2020版數(shù)學（理）人教A版新設(shè)計大一輪講義第九章第2節(jié)用樣本估計總體及統(tǒng)計圖表

第2節(jié)用樣本估計總體及統(tǒng)計圖表考試要求1.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性；2.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義；3.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；4.了解樣本估計總體的取值規(guī)律；5.能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.知識梳理1.頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.3.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標準差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].4.百分位數(shù)如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計算相應(yīng)的累計百分位，則某一百分位所對應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù).可表示為：一組n個觀測值按數(shù)值大小排列.如，處于p%位置的值稱第p百分位數(shù).[微點提醒]1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.3.中位數(shù)相當于第50百分位數(shù).基礎(chǔ)自測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()解析(1)正確.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)錯誤.方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散.(3)正確.小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率.答案(1)√(2)×(3)√2.(必修3P1002(1)改編)一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A.4B.8C.12D.16解析設(shè)頻數(shù)為n，則eq\f(n,32)＝0.25，∴n＝32×eq\f(1,4)＝8.答案B3.(必修3P70示例改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分分別為87，89，90，91，92，93，94，96，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92解析∵這組數(shù)據(jù)為87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.答案A4.(2018·全國Ⅰ卷)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半解析法一設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a，則由餅圖可得新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯誤的.法二因為0.6<0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的.答案A5.(2019·新余二模)為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖(如圖所示)，其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則下列敘述中錯誤的是()A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)C.傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)解析由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)、性別無關(guān)，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)為60×60%＝36，女性人數(shù)為40×60%＝24，不相同.故選C.答案C6.(2019·上海黃浦區(qū)質(zhì)檢)已知樣本容量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n個小矩形，若中間一個小矩形的面積等于其余(n－1)個小矩形面積和的eq\f(1,3)，則該組的頻數(shù)為________.解析設(shè)除中間一個小矩形外的(n－1)個小矩形面積的和為p，則中間一個小矩形面積為eq\f(1,3)p，p＋eq\f(1,3)p＝1，p＝eq\f(3,4)，則中間一個小矩形的面積等于eq\f(1,3)p＝eq\f(1,4)，200×eq\f(1,4)＝50，即該組的頻數(shù)為50.答案50考點一頻率分布直方圖【例1】(2019·石家莊模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分為100分(90分及以上為認知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；(3)從該市大學生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽，分別代表相應(yīng)組的成績，年齡組中1～5組的成績分別為93，96，97，94，90，職業(yè)組中1～5組的成績分別為93，98，94，95，90.(ⅰ)分別求5個年齡組和5個職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差；(ⅱ)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價5個年齡組和5個職業(yè)組對“一帶一路”的認知程度，并談?wù)勀愕母邢?解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01×5＝0.05，∴eq\f(6,x)＝0.05，∴x＝120.(2)設(shè)中位數(shù)為a，則0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，∴a＝eq\f(95,3)≈32，則中位數(shù)為32.(3)(ⅰ)5個年齡組成績的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,5)×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差為seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5個職業(yè)組成績的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,5)×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差為seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)從平均數(shù)來看兩組的認知程度相同，從方差來看年齡組的認知程度更穩(wěn)定(感想合理即可).規(guī)律方法1.頻率分布直方圖的性質(zhì).(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1；(3)小長方形的高＝eq\f(頻率,組矩)，所有小長方形的高的和為eq\f(1,組距).2.要理解并記準頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系.【訓練1】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表滿意度評分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶和滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.解(1)作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.考點二樣本的數(shù)字特征【例2】(1)(2017·全國Ⅰ卷)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1，x2，…，xn的平均數(shù)B.x1，x2，…，xn的標準差C.x1，x2，…，xn的最大值D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)(2)(2019·聊城模擬)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，s2<2B.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，s2>2C.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2<2D.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2>2解析(1)刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標是標準差.(2)∵某7個數(shù)的平均數(shù)為4，∴這7個數(shù)的和為4×7＝28，∵加入一個新數(shù)據(jù)4，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(28＋4,8)＝4.又∵這7個數(shù)的方差為2，且加入一個新數(shù)據(jù)4，∴這8個數(shù)的方差s2＝eq\f(7×2＋（4－4）2,8)＝eq\f(7,4)<2，故選A.答案(1)B(2)A規(guī)律方法1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.2.用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.【訓練2】抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________.解析eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(87＋91＋90＋89＋93)＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(89＋90＋91＋88＋92)＝90，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.答案2[思維升華]1.用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想.用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用.2.(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量，與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，這是中位數(shù)、眾數(shù)所不具有的性質(zhì).(2)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大.3.頻率分布表和頻率分布直方圖都可直觀描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.[易錯防范]直方圖與條形圖不要搞混頻率分布直方圖的縱坐標為頻率/組距，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤.數(shù)據(jù)分析——百分位數(shù)的統(tǒng)計含義1.數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進行推斷，獲得結(jié)論.2.數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)＋”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科學、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會生活的各個方面.3.數(shù)據(jù)分析主要表現(xiàn)為：收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，獲得和解釋結(jié)論，概括和形成知識.4.百分位數(shù)是統(tǒng)計學述語，百分位數(shù)用于描述一組數(shù)據(jù)某一百分位置的水平，多個百分位數(shù)結(jié)合應(yīng)用，可全面描述一組觀察值的分布特征；百分位數(shù)還可用于確定非正態(tài)分布資料的醫(yī)學參考值范圍.但應(yīng)用百分位數(shù)時，樣本含量要足夠大，否則不宜取太靠近兩端的百分位數(shù).【案例】階梯電價的設(shè)計(此材料見2017版課程標準P130)[情境]為了實現(xiàn)綠色發(fā)展，避免浪費能源，某市政府計劃對居民用電采用階梯收費的方法.為此，相關(guān)部門在該市隨機調(diào)查了200戶居民六月份的用電量(單位：kW·h)，以了解這個城市家庭用電量的情況.數(shù)據(jù)如下：10710178992081277422331131214135896660115189135146127203979662651115615110681629167932121596163178194194216101981397811019210596225013825112011210020198841372032601341566170100721641741319310016380769515218288247191701304911411016320226518941461491471773395710910718210114827428982213165224142611081379025420183253113130821701101086325023712084154288170123172319621331301271077196140771061321061351321678225854251107699872481091342504232011318014411653020017413516046213913330419128312113211813412417820662612027414180187883241364981697757根據(jù)以上數(shù)據(jù)，應(yīng)當如何確定階梯電價中的電量臨界值，才能使得電價更為合理？[分析]選取六月份調(diào)查，是因為這個城市六月份的部分時間需要使用空調(diào)，因此六月份的用電量在一年12個月中處于中等偏上水平.如果階梯電價臨界值的確定依賴于居民月用電量的分布，例如計劃實施3階的階梯電價，有人給出一個分布如下：75%用戶在第一檔(最低一檔)，20%用戶在第二檔，5%用戶在第三檔(最高一檔).這樣，需要通過樣本數(shù)據(jù)估計第一檔與第二檔、第二檔與第三檔的兩個電量臨界值，即75%和95%這兩個電量臨界值.通過樣本估計總體百分位數(shù)的要領(lǐng)是對樣本數(shù)據(jù)進行排序，得到有序樣本(在統(tǒng)計學中稱之為順序統(tǒng)計量).利用電子表格軟件，對上面的樣本數(shù)據(jù)進行排序，可以得到下面的結(jié)果：81822314248495051565757606161616262636365666769707071727274767777787880808282828384848888899091939394959696969798989899100100100101101101105106106106107107107107108108109109110110110111112113113114115116118120120120121123124127127127130130130131131132132132133133134134134135135135135136137137138139139140141142144416146147148149151152154156159160162163163164165167169170170172174174177178178180182182187189191191192194194200201201202203203206208212213214216223224237247250250251253254258260265274274283288289304319320324339462498530542626樣本數(shù)據(jù)總共有200個，最小值是8，最大值是626，說明200戶居民六月份的最小用電量為8kW·h，最大用電量為626kW·h，極差為618.初中統(tǒng)計內(nèi)容中學過的中位數(shù)，相當于50%分位數(shù).因為數(shù)據(jù)量是200，那么這組數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)就是有序樣本第100個數(shù)130和101個數(shù)130的平均數(shù)，即130，說明這個城市六月份居民用電量的中間水平大約在130kW·h左右.下面確定75%和95%這兩個電量臨界值.類似中位數(shù)的計算，因為200×75%＝150，所以第一個臨界值為有序樣本中第150個數(shù)178和第151個數(shù)178的平均數(shù)，仍然是178.因為200×95%＝190，所以第二個臨界值為有序樣本中第190個數(shù)289和第191個數(shù)304的平均數(shù)，這個平均數(shù)為296.5(因為是對百分位數(shù)的估計，估計值可以是289和304之間任何一個數(shù)，為了便于操作可以取值為297).依據(jù)確定了的電量臨界值，階梯電價可以規(guī)定如下：用戶每月用電量不超過178kW·h(或每年用電量不超過2136kW·h)，按第一檔電價標準繳費；每月用電量(單位：kW·h)在區(qū)間(178，297]內(nèi)(或每年用電量在區(qū)間(2136，3564]內(nèi))，其中的178kW·h按第一檔電價標準繳費，超過178kW·h的部分按第二檔電價標準繳費；每月用量超過297kW·h(或每年用電量超過3564kW·h)，其中的178kW·h按第一檔電價標準繳費，(297－178)＝119kW·h按第二檔電價標準繳費，超過297kW·h的部分按第三檔電價標準繳費.社會上對這種制定階梯電價的原則和方法存在不同意見，可以討論制定合理階梯電價的原則和方法.評析分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的量度，但它所衡量的，不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)各數(shù)據(jù)項如何在最小值與最大值之間分布的信息.對于無大量重復的數(shù)據(jù)，第p百分位數(shù)將它分為兩個部分.大約有p%的數(shù)據(jù)項的值比第p百分位數(shù)??；而大約有(100－p)%的數(shù)據(jù)項的值比第p百分位數(shù)大.對第p百分位數(shù)，嚴格的定義如下：第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得至少有p%的數(shù)據(jù)項小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)項大于或等于這個值.【案例應(yīng)用1】對于考試成績的統(tǒng)計，如果您的成績處在95的百分位數(shù)上，則意味著95%的參加考試者得到了和您一樣的考分或還要低的考分，而不是您答對了95%的試題.也許您只答對了20%，即使如此，您取得的成績也與95%的參加考試者一樣好，或者比95%的參加考試者更好.【案例應(yīng)用2】假設(shè)想為退休存夠錢.可創(chuàng)建一個包括所有不確定變量的模型，如投資年回報率、通貨膨脹、退休時的開支等，得到概率分布的結(jié)果如下圖所示，如果選擇平均值，錢不夠的概率就會有50%.所以選第90百分位數(shù)所對應(yīng)的投資數(shù)，這樣錢不夠的概率將只有10%.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是()A.45B.50C.55D.60解析由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴該班學生人數(shù)n＝eq\f(15,0.3)＝50.答案B2.甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目的選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由題表中數(shù)據(jù)可知，丙的平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明技術(shù)穩(wěn)定，且成績好.答案C3.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析由圖可得，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(3×5＋6＋9,5)＝6，A項錯誤；甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5，B項錯誤；seq\o\al(2,甲)＝eq\f(（4－6）2＋（5－6）2＋（6－6）2＋（7－6）2＋（8－6）2,5)＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(3×（5－6）2＋（6－6）2＋（9－6）2,5)＝2.4，C項正確；甲的成績的極差為4，乙的成績的極差也為4，D項錯誤.答案C4.(2019·茂名聯(lián)考)甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是()A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.都不相同解析由題中數(shù)據(jù)的分布，可知極差不同，甲的中位數(shù)為eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位數(shù)為eq\f(14＋18,2)＝16，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均數(shù)相同.故選B.答案B二、填空題5.某校女子籃球隊7名運動員身高(單位：cm)的數(shù)據(jù)分別為：171，172，17x，174，175，180，181，已知記錄的平均身高為175cm，但記錄中有一名運動員身高的末位數(shù)字不清晰，如果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為________.解析170＋eq\f(1,7)×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，eq\f(1,7)×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.答案26.對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25，30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為________.解析設(shè)[25，30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.則志愿者年齡在[25，35)年齡組的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)年齡組的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案(1)0.04(2)4407.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)為________.解析由x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，得2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)為2eq\o(x,\s\up6(－))＋1＝2×5＋1＝11.答案11三、解答題8.某校2019屆高三文(1)班在一次數(shù)學測驗中，全班N名學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下，已知分數(shù)在110～120的學生有14人.(1)求總?cè)藬?shù)N和分數(shù)在120～125的人數(shù)n；(2)利用頻率分布直方圖，估算該班學生數(shù)學成績的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少？解(1)分數(shù)在110～120內(nèi)的學生的頻率為p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以該班總?cè)藬?shù)N＝eq\f(14,0.35)＝40.分數(shù)在120～125內(nèi)的學生的頻率為p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，分數(shù)在120～125內(nèi)的人數(shù)n＝40×0.10＝4.(2)由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)是最高的小矩形底邊中點的橫坐標，即為eq\f(105＋110,2)＝107.5.設(shè)中位數(shù)為a，∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，∴a＝110.∴眾數(shù)和中位數(shù)分別是107.5，110.9.(2017·北京卷)某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5.所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2.能力提升題組(建議用時：20分鐘)10.(2019·湖北部分重點中學模擬)某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出售.該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設(shè)x(個)為每天商品的銷量，y(元)為該商場每天銷售這種商品的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率