2018年高考數(shù)學(xué)模擬試卷【壓軸題】百例匯集及精解卷

2018年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

【壓軸題】匯集

設(shè)函數(shù)十)d二

1.，g(x)=/(x)—"，xe[l,3],其中aeR,記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的

差為h(a)。

(D求函數(shù)/?(。)的解析式；(ID畫出函數(shù))，=人("的圖象并指出人(力的最小值。

y-

3--

2.已知函數(shù)/(x)=x—ln(l+x),數(shù)列｛%｝滿足0<4<1,

2-

1-

生用=/(4)；數(shù)列也,｝滿足々=；，與+1之；("+1地"，"eN".求證:

°1234

（I）0<an+l<an<l;（II）（III）若q=等,則當(dāng)n>2時(shí)，2>%?〃!.

3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：

2

(1)/(x,+A\)+f(xt-x,)=2+4?sinx2(xt,x2eR,a為常數(shù))；

(2)/(())=/6)=1；(3)當(dāng)xe[(),?]時(shí)，|f(x)|W2.

求：(I)函數(shù)/(x)的解析式；(H)常數(shù)a的取值范圍.

4.設(shè)4國(guó),必),8(々,力)是橢圓當(dāng)_>">°)上的兩點(diǎn)，

xb-

滿足(?,")?冷，&0=0,橢圓的離心率0=立，短軸長(zhǎng)為2,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

baba2

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0,c),(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值;

(3)試問(wèn)：AAOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5,已知數(shù)列｛4｝中各項(xiàng)為:12、1122、111222、……、11……122……2

個(gè)個(gè)nn

(I)證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積.(2)求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和S?.

X2y~

6、設(shè)的、6分別是橢圓二+'=1的左、右焦點(diǎn).

(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求麗?麗的最大值和最小值；

(II)是否存在過(guò)點(diǎn)A(5,0)的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得|F2c|=|F2D|?若存在，求直線/的

方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(l,0),且與定直線L:x=-1相切，點(diǎn)C在/上.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P,且斜率為-6的直線與曲線VI相交于A,B兩點(diǎn)

(i)問(wèn)：AABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由

(ii)當(dāng)AABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

8、定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)K0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>l,且對(duì)任意的a、beR,有f(a+b)=f(a)f(b),

(1)求證：f(0)=l；(2)求證：對(duì)任意的xeR,恒有f(x)>0；

(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)?f(2x-x2)>l,求x的取值范圍。

9、已知二次函數(shù)/(x)=x2+2hx+c(h,ce/?)滿足/(I)=0,且關(guān)于x的方程f(x)+x+h=O的兩實(shí)數(shù)根分別

在區(qū)間(-3,-2),(0,1)內(nèi)。(1)求實(shí)數(shù)方的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)=log"/")在區(qū)間(-1-c,1-c)上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)C的取值范圍

10、己知函數(shù)/(x)在(-1,1)上有意義,/(g)=7,且任意的x、都有

+=(1)若數(shù)列｛%｝滿足=:，加=盧彳("￡”"),求/1(招).

l+xy21+x,,

⑵求1+足)+/(1)???+~；)+/(工)的值.

511n+3T?4-1n+2

11.在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-l),B(0,1)平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足①GA+G3+GC=0,

②|M4|=\MB\=|MC|③GM〃AB

(1)求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程

(2)設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,0)，已知P尸〃FQ,RF〃FN旦PF?RF

=0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

12.已知a為銳角，且tana=72-1,函數(shù)f(x)=x2tan2a+x-sin(2a+—),數(shù)列｛a?)的首項(xiàng)

4

a

%=；，n+\=(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵求證：Q〃+I>an；

⑶求證：-+T~~+---+-r~—<2(〃22，〃eN")

1+a11+a21+an

13.(本小題滿分14分)已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a?+1=2q+1(〃eN*)

(I)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列也｝滿足44T4叱'4干…4獷=0+1聲，證明：｛%｝是等差數(shù)列；

(111)證明：—+—++—

%?3??+i3

2

14.已知函數(shù)g(x)=+^x2+儀4w0),

(I)當(dāng)〃=1時(shí)，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)C的取值范圍；

(II)當(dāng)42；時(shí)，(1)求證：對(duì)任意的xe[0,l],8'0”1的充要條件是。(：；

(2)若關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程g/(x)=o有兩個(gè)實(shí)根見力，求證：向41,且網(wǎng)41的充要條件是-(wcw/-。

15.已知數(shù)列｛aJ前n項(xiàng)的和為S“，前n項(xiàng)的積為北，且滿足

①求q；②求證：數(shù)列｛aJ是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a,使得3用—)=⑸甚-a)(S“一。)對(duì)〃wN*都

成立？若存在，求出a,若不存在，說(shuō)明理由。

16、已知函數(shù)y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，其圖像均在x軸的上方，對(duì)任意的m、?e[0,4w),都有

/(/?n)=[/(/n)T，且/(2)=4,又當(dāng)xNO時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)/(x)>0恒成立。

r-]2

+2

(I)求/(0)、/(一1)的值；(II)解關(guān)于X的不等式：/(7)22,其中％e(-1,1).

.2VX2+4,

17、一個(gè)函數(shù)/(x),如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a,b,c都在的定義域內(nèi)，就有

也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱/(x)為“保三角形函數(shù)

⑴判斷力(x)=4,f2(x)=x,后(x)=f中,哪些是“保三角形函數(shù)“，哪些不是，并說(shuō)明理由；

(H)如果g(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且值域?yàn)?0,+8),證明g(x)不是“保三角形函數(shù)”；

(III)若函數(shù)尸(x)=sinx,xe(O,A)是“保三角形函數(shù)”，求A的最大值.

(可以利用公式sinx+siny=2sincosX)

18、已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S〃滿足：Sn=-^—(an-1)(a為常數(shù)，且。工0,。工1).

。一1

(I)求｛4｝的通項(xiàng)公式；(H)設(shè)2=—+1,若數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，求a的值；

(III)在滿足條件(II)的情形下，設(shè)￡,=」一+—'—,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為T“.

1+%l-4+i

求證：T?>2n~.

19、數(shù)列｛〃〃｝中，4=2,=an+cn(c?是常數(shù)，〃=1,2,3,),且&%必成公比不為1的等比數(shù)列。⑴

求c,的值；(II)求｛凡｝的通項(xiàng)公式。

(III)由數(shù)列｛4｝中的第1、3、9、27.....項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛b“｝,求」吧/的值。

20、己知圓M:(x+石產(chǎn)+產(chǎn)=36,定點(diǎn)N(近,0),點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿

足廊=2而，詼?麗=0.（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)（2,0）作直線/,與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)麗=而+礪是否存在這樣的

直線/,使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）?若存在，求出直線/的方程；若不存在，試說(shuō)

明理由.

21.飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中

心（記為A,B,C）,B在A的正東方向，相距6km,C在B的北偏東30°,相距4km,P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻

A接到P的求救信號(hào)，由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知

該信號(hào)的傳播速度為lkm/s.

（1）求A、C兩個(gè)救援中心的距離；（2）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

（3）若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出，則A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小，并證明你的結(jié)論.

22.已知函數(shù)y=|x|+l,y=-Jx2-2x+2+t,y=-(x+^—(x>0)的最小值恰好是方程d+3?+bx+c=0

2x

的三個(gè)根，其中0</vl.（I）求證：a2=2h+3；C

（11）設(shè)（々,乂）是函數(shù)/。）=%3+0￥：!+法+。的兩個(gè)極值點(diǎn).

2

①若|芭-馬1=彳，求函數(shù)/（X）的解析式；②求I/-NI的取值范圍.

23.如圖，已知直線/與拋物線x2=4y相切于點(diǎn)p（2,D，且與X軸交于點(diǎn)4,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（2,0）.（I）若動(dòng)點(diǎn)M滿足Q.麗+0|刀口|=0,求點(diǎn)M的軌跡C；

（II）若過(guò)點(diǎn)B的直線，（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試

求AOBE與AOBF面積之比的取值范圍.

24.設(shè)g(x)=px-幺-2/(x),其中/(x)=lnx,且g(e)=ge-K-2.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

xe

(I)求P與q的關(guān)系；(ID若g(X)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求P的取值范圍;

(HI)證明：①/(1+X)4X(X>-1);

ln2In3Inn2n2-n-1

d---1---<(〃￡N,〃22).

n~4(n+1)

25.已知數(shù)列｛3｝的前〃項(xiàng)和S”滿足：S"=，一(",,-1)(a為常數(shù)，且axO,arl).

a-\

(I)求｛4｝的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)仇=2+1,若數(shù)列｛〃,｝為等比數(shù)列，求a的值；

%

(III)在滿足條件(II)的情形下，設(shè)&=」-+」一，數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：7；,>2/7-1.

1+??3

26、對(duì)于函數(shù)/。)，若存在不wR,使/(%)=%成立，則稱為為/(x)的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)

/(尤)=上±仍4€"*)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0、2,且/(-2)<一-.

bx-c2

(I)試求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)己知各項(xiàng)不為零的數(shù)列｛%｝滿足4S,,/(工)=1,求證：--L<ln四<一1■；

%%〃%

(川)設(shè)仇=-U方為數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)和，求證：4008T<In2008<7益7.

/(分/()，)+1

27、已知函數(shù)/Xx)的定義域?yàn)椋鹸|x,版，kwZ｝,且對(duì)于定義域內(nèi)的任何x、y,有/(x-y),成立,

且/(a)=1(a為正常數(shù))，當(dāng)0<x<2a時(shí)，/(x)>0.⑴判好(x)奇偶性；(H)證明/(x)為周期函數(shù)；(III)

求/(%)在［2a,3a］上的最小值和最大值.

28、已知點(diǎn)R(—3,0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ±，且滿足2PM+3MQ=0,

RPPM=0.(I)⑴當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(II)設(shè)A(片,％)、8(巧,％)為軌跡C上兩點(diǎn)，且占>1,y>0,N(1,0),求實(shí)數(shù)2,使=且|A8|若

29、已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率為逅，兩條準(zhǔn)線間的距離為6.橢圓W的左焦點(diǎn)為F,

3

過(guò)左準(zhǔn)線與x釉的交點(diǎn)M任作一條斜率不為零的直線/與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)A、8,點(diǎn)4關(guān)于x軸的對(duì)稱

點(diǎn)為C.

(I)求橢圓W的方程；(11)求證：CF=/LEB(/leR)；(III)求AMBC面積S的最大值.

30、已知拋物線C:y=af,點(diǎn)尸(1,—1)在拋物線C上，過(guò)點(diǎn)P作斜率為鬲、k的兩條直線，分別交拋物線

C于異于點(diǎn)尸的兩點(diǎn)A(X),yi),B(x2,y2)，且滿足h+&2=。.

(I)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(II)若點(diǎn)M滿足前=而，求點(diǎn)M的軌跡方程.

31.設(shè)函數(shù)/(x)=g?3+加其圖象在點(diǎn)4("⑴)，8(肛/(〃。)處的切線的斜率分別為0,-a.(I)

求證：；若函數(shù)的遞增區(qū)間為小求的取值范

OW^<1(H)/(x)[s,|s-f|圍；(IH)

a

若當(dāng)X2火時(shí)(A是與無(wú)關(guān)的常數(shù))，恒有/T(x)+”<0,試求％的最8小值.

32.如圖，轉(zhuǎn)盤游戲.轉(zhuǎn)盤被分成8個(gè)均勻的扇形區(qū)域.游戲規(guī)則：用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤

停止時(shí)箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是游戲所得的點(diǎn)數(shù)(轉(zhuǎn)盤停留的位置是隨機(jī)的).假設(shè)箭頭指到區(qū)域分界線的概

率為0」，同時(shí)規(guī)定所得點(diǎn)數(shù)為0.某同學(xué)進(jìn)行了一次游戲，記所得點(diǎn)數(shù)為求J的分布列及數(shù)學(xué)期望.(數(shù)學(xué)

期望結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

x2v2

33.設(shè)鳥分別是橢圓C：J+J=1(〃?>0)的左，右焦點(diǎn).

(1)當(dāng)PGC,且Pf；/2=0，|P/"“P6I=8時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)月、F2.

(2)F「工是(1)中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，己知工的半徑是1,過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q的作用切線QM,使得

\QFt\=y[2\QM\(M是切點(diǎn))，如下圖.求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

34.已知數(shù)列{〃“}滿足q=5,4=5,an+}=an+6alt_}(H>2).

(1)求證：｛4+]+2q｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)3"號(hào)=九(3〃一4),且例+陶++同＜相對(duì)于恒成立，求利的取值范

35.已知集合0=｛(玉，X2)|西＞°，々＞°，百+工2=4｝(其中女為正常數(shù)).

(1)設(shè)〃=由/，求〃的取值范圍；

11b0

(2)求證：當(dāng)人之1時(shí)不等式(---X])(----x2)＜(----)2對(duì)任意(王,電)W。恒成立；

百蒼2k

⑶求使不等式(工一匹)」一七)2(人二)2對(duì)任意(西,X2)€￡＞恒成立的產(chǎn)的范圍.

%(x22k

22f7

36、已知橢圓C笄+三=1(a＞b＞0)的離心率為過(guò)右焦點(diǎn)尸且斜率為1的直線交橢圓。于A,B兩

a2b23

點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。(1)求直線ON為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率K°N;

(2)對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M,試證：總存在角6(OeR)使等式：加=或5。公+$譏0而成立。

37、已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線/:y=—2的距離小1。

(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直為n與曲線C咬于A8兩點(diǎn)設(shè)赤=/1而

①當(dāng)2=1時(shí)，求直線加的方程；②當(dāng)AAOB的面積為4近時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求義的值。

38、已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，對(duì)一切正整數(shù)鹿，點(diǎn)E,(〃,S,)都在函數(shù)/(x)=x2+2x的圖像上，且過(guò)點(diǎn)

乙(”,S〃)的切線的斜率為3.

(1)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式.(2)若2=2*"%,求數(shù)列仍“｝的前〃項(xiàng)和7；.

(3)設(shè)。=｛耳%=eN*｝,R=｛x|x=2an,neN*｝,等差數(shù)列｛c“｝的任■—項(xiàng)c“eQcR,其中。是QcR

中的最小數(shù)，110<c10<115,求｛g｝的通項(xiàng)公式.

3

39、己知S”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，4=5,%=2,且S,,+1—3S“+2S,i+l=0,其中〃22,〃eN.(1)求數(shù)

S-fi

列｛%｝的通項(xiàng)公式4；(2)計(jì)算!四口一的值.(文)求S”.

40、函數(shù)/(x)對(duì)任意x￡R都有f(x)+f(l—x)=:(1)求和+―b(〃￡N)的值；

乙2nn

(2)數(shù)列｛⑸｝滿足/=/(0)+/d)+/(-)+-??+，(上1)+/⑴,求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式。

nnn

416

(3)令b.=-----,Tn=>+狀+片+…+片=32--2試比較Tn與S"的大小。

4an-1n

41.已知數(shù)列｛□〃｝的首項(xiàng)4=2。+1(a是常數(shù)，且。工一1),a”=2々“_]+1-4〃+2(n>2),數(shù)列｛0“｝的

2

首項(xiàng)4=a,bn=an+n(n>2)。

(1)證明：%“｝從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；

⑵設(shè)S.為數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和，且｛S“｝是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列｛。“｝的最小項(xiàng)。

42.已知拋物線C：V=2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。

(1)求拋物線C的方程；

(2)若過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|,求直線MN的方程；

(3)求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)

問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題.

例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,求該正四棱錐

的體積”.求出體積心后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,體積為3,求側(cè)棱長(zhǎng)”；

33

也可以是“若正四棱錐的體積為3,求所有側(cè)面面積之和的最小值”.

3

現(xiàn)有正確命題：過(guò)點(diǎn)A(-■!，())的直線交拋物線C：y2=2p*p>0)于p、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)

為R,則直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)F。

試給出上述命題的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題。

43.已知函數(shù)f(x)=^^-,設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a,,}滿足％=1,4用=/(%).

(I)寫出4，色的值；(H)試比較％與:的大小，并說(shuō)明理由；

5n?

(III)設(shè)數(shù)列{2}滿足2=——為，記Sn=?.證明：當(dāng)n22時(shí),SnV—(2」1).

4/=14

44.已知函數(shù)f(x)=x，-3ax(aWR).⑴當(dāng)a=l時(shí),求f(x)的極小值；

(II)若直線菇x+y+m=0對(duì)任意的mER都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍；

(IID設(shè)g(x)=|f(x)|,XG[-1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.

45.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{An},{Bn},{C3其中4(〃4),紇5也)

G(〃—1,0),滿足向量47二與向量瓦G共線，且點(diǎn)(B,n)在方向向量為(L6)的

線上ax=a.h}=-a.(1)試用a與n表示an(n>2)；

(2)若國(guó)與國(guó)兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是國(guó),的最小值，試求3的取值范圍。

46.已知月(-2,0),工(2,0),點(diǎn)尸滿足|巴"-|夕尼|=2，記點(diǎn)〃的軌跡為￡⑴求軌跡片的方程；

(2)若直線，過(guò)點(diǎn)￡且與軌跡月交于〃、0兩點(diǎn).(i)無(wú)論直線/繞點(diǎn)￡怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在才軸上總存在定點(diǎn)"(網(wǎng)0),

使MP_LMQ恒成立，求實(shí)數(shù)加的值.

(ii)過(guò)凡0作直線x=」的垂線處、0B,垂足分別為爾B,記久=也出空1,求人的取值范圍.

2\AB\

47.設(shè)汨、電區(qū)工々)是函數(shù)八x)=4。+人幺-。、(4>0)的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)若2=-1,工2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若|不|+|/1=2也,求^的最大值;

(3)若X]<工<12,且々=〃，函數(shù)W(X)=/'(X)-。(X-X])，求證：|g(x)區(qū)54(34+2)2.

48.已知f(x)=logax(0<a<｝，若數(shù)列｛&｝

使得2J(q)J(生))，……，/(4)2〃+4(〃GN*)成等差數(shù)列.

(1)求｛國(guó)｝的通項(xiàng)4；

n42n+4

(2)設(shè)a=〃“./(%),若圓｝的前n項(xiàng)和是Sn,且*yVl,求證：S〃+2<3.

\-a"l-a

22

xv

49.點(diǎn)P在以片，居為焦點(diǎn)的雙曲線石：f—J=1(〃>0/>0)上，已知P6d.p居，\PF.\=2\PF.I，0為

ab~

坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求雙曲線的離心率e；

—*1,27.，一

(H)過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于々，舄兩點(diǎn)，且0P「0P2=-7，2P[+P6=0,求雙曲線E

的方程；

(III)若過(guò)點(diǎn)。(6,0)(根為非零常數(shù))的直線/與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且

MQ=AQN(義為非零常數(shù))，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使而_L(曲-幾說(shuō))？若存在，求出所有這種

定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

50.已知函數(shù)/(工)=以？+3/-6ax-\L.g(x)=3x2+6x+12,和直線機(jī)：y=kx+9,又/(一1)=0.(I)

求。的值；

(II)是否存在k的值，使直線加既是曲線y=/(x)的切線，又是y=g(x)的切線；如果存在，求出女的值；如

果不存在，說(shuō)明理由.

(III)如果對(duì)于所有了之一2的x,都有了(x)+9Wg(x)成立，求k的取值范圍.

51.已知二次函數(shù)/(x)=+〃x+c,(a,Z?,C￡/?)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)必都有且當(dāng)xw(L3)時(shí)，

有/(x)?7(x+2)2成立。(1)證明：/(2)=2o

8

(2)若/(—2)=0"。)的表達(dá)式。

(3)設(shè)g(x)=/(x)-￡xxe[0,+oo),若g(x)圖上的點(diǎn)都位于直線y的上方，求實(shí)數(shù)in的取值范圍。

52.(1)數(shù)列｛4｝和瓜｝滿足％=,(4+/+…+勿)(n=l,2,3-)，求證｛b.｝為等差數(shù)列的充要條件是｛4｝

為等差數(shù)列。(8分)

(2)數(shù)列｛a｝和&｝滿足%=4+2?“M(〃GN*),探究｛4｝為等差數(shù)列的充分必要條件，需說(shuō)明理由。［提

示：設(shè)數(shù)列｛b?｝為勿=an-a,—"=1,2,3???)

53.某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1

分，輸一局得0分；比賽共進(jìn)行五局，積分有超過(guò)5分者比賽結(jié)束，否則繼續(xù)進(jìn)行.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局甲贏的

概率為,，乙贏的概率為,，且每局比賽輸贏互不受影響.若甲第n局贏、平、輸?shù)牡梅址謩e記為凡=2、4=1、

23

an=0"eN*,l4〃W5,令S“=q+a24---\-an.

(I)求S3=5的概率；(H)若隨機(jī)變量4滿足邑=7(4表示局?jǐn)?shù))，求J的分布列和期望.

54.如圖，已知直線/與拋物線/=4y相切于點(diǎn)P(2,1),且與x軸產(chǎn)交于點(diǎn)A,定點(diǎn)B

的坐標(biāo)為⑵0).(I)若動(dòng)點(diǎn)M滿足而.麗+行|萬(wàn)耳=0,求點(diǎn)\/M的軌跡C；(II)

若過(guò)點(diǎn)B的直線/'(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的NXB―*工兩點(diǎn)E、F(E在B、

F之間)，試求A0BE與A0BF面積之比的取值范圍./T

線的雙曲線與直線A8交于M4,—1).

(1)設(shè)雙曲線的離心率e,試將e表示為橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的函數(shù).

(2)當(dāng)橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)時(shí)，求橢圓的方程.

(3)求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.

4+」■，數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S”點(diǎn)P”(a,——)在

56已知：/(工)=一,n

y=/(x)±(neN*)，且q=\,an>0.1/

(1)求數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列｛b,,｝的前〃項(xiàng)和為7；,且滿足

21■=2+1&?一8〃—3,設(shè)定"的值，使得數(shù)列｛?。堑炔顢?shù)列；(3)求證：5?>-74?+1-1,MeTV,

57、己知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，并且滿足ai=2,na“+i=S“+n(n+1).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式(2)設(shè)7；為數(shù)列｛箓｝的前〃項(xiàng)和，求卻

58、已知向量利=(',-!-)(。>0),將函數(shù)/3)=工以2一。的圖象按向量01平移后得到函數(shù)81)的圖象。

a2a2

(I)求函數(shù)g(x)的表達(dá)式；(II)若函數(shù)g(x)在［亞,2］上的最小值為/z(a),求〃(a)的最大值。

TT

5%已知斜三棱柱A3C—AAG的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱3耳與底面A8C所成角為

且側(cè)面484Al1,底面ABC.

(1)證明：點(diǎn)與在平面ABC上的射影。為A8的中點(diǎn)；

(2)求二面角C一4々一8的大??；(3)求點(diǎn)G到平面C4A的距離.

60、如圖，已知四棱錐S-43CD中，&SAD是邊長(zhǎng)為。的正三角形，平面&1￡>_L平面4309,四邊形438為菱形,

ZDAB=60,P為月。的中點(diǎn)，Q為S8的中點(diǎn).

(I)求證：P?！ㄆ矫鍿CD;(II)求二面角B-PC-Q的大小.

61.設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列｛a｝的集合：

①明;J5；②勺WM.其中〃eN*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

(1)若｛&｝是等差數(shù)列，S.是其前n項(xiàng)的和，a-=4,S3=18,證明：｛SjGW

(2)設(shè)數(shù)列的｝的通項(xiàng)為d=5〃-2",且｛2｝eW,求M的取值范圍；

(3)設(shè)數(shù)列匕｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且｛c,JeW.證明：c?<c,I+l

62.數(shù)列｛《,｝和數(shù)列也｝(neNJ由下列條件確定：⑴a,<0,a>0；

(2)當(dāng)《22時(shí)，％與%滿足如下條件：當(dāng)生也后0時(shí),4=%T，(=%%.;當(dāng)<0時(shí),

解答下列問(wèn)題：(I)證明數(shù)歹ij｛&-4｝是等比數(shù)列；

n

(II)記數(shù)列｛〃(￡-%)｝的前”項(xiàng)和為5“，若已知當(dāng)。>1時(shí)，lim—=0,求則S..

(Ill)”522)是滿足印>a>>〃的最大整數(shù)時(shí)，用q,々表示”滿足的條件.

63.已知函數(shù)/(x)=lnx+'+ar,xe(0,+8)(a為實(shí)常數(shù)).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)若/(x)在［2,+8)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿足證明：x,Wl(ndN*).

Xn+l

64.設(shè)函數(shù)/(》)=｛+浸+云。>0)的圖象與直線丫=4相切于知(1,4).

(I)求/(x)=d+辦2+區(qū)在區(qū)間(0,4］上的最大值與最小值；

(II)是否存在兩個(gè)不等正數(shù)s,f(s<r),當(dāng)xw［s,r］時(shí)，函數(shù)/。)=/+妙2+法的值域也是以小若存在，

求出所有這樣的正數(shù)s,f；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(HI)設(shè)存在兩個(gè)不等正數(shù)sj(s<f),當(dāng)xe［s,H時(shí)，函數(shù)/(x)=V+加+所的值域是出也］,求正數(shù)女的

取值范圍.

65.己知數(shù)列｛q｝中，^=1,na?+1=2(^+?2+...+a?)(ne2V*).

(1)求%,。3，。4；(2)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)4,；

11,

(3)設(shè)數(shù)列｛〃｝滿足a=5也,+|=—b；+bn,求證：bn<l(n<k)

66、設(shè)函數(shù)/(x)=(l+x)2—21n(l+x).(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若當(dāng)xe時(shí)，(其中e=2.718…)不等式/(x)<〃z恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑶試討論關(guān)于X的方程：/(x)=/+x+a在區(qū)間［0,2］上的根的個(gè)數(shù).

67、已知/(x)=x2+or+a(a42,xeR),g(x)=e-r,①(x)=/(x)-g(x).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求①(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求g(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x=l及曲線g(x)所圍成的封閉圖形的面積；

(3)是否存在實(shí)數(shù)〃，使e(x)的極大值為3?若存在，求出〃的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

68、已知橢圓C］:餐+5=1(。>匕>0)的離心率為二自，直線/：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓Ci的短半軸長(zhǎng)

ab'3

為半徑的圓O相切。(1)求橢圓C1的方程；

(2)設(shè)橢圓Ci的左焦點(diǎn)為H，右焦點(diǎn)為F2,直線人過(guò)點(diǎn)B，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線為垂直于垂

足為點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交"于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；

(3)設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q,不同的兩點(diǎn)R、S在C2上，且滿足蘇?麗=0,

求1萬(wàn)1的取值范圍。

69、己知R,色是橢圓C:「+與=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(-0,1)在橢圓上，線段PR與y釉的交點(diǎn)M

ab"

滿足PM+gM=0。(1)求橢圓C的方程。(2)橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)M(x0,>'0)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為MKxi,y,),

求3x-4yi的取值范圍。

70、已知均在橢圓M:+y2=l(a>1)上,直線48、AC分別過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)尸1、%,當(dāng)

..‘‘2

AC?耳耳=0時(shí)，W9AF,=AF,.

(I)求橢圓用的方程；(II)設(shè)尸是橢圓M上的任一點(diǎn)，以7為圓N:/+(y—2)2=l的任一條直徑，求

PE?尸產(chǎn)的最大值.

71.如圖，A(〃z,百利)和力)兩點(diǎn)分別在射線OS、0T上移動(dòng)，且

OAOB=-^,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=OA+OB.

(I)求加?〃的值；

(H)求P點(diǎn)的軌跡C的方程，并說(shuō)明它表示怎樣的曲線？

(III)若直線/過(guò)點(diǎn)E(2,0)交(II)中曲線C于M、N兩

點(diǎn)、，且ME=3EN,求/的方程.

72.已知函數(shù)/(x)=+alnx,g(x)=(a+l)x(aH-1),H(x)=/(x)-g(x)。

(1)若函數(shù)/(x)、g(x)在區(qū)間fl,2]上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)a、。是函數(shù)4(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，a<p>e](e=2.71828)。求證：對(duì)任意的樸x2e[a,J3],不

等式|”(王)-〃(電)1<1成立

73.設(shè)/(X)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)一I4x<。時(shí)，/(x)=2x3+5ax2+4a2x+b

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；(H)當(dāng)1<。43時(shí)，求函數(shù)〃幻在(0,1]上的最大值g(a)；

(IH)如果對(duì)滿足1<。43的一切實(shí)數(shù)a,函數(shù)/(x)在(0,1]上恒有/(x)W0,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

74.已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)尸(1,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且當(dāng)直線/垂

—*—*5

直于x軸時(shí)，。4?。8=工.(I)求橢圓C的方程；

(II)是否存在直線/,使得在橢圓c的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)P,滿足AABP為正三角形.如果存在，求出直

線/的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

75.已知數(shù)列｛%｝滿足卬=9，%=,一(n>2,?e/V).

4(-1/

(I)求數(shù)歹ij｛《,｝的通項(xiàng)公式4；(n)設(shè)切=工，求數(shù)歹ij物,｝的前〃項(xiàng)和s“；

an

(HI)設(shè)g=%sin汽業(yè)，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為求證：對(duì)任意的“eN"7；,<y.

76、已知函數(shù)f(x)=(x2-x-L)e'"(axO)

a

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)A(0,7(0))處的切線方程

(2)當(dāng)“<0時(shí)，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間

(3)當(dāng)。>。時(shí)，若不等式/。)+920,對(duì)工￡［—』,+8］恒成立，求Q的取值范圍。

aL?)

X—a

77、已知函數(shù)/*)=-；—,其中a為實(shí)數(shù).

Inx

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,7(2))處的切線方程；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得對(duì)任意x€(0,l)U(l,+8),/(x)>正恒成立?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求

出a的值并加以證明.

17

78、己知/⑴小門送⑴=//+皿+［加<0),直線/與函數(shù)/(x)、g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)/\x)的

圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。(I)求直線/的方程及機(jī)的值；

(II)若%x)=/(x+l)—g'(x)(其中g(shù)'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)〃(x)的最大值；

(III)當(dāng)0<b<a時(shí)，比較：a+2如(a+。)與6+24(20的大小，

79、已知拋物線C：的準(zhǔn)線與％軸交于M點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)斜率為k的直線/與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)(A

在M、B之間).(1)/為拋物線C的焦點(diǎn)，若|AM|=3lAF|，求女的值；

(2)如果拋物線C上總存在點(diǎn)。，使得QALQ8,試求％的取值范圍.

80、在平面直角坐標(biāo)系中，已知定圓F:(x-D'+y2=1(F為圓心)，定直線'：”二-2,,作與圓F內(nèi)切且和直

線［相切的動(dòng)圓P,(1)試求動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程。

(2)設(shè)過(guò)定圓心F的直線也自下而上依次交軌跡E及定園F于點(diǎn)A、B、C、D,

①是否存在直線制，使得MD|=2忸C|成立？若存在，請(qǐng)求出這條直線的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。②當(dāng)

直線加繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，履四18|的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

81.已知函數(shù)/(切=/+如+〃的圖像過(guò)點(diǎn)(1,3),且/(—l+x)=f(—1—x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)y=g(x)與

y=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。/(-l+x)=/(-l-x),/(1)=3

(I)求/(X)與g(x)的解析式；

(H)若尸(x)=g(x)—4/(%)在［-1,1］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

82.設(shè)數(shù)列｛4｝,也,｝滿足/=々=6,4=a=4,%=4=3，且數(shù)列｛。向一?！扒餰N+)是等差數(shù)列，數(shù)列

物,-2］｛〃eN+)是等比數(shù)列。⑴求數(shù)列｛2｝和例｝的通項(xiàng)公式；

(II)是否存在％wN+,使%—若存在，求出出,若不存在，說(shuō)明理由。

2s2

83.數(shù)列｛4〃｝的首項(xiàng)％=1,前n項(xiàng)和Sn與%之間滿足%=.—(n>2).

2S”-1

(1)求證：數(shù)列｛』-｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)存在正數(shù)k,使(1+SJQ+S2)…(1+S”)NZ萬(wàn)幣對(duì)一切“eN*

都成立，求k的最大值.

2

84.已知口、F?分別是橢1圓二+v4=1(。>0/>°)的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M并且滿足,

ab~

-------------—--------------—?—?Ii

耳名=2g,|片用|=2.設(shè)A、B是上半橢圓上滿足N4=/INB的兩點(diǎn)，其中(1)求此橢圓的方

程及直線AB的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P在一條定直線上，并求點(diǎn)P的縱

坐標(biāo)的取值范圍.

32

85.已知函數(shù)/(x)=ln(x+；；)+—,g(x)=lnx.(1)求函數(shù)人》)是單調(diào)區(qū)間;

2x