0.40.30.20.1020406080100120Time[s]51圖2.1.3窗函數(shù)無限寬時 STFT缺少時域定位功能例2.1.4令g()()，則STFTx(t,)x(t)ejt這時可實現(xiàn)時域的準確定位，即STFTx(t,)的時間中心即是x(t)的時間中心，但無法實現(xiàn)頻域的定位功能。如圖2.1.4所示，該圖的時域信號類似例2.1.3，但時域中心移到t30處，相應的，由于作為調制信號的chirp信號的頻率較低，所以x(t)的包絡較例2.1.3要慢。Signalintimetr0.5apl0aeR-0.5Linearscaleys]nezdHl[ayrcneepusqyegrrFenE167840

|STFT|2,Lh=0,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%0.40.30.20.1020406080100120Time[s]圖2.1.4窗函數(shù)無限窄時STFT缺少頻域定位功能例2.1.5設x(t)由兩個類似于例2.1.3的信號迭加而成，這兩個信號一個時間中心在t150處，時寬t132，另一個時間中心在t290處，時寬也是32，調制信號的歸一化頻率都是0.25，如圖2.1.5的上部。在時－頻分布中，類似于例2.1.4及例2.1.5的信號往往都稱為一個“時頻原子（atom）”，在該例的x(t)中，包含了兩個時頻原子信號。選擇g()為Hanning窗，取窗的寬度為55，其STFT如圖2.1.5a所示，這時頻率定位是準確的，而在時間上分不出這兩個“原子”信號的時間中心，我們將窗函數(shù)的寬度減為 13，所得STFT如圖2.1.5b所示，這時，在時間上也實現(xiàn)了兩個中心的定位。以上幾例說明了窗函數(shù)寬度的選擇對時間－頻率分辨率的影響?？傊?，由于受不定原理的制約，我們對時間分辨率和頻率分辨率只能取一個折中，一個提高了，另一個就必然要降低，反之亦然。52traplaeR

Signalintime10.50-0.5Linearscaleys]nezdHl[ayccneepusqyegrenE409120450traplaeR

|STFT| 2,Lh=27,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%0.40.30.20.1020 40 60 80 100 120Time[s]Signalintime10.50-0.5Linearscaleys]nezdHl[ayrcneepusqyegrenE409120450

|STFT| 2,Lh=6,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%0.40.30.20.1020406080100120Time[s]圖2.1.5窗函數(shù)寬度對時－頻分辨率的影響，（a）窗函數(shù)寬度為55，（b）窗函數(shù)寬度為13對（2.1.1）式兩邊也取幅平方，有|STFTx(t,)|2|x()g(t)ejd|2Sx(t,)（2.1.9）式中Sx(t,)稱為x(t)的“譜圖（spectrogram）”。顯然，譜圖是恒正的，且是實的。由于g()||1，所以，由（2.1.9）式可得Sx(t,)dtdEx（2.1.10）即譜圖是信號能量的分布。53我們在例1.1.1中已給出了STFT的一個典型例子，當然，它也是譜圖的一個典型例子。三個不同頻率的正弦信號依次相接，普通的FT只能給出三根譜線，而STFT可給出其頻率隨時間的分布，如圖1.1.1(a)～(c)所示。將圖(c)畫成立體圖，其高度即是信號能量隨時間、頻率的分布。21t22例2.1.6令x(t)ejt為一chirp信號，g(t)(12)4e2為一高斯窗，式中,都是常數(shù)，可以求出， x(t)的譜圖是：Sx(t,)|STFTx(t,)|2(22(2t)2（2.1.11）424)exp(1424)14其形狀類似于圖1.1.2(c)。顯然，當2t時，Sx(t,)取最大值。所以，Sx(t,)集中在2t的斜線上，也即x(t)的能量主要分布在這一斜線上。由于x(t)ej(t)，而(t)t2，所以(t)2t，這就是x(t)的瞬時頻率。也即x(t)的能量主要分布在其瞬時頻率的“軌跡”上。請讀者自行證明，STFT和譜圖有如下性質[8,13]：1．若y(t)x(t)ej0t，則STFTy(t,)STFTx(t,0)（2.1.12a）Sy(t,)Sx(t,0)（2.1.12b）2．若y(t)x(tt0)，則STFT(t,)STFT(tt,)ejt0（2.1.13a）yx0Sy(t,)Sx(tt0,)（2.1.13b）觀察（2.1.1）和（2.1.9）式可以發(fā)現(xiàn)，STFTx(t,)是x(t)的線性函數(shù)，而在（2.1.9）式的積分號中，信號x(t)將會出現(xiàn)兩次（相乘），因此（2.1.9）式稱為信號的“雙線性”或“二次”時－頻分布，它是一種能量分布。我們在后面兩章中討論的時－頻分布都是屬于這一類分布，它們又統(tǒng)稱為Cohen類。542.2短時傅立葉反變換如同傅立葉變換一樣，我們總是希望能由變換域重建出原信號，對 STFT亦如此。不過。STFT的反變換有著不同的表示形式，現(xiàn)分別給以介紹。1．用STFT的一維反變換表示。對（2.1.1）式兩邊求反變換，有1STFTx(t,)ejd2

1x()g(t)ej()dd2x()g( t) ( )d x( )g( t)令t，則x(t)1STFTx(t,)ejtd（2.2.1）2g(0)2．用STFT的二維反變換來表示，即x()證明：由（2.1.1）式

1STFTx(t,)g(t)ejdtd（2.2.2）2STFTx(t,)x()g(t)ejdejtx()g(t)ej(t)d式中，將g(t)換成g(t)是由于窗函數(shù)g(t)為偶函數(shù)，于是STFTx(t,)ejt[x(t)g(t)ejt]兩邊對t取傅立葉變換，設頻域變量為，有STFTx(t,)ejtdtX()G()（2.2.3）(2.2.2)式的右邊也可表示為：1[1X()G()ejtd]g(t)ejdtd2211X()|G()|2ej()dd221X()ej()d1222|G()|d上述推導過程中再次利用了g(t)g(t)，并假定兩項之積的積分小于無窮，因此可分別積分。由于g(t)的能量歸一化為1，即上式＝1X()ej()dx()255這即是（2.2.2）式。3．用g(t)大對偶函數(shù)h(t)來表示：x()＝21STFTx(t,)h(t)ejdtd（2.2.4）式中g(t)h*(t)dt1（2.2.5）也即g(t)和h(t)是雙正交的。STFT反變換的三種表示式是統(tǒng)一的，盡管（2.2.1）式是一重積分，但算法中假定t，這就包含了時間t的變化過程，（2.2.2）式和（2.2.4）式由于（2.2.5）式的關系而一致。STFT也滿足Parseval’s定理，即21|STFTx(t,2（2.2.6）|x()|d2)|dtd證明：由（2.2.3）式，STFTx(t,)相對t的傅立葉變換是X()G()。應用Parseva’s定理，有1|STFTx(t,212|X(222)|dtd(2))||G()|dd上式右邊＝ 1212

|X(212)|d2|G()|d|X()|2d||x(t)||2證畢。由上面的討論可知，STFT將一個一維的函數(shù)x(t)映射為二維的函數(shù)STFTx(t,)，那么，由（2.2.2）式，用二維的函數(shù)表示一維的函數(shù)必然存在著信息的冗余。我們自然可以想象，僅用(t,)平面上的一些離散的點即可表示x(t)，也即實現(xiàn)對x(t)的準確重建。例如，令tna,2mb，則（2.1.1）式可變成STFTx(m,n)x()g*(na)ej2mbd（2.2.7）該式是在(t,)平面的離散柵格上求出的STFT，注意式中仍是連續(xù)的時間變量。我們將在下一節(jié)對該問題作深入的討論，見2.4節(jié)。2.3離散信號的短時傅立葉變換當我們要在計算機上實現(xiàn)一個信號的短時傅立葉變換時，該信號必須是離散的，且為有56限長。設給定的信號為x(n),n0,1,...,L1，對應（2.1.1）式，有STFTx(m,ej)nx(n)g*(nmN)ejnx(n),g(nmN)ejn（2.3.1）式中N是在時間軸上窗函數(shù)移動的步長，是圓周頻率，Ts，Ts為由x(t)得到x(n)的抽樣間隔。該式對應傅立葉變換中的DTFT，即時間是離散的，頻率是連續(xù)的。為了在計算機上實現(xiàn)，應將頻率離散化，令k2Mk（2.3.2）則STFTx(m,k)x(n)g*(nmN)ejMnk（2.3.3）n上式將頻域的一個周期2分成了M點，顯然，上式是一個標準的M點DFT，若窗函數(shù)g(n)的寬度正好也是M點，那么上式可寫成M1STFTx(m,k)x(n)g*(nmN)WMnk，k0,1,....,M1（2.3.4）n0若g(n)的寬度小于M，那么可將其補零，使之變成M，若g(n)的寬度大于M，則應增大M使之等于窗函數(shù)的寬度?？傊?.3.4）式為一標準DFT，時域、頻域的長度都是M點。式中N的大小決定了窗函數(shù)沿時間軸移動的間距，N越小，上面各式中m的取值越多，得到的時－頻曲線越密。若N1，即窗函數(shù)在x(n)的時間方向上每隔一個點移動一次，這樣按（2.3.4）式，共應做 LN

L個M點DFT。當然，這時前 M2和后M2個DFT所截的數(shù)據(jù)不完全，得到的效果不夠好。MATLAB 的時－頻分析 Toolbox中給出了實現(xiàn)（ 2.3.4）式的程序[7]，即tfrstft。（2.3.4）式的反變換是1M1nkx(n)STFTx(m,k)WMM（2.3.5）mk0式中m的求和范圍取決于數(shù)據(jù)的長度L及窗函數(shù)移動的步長N。2.4信號的Gabor展開及Gabor變換2.4.1 Gabor展開的基本概念57早在1946年，Gabor就提出可以用二維的時－頻平面上離散柵格處的點來表示一個一維的信號，即x(t)Cm,nhm,n(t)Cm,nh(tna)ej2mbt（2.4.1）mnmn式中a，b為常數(shù)，a代表柵格的時間長度，b代表柵格的頻率長度，如圖2.4.1所示。mbbana t圖2.4.1Gabor展開的抽樣柵格2.4.1）式中的Cm,n是一維信號x(t)的展開系數(shù)，h(t)是一母函數(shù)，展開的基函數(shù)hm,n(t)是由h(t)作移位和調制生成的，如圖 2.4.2所示，Gabor最初選擇高斯函數(shù)作為母函數(shù)h(t)，這是因為高斯函數(shù)的傅立葉變換也是高斯的，因此保證了時域和頻域的能量都相對較為集中。由于高斯信號的時寬－帶寬積滿足不定原理的下限，即 t 12，因而又保證了使用高斯信號可得到最好的時間、頻率分辨率。后來的研究表明，不止是高斯函數(shù)，其他的窗函數(shù)也都可以用來構成（2.4.1）式中的基函數(shù)。對（2.4.1）式，我們自然會提出如下的問題：1．如何選擇a和b？2．如何選擇母函數(shù) h(t)？3．選定了h(t)及a和b，如何計算展開系數(shù) Cm,n？58h(t) h(t-a) h(t-na)0 a na th(t-a)exp(j2pi*b*t)a na th(t-a)exp(j2pi*m*b*t)a na t圖2.4.2 Gabor展開基函數(shù)的形成4．是否任一能量有限信號（即 x(t) L2(R)）都可作（2.4.1）式的分解？5．時－頻平面離散柵格上的任一個二維函數(shù) Cm,n是否都唯一地對應一個一維的信號x(t)？可以證明[52,5]，如果ab 1，即柵格過稀，我們將缺乏足夠的信息來恢復原信號 x(t)，當然，如果ab過小，必然會出現(xiàn)信息的冗余，這類似于對一維信號抽樣時抽樣頻率過大的情況。因此，當ab 1時，稱為臨界抽樣（ CriticalSampling）ab 1時，稱為欠抽樣（ Undersampling）ab 1時，稱為過抽樣（ Oversampling）由于欠抽樣時固有的缺點，因此人們很少研究它。 Gabor最早提出的是使用高斯窗，并令ab 1，即取臨界抽樣。但是， Gabor展開的這一想法長期沒有被重視，甚至當他由于在全息照相（holography）方面的突出貢獻于 1971年獲得諾貝爾獎的時候，他的有關 Gabor展開的想法仍未引起人們的注意。其主要原因是由于展開系數(shù) Cm,n計算的困難。直到 1980年59Bastians提出了用建立 hm,n(t)的輔助函數(shù)，或對偶函數(shù) gm,n(t)來求解Cm,n的方法之后 B，對Gabor展開的研究才引起了人們的興趣。從此之后，已發(fā)表了大量的論文，這和幾乎是同時開始的有關Wigner分布的研究構成了信號時－頻分析的主要研究內(nèi)容。近20年來，有關Gabor展開的研究大致可歸納為如下三個方面：1．Gabor系數(shù)Cm,n的快速計算，這包括連續(xù) Gabor展開，離散 Gabor展開等；2．Gabor標架理論由于在實際中應用的是 ab 1，特別是ab 1的情況。前已述及，這時存在著信息的冗余，因此，這時展開的基函數(shù) hm,n(t)不可能是正交基，這種情況下，對信號分解的討論自然要用到標架理論。3．Gabor展開的應用從理論上講，Gabor展開的討論和時－頻分布、 濾波器組及小波變換等新的信號處理理論密切相關。因此，這些新的信號處理理論的應用也涉及到 Gabor展開的應用。Gabor展開在信號、圖像的表示，語音分析，目標識別，信號的瞬態(tài)檢測等各方面都取得了很好的應用成果。Gabor展開的理論內(nèi)容相當豐富，限于篇幅，本書僅對Gabor系數(shù)計算及Gabor標架作一簡單的介紹。2.4.2 連續(xù)信號Gabor展開系數(shù)的計算前已述及，文獻 [25]提出了用輔助函數(shù)來求解 Cm,n的方法，即令gm,n(t)g(tna)ej2mbt（2.4.2）并令Cm,nx(t),gm,n(t)x(t)g*(tna)ej2mbtdt（2.4.3）比較（2.4.3）和（2.2.7）式，立即發(fā)現(xiàn)：Cm,nSTFTx(m,n)（2.4.4）即Gabor系數(shù)是在離散柵格上求出的STFT。通常（2.4.3）式稱為Gabor變換，而（2.4.1）式稱為Gabor展開。將（2.4.3）式代入（2.4.1）式，有x(t)x(t),gm,n(t)hm,n(t)mn＝[x(t)gm*,n(t)dt]hm,n(t)mn＝x(t)[gm,n*(t)hm,n(t)]dt（2.4.5）mn60若要該式的右邊等于x(t)，則必有gm,n(t)hm,n(t)(tt)（2.4.6）mn（2.4.5）式稱為x(t)的重構公式，（2.4.6）式給出了為保證由Cm,n恢復x(t)，hm,n(t)和gm,n(t)應遵循的條件。滿足該條件的hm,n(t)被稱為是完備的。由（2.4.6）式還可以引申出母函數(shù)h(t)和其對偶母函數(shù)g(t)之間的關系[25]。g(t)h(tna)ej2mbtdtmn(2.4.7)該式稱為g(t)和h(t)之間的雙正交關系。顯然，若m，n中有一個不為零，上式的積分即為零。若mn0，則g(t)h(t)dt1(2.4.8)文獻[25]給出了矩形窗、高斯窗及其對偶函數(shù)的例子，此處不再詳細討論。以上給出的關系是在ab1，即臨界抽樣的情況下得到的。由上面的討論，我們可得到一個求解Gabor系數(shù)的方法：1：選擇一個母函數(shù)h(t)；2：求其對偶函數(shù)g(t)，使之滿足(2.4.6)式及(2.4.7)式；3：按(2.4.5)式做內(nèi)積，從而得到cm,n。但在一般情況下，對偶函數(shù)g(t)的求解并非容易。有關Gabor系數(shù)的實際求解方法我們將在2.4.4節(jié)討論?，F(xiàn)在我們探討在ab1時g(t)和h(t)應滿足的關系。設時－頻平面離散柵格的邊界分別為a1，b1，a1b11，仿照臨界抽樣的情況，我們將x(t)作類似(2.4.1)式的分解：x(t)cm,nhm,n(t)mncm,nh(tna1)ej2mb1t(2.4.9)mnGabor系數(shù)cm,n也可以按類似(2.4.4)的方法求出：61cm,n x(t),gm,n(t)x(t)g(tna1)ej2mb1tdt(2.4.10)注意，這兩個式子中的參數(shù)分別是a1，b1?，F(xiàn)在的問題是，g(t)和h(t)是否有著類似(2.4.6)和(2.4.7)的關系？設有兩個中間變量a0和b0，并令a01/b1，b01/a1，顯然，a0b11，a1b01，且a0b01，仿照(2.4.7)式，有a0b0g(t)h(tna0)ej2mb0tdtmn(2.4.11)gm,n(t)和hm,n(t)的關系仍如(2.4.6)所示。這一關系是由Welex和Ras于1990年提出的[118]，這一推廣使得對Gabor系數(shù)求解的研究由臨界抽樣推廣倒更一般的情況，即過抽樣。當然，當ab1時，用cm,n表示x(t)將會產(chǎn)生冗余。這說明hm,n(t)不是正交的基函數(shù)，那么，(2.4.1)式中的cm,n將不唯一。為了討論這一問題， 人們將標架理論引入了 Gabor展開，深入地研究了 hm,n(t)構成標架的條件、邊界 A和B的計算、對偶標架 gm,n(t)的求解，直至導出cm,n的有效計算方法。本書下節(jié)對此作一簡要介紹。2.4.3 Gabor展開的標架理論簡介[127,22]前已指出，若 ab 1，則基函數(shù)hm,n(t)將是不完備的， hm,n(t)構不成一個標架，因此無法由cm,n重建x(t)；若ab 1，hm,n(t)是線性獨立的，其對偶函數(shù) gm,n(t)是唯一的，且和 hm,n(t)是雙正交的。由 Balian－Law[5]定理及實際的例子都說明，盡管 h(t)可以有好的時－頻定位，但對偶函數(shù)gm,n(t)卻未必有好的時－頻定位。這樣， 由(2.4.3)式求出的cm,n將無法反映信號 x(t)在時－頻平面上能量分布的特征。例如，當 h(t)是高斯窗時，其對偶窗 g(t)如圖2.4.3所示，62完全失去的能量集中的性能。由1.8節(jié)的討論可知，若存在兩個常數(shù)A和B，0AB，使22Bx(t)2Ax(t)x(t),gm,n(t)(2.4.12a)mn成立，則稱gm,n(t)構成了一個標架，由(2.4.3)式，上式即為2cm,n22Ax(t)Bx(t)(2.4.12b)mn即Gabor系數(shù)cm,n的能量是有界的，因此對x(t)的展開是穩(wěn)定的。問題是，在什么條件下(2.4.12)才可成立。0.40.3)t(h 0.20.100 5 10 15 20 25 30 350.60.4) 0.2t(g0-0.2-0.40 50 100 150 200 250 300圖2.4.3在ab 1時高斯窗的對偶函數(shù) ,(a)h(t), (b)g(t)因為gm,n是hm,n的對偶函數(shù)， hm,n是否構成一個標架取決于 h(t)的選擇及a和b的取值。令S是一個算子，并定義Sx x,hm,n hm,n (2.4.13)n若hm,n構成一個標架，則S為一標架算子(見1.8節(jié))。定義Zx為x(t)的Zak變換，Zsx為Sx63的Zak變換，由于Zak變換具有內(nèi)積保持性質(見1.10節(jié))，將(2.4.13)式兩邊對x(t)做內(nèi)積，我們有2x,hm,nSx,xZsx,Zx(2.4.14)m n利用(1.9)節(jié)的Poisson求和公式，即ej2mbt1(tm)mbmb我們有Sxej2mbth(tna)x(t)ej2mbth(tna)dtmn1h(tna)x(t)h(tna)t(tm)dtbmnb1x(tm)h(tna)h(tnam)（2.4.15)bmbnb現(xiàn)考慮a、b的積為有理數(shù)的情況，即令abp/q，p,qN，可以證明[128]Zsx(t,1p1q1Zh(tlp/q,)Zh(tlp/q,i/p)Zx(t,li/p))pi0l0(2.4.16)由(2.4.14)及(2.4.16)式，有2111p1q1x,hm,nZh(tlp/q,)Zh(tlp/q,i/p)p0mn0i0l0Zx(t,i/p)Zx(t,)dtd(2.4.17)進一步11/pq1p1221x,hm,ndtdZh(tlp/q,n/p)Zx(t,n/p)(2.4.18)mnp00l0n0令Hln(t,)Zh(tlp/q,n/p)(2.4.19a)64Xn(t,)Zx(t,n/p)(2.4.19b)在(2.4.18)式中，若左邊＝0，必有p1Hln(t,)Xn(t,)0,0lq1(2.4.20)n0該方程組共有q個方程，p個未知數(shù)。若pq，即未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)，所以總有一個非零的Xn(t,)滿足此方程。由于Xn(t,)是x(t)的Zak變換，因此，也就總有一個非零的x(t)滿足2x,hm,n0mn這就是說，在ab 1時，hm,n是不完備的，因此 hm,n構不成一個標架，即找不到大于零的常數(shù)A滿足(2.4.11)式?，F(xiàn)考慮ab 1的情況，令 p 1，q N，由(2.4.17)式，有211q122Zh(tl/q,(2.4.21)x,hm,nZx(t,)dtdmn00l0顯然，當且僅當q12l0Zh(tl/q,)0時，hm,n是完備的。那么，若hm,n構成一個標架，由(2.4.3)式，需存在標架界q120AZh(tl/q,)B(2.4.22)l0對一有限長的光滑窗函數(shù)，(2.4.22)式是容易滿足的。所以，我們說，當ab1時，hm,n可以構成一個標架，因此，(2.4.1)式對x(t)的展開是穩(wěn)定的。我們知道，一組不完備的函數(shù)(或向量)必不構成一個標架。反之，一組完備的函數(shù)(或向量)也不一定構成一個標架。也即，構造標架的一組函數(shù)(或向量)必定是完備的。例如，當ab1時，若h(t)是高斯函數(shù)，則hm,n(t)是完備的，但由于其Zak變換在t1/2，1/265處有一個零點[72]，從而使(2.4.22)式不滿足，所以hm,n(t)不能構成一個標架。前面已指出，ab1時，hm,n的對偶函數(shù)不具備好的時－頻定位性能。因此，當利用Gabor變換時總是取ab1?，F(xiàn)在的問題是如何求出在ab1時，h(t)的對偶函數(shù)g(t)。一般，gm,n(t)和hm,n(t)有著類似的形式，即gm,n(t)g(tna)ej2mbt。此外，由(2.4.13)式關于算子S的定義，顯然，gm,nS1hm,n，或hm,nSgm,n(2.4.23)對該式兩邊取Zak變換，再利用(2.4.16)式，有p1q1Zh(tlp/q)Zh(tlp/q,i/p)Zg(t,i/p)pZh(t,)(2.4.24)i0l0式中abp/q，p,qN。若令p1，上式對i的求和不需進行，于是有Zg(t,)Zh(t,)(2.4.25)q12Zh(tl/q,l0該式給出了利用Zak變換由h(t)求對偶函數(shù)g(t)的方法。觀察該式可以發(fā)現(xiàn)，對于較大的q，(2.4.25)式的分母趨近于一個常數(shù)，這樣Zg(t,)和Zh(t,)很相似。因此，g(t)和h(t)很相似。若h(t)有好的時－頻定位性能，那么