2020高考物理一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第四章第4講萬(wàn)有引力與航天_第1頁(yè)
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第4講萬(wàn)有引力與航天主干梳理對(duì)點(diǎn)激活知識(shí)點(diǎn)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律Ⅰ1.定律內(nèi)容開普勒第一定律:所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是eq\o(□,\s\up3(01))橢圓,太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)eq\o(□,\s\up3(02))焦點(diǎn)上。開普勒第二定律:對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō),它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間掃過(guò)相等的eq\o(□,\s\up3(03))面積。開普勒第三定律:所有行星的軌道的eq\o(□,\s\up3(04))半長(zhǎng)軸的三次方跟它的eq\o(□,\s\up3(05))公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等,即eq\o(□,\s\up3(06))eq\f(a3,T2)=k。2.適用條件:適用于宇宙中一切環(huán)繞同一中心天體的運(yùn)動(dòng)。知識(shí)點(diǎn)萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用Ⅱ1.內(nèi)容:自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的,引力的大小與eq\o(□,\s\up3(01))兩物體的質(zhì)量的乘積成正比,與eq\o(□,\s\up3(02))兩物體間距離的二次方成反比。2.公式:F=eq\o(□,\s\up3(03))Geq\f(m1m2,r2),其中G為萬(wàn)有引力常量,G=6.67×10-11N·m2/kg2,其值由卡文迪許通過(guò)扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)得。公式中的r是兩個(gè)物體之間的eq\o(□,\s\up3(04))距離。3.適用條件:適用于兩個(gè)eq\o(□,\s\up3(05))質(zhì)點(diǎn)或均勻球體;r為兩質(zhì)點(diǎn)或均勻球體球心間的距離。知識(shí)點(diǎn)環(huán)繞速度Ⅱ1.第一宇宙速度又叫eq\o(□,\s\up3(01))環(huán)繞速度,其數(shù)值為eq\o(□,\s\up3(02))7.9km/s。2.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在eq\o(□,\s\up3(03))地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度。3.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小eq\o(□,\s\up3(04))發(fā)射速度,也是人造衛(wèi)星的最大eq\o(□,\s\up3(05))環(huán)繞速度。4.第一宇宙速度的計(jì)算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)=meq\f(v2,R),解得:v=eq\o(□,\s\up3(06))eq\r(\f(GM,R));(2)由mg=meq\f(v2,R),解得:v=eq\o(□,\s\up3(07))eq\r(gR)。知識(shí)點(diǎn)第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ1.第二宇宙速度(脫離速度)使物體掙脫eq\o(□,\s\up3(01))地球引力束縛的最小發(fā)射速度,其數(shù)值為eq\o(□,\s\up3(02))11.2km/s。2.第三宇宙速度(逃逸速度)使物體掙脫eq\o(□,\s\up3(03))太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度,其數(shù)值為eq\o(□,\s\up3(04))16.7km/s。知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典時(shí)空觀和相對(duì)論時(shí)空觀Ⅰ1.經(jīng)典時(shí)空觀(1)在經(jīng)典力學(xué)中,物體的質(zhì)量不隨eq\o(□,\s\up3(01))運(yùn)動(dòng)速度改變;(2)在經(jīng)典力學(xué)中,同一物理過(guò)程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是eq\o(□,\s\up3(02))相同的。2.相對(duì)論時(shí)空觀(1)在狹義相對(duì)論中,物體的質(zhì)量隨物體的速度的增加而eq\o(□,\s\up3(03))增加,用公式表示為m=eq\o(□,\s\up3(04))eq\f(m0,\r(1-\f(v2,c2)));(2)在狹義相對(duì)論中,同一物理過(guò)程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是eq\o(□,\s\up3(05))不同的。一思維辨析1.只有天體之間才存在萬(wàn)有引力。()2.只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離,就可以由F=eq\f(Gm1m2,r2)來(lái)計(jì)算物體間的萬(wàn)有引力。()3.牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律并第一個(gè)測(cè)出了地球的質(zhì)量。()4.不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量可以不同,但離地面的高度是相同的。()5.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度。()6.探月衛(wèi)星的發(fā)射速度必須大于第三宇宙速度。()答案1.×2.×3.×4.√5.√6.×二對(duì)點(diǎn)激活1.關(guān)于萬(wàn)有引力公式F=Geq\f(m1m2,r2),以下說(shuō)法中正確的是()A.公式只適用于星球之間的引力計(jì)算,不適用于質(zhì)量較小的物體B.當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí),萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大C.兩物體間的萬(wàn)有引力也符合牛頓第三定律D.公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的答案C解析萬(wàn)有引力公式F=Geq\f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點(diǎn)或均勻球體間引力的計(jì)算,當(dāng)兩物體間距離趨近于0時(shí),兩個(gè)物體就不能看做質(zhì)點(diǎn),故F=Geq\f(m1m2,r2)已不再適用,所以不能說(shuō)萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大,故A、B錯(cuò)誤;兩物體間的萬(wàn)有引力也符合牛頓第三定律,C正確;G的值是卡文迪許測(cè)得的,D錯(cuò)誤。2.(人教版必修2·P48·T3改編)火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2),地球的第一宇宙速度為v,則火星的第一宇宙速度約為()A.eq\f(\r(5),5)vB.eq\r(5)vC.eq\r(2)vD.eq\f(\r(2),2)v答案A解析第一宇宙速度由eq\f(GMm,R2)=eq\f(mv2,R)求得,v=eq\r(\f(GM,R)),故eq\f(v火,v)=eq\r(\f(M火,M)·\f(R,R火))=eq\r(\f(1,5)),所以v火=eq\f(\r(5),5)v,故A正確。3.(人教版必修2·P36·T4)地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓,但彗星的運(yùn)動(dòng)軌道則是一個(gè)非常扁的橢圓。天文學(xué)家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過(guò)一顆彗星,他算出這顆彗星軌道的半長(zhǎng)軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍(如圖所示),并預(yù)言這顆彗星將每隔一定時(shí)間就會(huì)出現(xiàn)。哈雷的預(yù)言得到證實(shí),該彗星被命名為哈雷彗星。哈雷彗星最近出現(xiàn)的時(shí)間是1986年,請(qǐng)你根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律估算,它下次飛近地球大約將在哪一年?答案2062年解析設(shè)地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R0,周期為T0,哈雷彗星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半長(zhǎng)軸為a,周期為T,根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)=k,有eq\f(a3,T2)=eq\f(R\o\al(3,0),T\o\al(2,0)),則哈雷彗星的公轉(zhuǎn)周期T=eq\r(\f(a3,R\o\al(3,0)))T0≈76.4年,所以它下次飛近地球大約將在1986+76.4≈2062年。4.(人教版必修2·P41·T3)一個(gè)質(zhì)子由兩個(gè)u夸克和一個(gè)d夸克組成。一個(gè)夸克的質(zhì)量是7.1×10-30kg,求兩個(gè)夸克相距1.0×10-16m時(shí)的萬(wàn)有引力。答案3.36×10-37N解析兩個(gè)夸克相距1.0×10-16m時(shí)的萬(wàn)有引力F=Geq\f(m1m2,r2)=3.36×10-37N??键c(diǎn)細(xì)研悟法培優(yōu)考點(diǎn)1開普勒三定律的理解與應(yīng)用1.微元法解讀開普勒第二定律,行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)速度方向與連線垂直,若行星在近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離分別為a、b,取足夠短的時(shí)間Δt,則行星在Δt時(shí)間內(nèi)可看做勻速直線運(yùn)動(dòng),由Sa=Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a=eq\f(1,2)vb·Δt·b,可得va=eq\f(vbb,a)。行星到太陽(yáng)的距離越大,行星的速率越小,反之越大。2.行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理。3.開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體,例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。4.開普勒第三定律eq\f(a3,T2)=k中,k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體k值不同,故該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。例1(2017·全國(guó)卷Ⅱ)(多選)如圖,海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng),P為近日點(diǎn),Q為遠(yuǎn)日點(diǎn),M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn),運(yùn)行的周期為T0。若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用,則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()A.從P到M所用的時(shí)間等于eq\f(T0,4)B.從Q到N階段,機(jī)械能逐漸變大C.從P到Q階段,速率逐漸變小D.從M到N階段,萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功解題探究(1)從P到M與從M到Q的平均速率相等嗎?提示:不相等。(2)從Q到N除萬(wàn)有引力做功之外,還有其他力對(duì)海王星做功嗎?提示:沒(méi)有。嘗試解答選CD。由開普勒第二定律可知,相等時(shí)間內(nèi),太陽(yáng)與海王星連線掃過(guò)的面積都相等,A錯(cuò)誤;由機(jī)械能守恒定律知,從Q到N階段,除萬(wàn)有引力做功之外,沒(méi)有其他的力對(duì)海王星做功,故機(jī)械能守恒,B錯(cuò)誤;從P到Q階段,萬(wàn)有引力做負(fù)功,動(dòng)能轉(zhuǎn)化成海王星的勢(shì)能,所以動(dòng)能減小,速率逐漸變小,C正確;從M到N階段,萬(wàn)有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角,即萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功,D正確。總結(jié)升華繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行的行星在近日點(diǎn)線速度最大,越靠近近日點(diǎn)線速度越大,線速度大小與行星到太陽(yáng)的距離成反比。[變式1-1](2016·全國(guó)卷Ⅲ)關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,下列說(shuō)法符合史實(shí)的是()A.開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律B.開普勒在天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律C.開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因D.開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律答案B解析開普勒在天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,但并沒(méi)有找出其中的原因,A、C錯(cuò)誤,B正確;萬(wàn)有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的,D錯(cuò)誤。[變式1-2](2018·武漢五月訓(xùn)練)我國(guó)預(yù)計(jì)在2018年12月發(fā)射“嫦娥四號(hào)”月球探測(cè)器。探測(cè)器要經(jīng)過(guò)多次變軌,最終降落到月球表面上。如圖所示,軌道Ⅰ為圓形軌道,其半徑為R;軌道Ⅱ?yàn)闄E圓軌道,半長(zhǎng)軸為a,半短軸為b。如果把探測(cè)器與月球的連線掃過(guò)的面積與其所用時(shí)間的比值定義為掃過(guò)的面積速率,則探測(cè)器繞月球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上掃過(guò)的面積速率之比是(已知橢圓的面積S=πab)()A.eq\f(\r(ab),R)B.eq\r(\f(R,a))C.eq\f(\r(aR),b)D.eq\f(\r(bR),a)答案C解析設(shè)探測(cè)器在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期為T1,在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期為T2,則在軌道Ⅰ上掃過(guò)的面積速率為:eq\f(πR2,T1),在軌道Ⅱ上掃過(guò)的面積速率為:eq\f(πab,T2),由開普勒第三定律可知:eq\f(R3,T\o\al(2,1))=eq\f(a3,T\o\al(2,2)),由以上三式聯(lián)立解得,eq\f(\f(πR2,T1),\f(πab,T2))=eq\f(R2,ab)·eq\f(T2,T1)=eq\f(R2,ab)·eq\r(\f(a3,R3))=eq\f(\r(aR),b),故C正確??键c(diǎn)2天體質(zhì)量和密度的估算1.重力加速度法:利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)=mg得天體質(zhì)量M=eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ=eq\f(M,V)=eq\f(M,\f(4,3)πR3)=eq\f(3g,4πGR)。2.天體環(huán)繞法:測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M=eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ=eq\f(M,V)=eq\f(M,\f(4,3)πR3)=eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí),可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=eq\f(3π,GT2),可見,只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估算出中心天體的密度。例2(2018·四川蓉城聯(lián)考)中共十九大召開之際,據(jù)中央臺(tái)報(bào)道,我國(guó)已經(jīng)發(fā)射了一百七十多個(gè)航天器。其中發(fā)射的貨運(yùn)飛船“天舟一號(hào)”與已經(jīng)在軌運(yùn)行的“天宮二號(hào)”成功對(duì)接形成組合體,如圖所示。假設(shè)組合體在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),周期為T1。如果月球繞地球的運(yùn)動(dòng)也看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為R1,周期為T2。已知地球表面處重力加速度為g,地球半徑為R,引力常量為G,不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,地球看成質(zhì)量分布均勻的球體。則()A.月球的質(zhì)量可表示為eq\f(4π2R\o\al(3,1),GT\o\al(2,2))B.組合體與月球運(yùn)轉(zhuǎn)的線速度比值為eq\r(\f(R1,h))C.地球的密度可表示為eq\f(3πR+h3,GT\o\al(2,1)R3)D.組合體的向心加速度可表示為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R+h,R)))2g解題探究(1)已知月球繞地球的周期和軌道半徑,能求月球的質(zhì)量嗎?提示:不能。只能求中心天體地球的質(zhì)量。(2)距地面高度為h的圓形軌道半徑為多少?提示:R+h。嘗試解答選C。由于月球是環(huán)繞天體,根據(jù)題意可以求出地球的質(zhì)量,不能求月球的質(zhì)量,A錯(cuò)誤;對(duì)于組合體和月球繞地球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,萬(wàn)有引力提供向心力,設(shè)地球質(zhì)量為M,則由牛頓第二定律可知Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r),解得v=eq\r(\f(GM,r)),則組合體和月球的線速度比值為eq\r(\f(R1,R+h)),B錯(cuò)誤;對(duì)于組合體,由Geq\f(Mm,R+h2)=meq\f(4π2,T\o\al(2,1))·(R+h),解得M=eq\f(4π2R+h3,GT\o\al(2,1)),又因?yàn)榈厍虻捏w積為V=eq\f(4,3)πR3,整理解得ρ=eq\f(M,V)=eq\f(3πR+h3,GT\o\al(2,1)R3),C正確;由Geq\f(Mm,R+h2)=ma,Geq\f(Mm,R2)=mg,知組合體的向心加速度大小為a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R+h)))2g,D錯(cuò)誤。總結(jié)升華估算天體質(zhì)量和密度時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)利用萬(wàn)有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí),估算的只是中心天體的質(zhì)量,并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r,只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R;計(jì)算天體密度時(shí),V=eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。(3)在考慮自轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí),只有兩極才有eq\f(GMm,R2)=mg。[變式2-1](2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù),不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A.地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B.人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期C.月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離D.地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離答案D解析根據(jù)Geq\f(Mm,R2)=mg可知,已知地球的半徑及重力加速度可計(jì)算出地球的質(zhì)量,A能;根據(jù)Geq\f(Mm,R2)=meq\f(v2,R)及v=eq\f(2πR,T)可知,已知人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期可計(jì)算出地球的質(zhì)量,B能;根據(jù)Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r可知,已知月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離,可計(jì)算出地球的質(zhì)量,C能;已知地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽(yáng)間的距離只能求出太陽(yáng)的質(zhì)量,不能求出地球的質(zhì)量,D不能。[變式2-2](2019·寧夏育才中學(xué)月考)如圖所示,兩顆人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng),其中一顆衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為r,另一顆衛(wèi)星繞地球沿橢圓形軌道運(yùn)動(dòng),半長(zhǎng)軸為a。已知橢圓形軌道衛(wèi)星繞地球n圈所用時(shí)間為t,地球的半徑為R,引力常量為G,則地球的平均密度為()A.eq\f(3πn2a3,Gt2R3)B.eq\f(4πn2r3,3Gt2R3)C.eq\f(3πn2a3,2Gt2R3)D.eq\f(4πn2r3,Gt2R3)答案A解析橢圓形軌道衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T0=eq\f(t,n),根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(a3,T\o\al(2,0))=eq\f(r3,T2),則圓形軌道衛(wèi)星的周期為T=T0eq\r(\f(r3,a3)),對(duì)于圓形軌道衛(wèi)星,萬(wàn)有引力等于向心力,Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r,地球的平均密度ρ=eq\f(M,\f(4,3)πR3),聯(lián)立可得ρ=eq\f(3πn2a3,Gt2R3),A正確。考點(diǎn)3人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律1.人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(1)一種模型:無(wú)論自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看做質(zhì)點(diǎn),圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)兩條思路①萬(wàn)有引力提供向心力,即Geq\f(Mm,r2)=ma。②天體對(duì)其表面的物體的萬(wàn)有引力近似等于重力,即eq\f(GMm,R2)=mg或gR2=GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度),公式gR2=GM應(yīng)用廣泛,被稱為“黃金代換”。(3)地球衛(wèi)星的運(yùn)行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)2.地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)(1)軌道平面一定:軌道平面和赤道平面重合。(2)周期一定:與地球自轉(zhuǎn)周期相同,即T=24h=86400s。(3)角速度一定:與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。(4)高度一定:據(jù)Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r得r=eq\r(3,\f(GMT2,4π2))=4.23×104km,衛(wèi)星離地面高度h=r-R≈6R(為恒量)。(5)繞行方向一定:與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)南北兩極,由于地球自轉(zhuǎn),極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑,其運(yùn)行線速度約為7.9km/s。(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過(guò)地球的球心。例3(2018·南寧、柳州聯(lián)考)如圖所示,兩顆質(zhì)量相同的人造衛(wèi)星A、B僅受地球的引力作用在同一平面內(nèi)繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,A、B連線與A、O連線間的夾角最大為θ,則A、B()A.動(dòng)能之比為sinθ∶1B.動(dòng)能之比為tanθ∶1C.周期之比為sin2θ∶1D.周期之比為sinθ∶1解題探究(1)如何找到OA連線與A、B連線的最大夾角?提示:假設(shè)A不動(dòng),連接OA,觀察B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,何時(shí)OA與AB夾角最大。(2)衛(wèi)星的v、T與軌道半徑有什么關(guān)系?提示:由eq\f(GMm,r2)=eq\f(mv2,r)得v=eq\r(\f(GM,r)),由eq\f(GMm,r2)=meq\f(4π2,T2)r得T=eq\r(\f(4π2r3,GM))。嘗試解答選A。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中OAB構(gòu)成一個(gè)三角形,假設(shè)A不動(dòng),只讓B轉(zhuǎn)動(dòng),很容易發(fā)現(xiàn)OB垂直AB時(shí),OA與AB夾角最大,如圖所示。由于OA、OB分別為衛(wèi)星A、B的軌道半徑rA、rB,則有sinθ=eq\f(rB,rA)。由萬(wàn)有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r),Geq\f(Mm,r2)=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r,可求出A與B的動(dòng)能之比eq\f(EkA,EkB)=eq\f(v\o\al(2,A),v\o\al(2,B))=eq\f(rB,rA)=eq\f(sinθ,1),周期之比eq\f(TA,TB)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(rA,rB)))eq\s\up15(eq\f(3,2))=eq\f(1,sineq\s\up15(eq\f(3,2))θ),A正確??偨Y(jié)升華人造衛(wèi)星問(wèn)題的解題技巧(1)利用萬(wàn)有引力提供向心加速度的不同表述形式。Geq\f(Mm,r2)=man=meq\f(v2,r)=mω2r=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r=m(2πf)2r。2第一宇宙速度是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運(yùn)行的最大速度,軌道半徑r近似等于地球半徑v=eq\r(\f(GM,R))=7.9km/s萬(wàn)有引力近似等于衛(wèi)星的重力,即mg=meq\f(v2,R),v=eq\r(Rg)=7.9km/s。3同步衛(wèi)星:①具有特定的線速度、角速度和周期;②具有特定的位置高度和軌道半徑;③運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上,只能靜止在赤道上方特定的點(diǎn)上。比較衛(wèi)星與地球有關(guān)的物理量時(shí)可以通過(guò)比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來(lái)確定。4天體相遇與追及問(wèn)題的處理方法首先根據(jù)eq\f(GMm,r2)=mrω2判斷出誰(shuí)的角速度大,然后根據(jù)兩星追上或相距最近時(shí)滿足兩星運(yùn)動(dòng)的角度差等于2π的整數(shù)倍,即ωAt-ωBt=n·2πn=1,2,3…,相距最遠(yuǎn)時(shí)兩星運(yùn)行的角度差等于π的奇數(shù)倍,即ωAt-ωBt=2n+1πn=0,1,2…[變式3-1](2018·武昌調(diào)研)2017年6月15日上午11時(shí),我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心采用長(zhǎng)征四號(hào)乙運(yùn)載火箭,成功發(fā)射了首顆X射線空間天文衛(wèi)星——“慧眼”,該衛(wèi)星工程將顯著提升我國(guó)大型科學(xué)衛(wèi)星研制水平,填補(bǔ)我國(guó)空間X射線探測(cè)衛(wèi)星的空白,實(shí)現(xiàn)我國(guó)在空間高能天體物理領(lǐng)域由地面觀測(cè)向天地聯(lián)合觀測(cè)的跨越。衛(wèi)星發(fā)射入軌后,將開展多個(gè)方面的空間探測(cè)活動(dòng)。已知“慧眼”在距地面高度為h的圓形軌道上運(yùn)行,地球半徑為R、地球自轉(zhuǎn)周期為T0、地球表面的重力加速度為g、引力常量為G。則下列關(guān)于“慧眼”在軌運(yùn)行的結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.線速度大小為v=Req\r(\f(g,R+h))B.角速度大小為ω=eq\f(R,R+h)eq\r(\f(g,R+h))C.周期為T=eq\f(2πR+h,R)eq\r(\f(R+h,g))D.向心加速度大小為a=eq\f(4π2,T\o\al(2,0))(R+h)答案D解析“慧眼”圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,萬(wàn)有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,設(shè)“慧眼”的質(zhì)量為m,則Geq\f(Mm,R+h2)=meq\f(v2,R+h),又由于Geq\f(Mm0,R2)=m0g,m0為地球表面物體的質(zhì)量,由以上兩式整理可得“慧眼”的線速度大小為v=eq\r(\f(gR2,R+h)),A正確;又由于Geq\f(Mm,R+h2)=mω2·(R+h),整理解得ω=eq\f(R,R+h)eq\r(\f(g,R+h)),B正確;由于T=eq\f(2π,ω),解得T=eq\f(2πR+h,R)eq\r(\f(R+h,g)),C正確;“慧眼”的向心加速度大小應(yīng)為a=eq\f(4π2,T2)(R+h),則D錯(cuò)誤。[變式3-2](2018·湖南師大附中月考六)(多選)已知地球自轉(zhuǎn)周期為T0,有一顆與同步衛(wèi)星在同一軌道平面的低軌道衛(wèi)星,自西向東繞地球運(yùn)行,其運(yùn)行半徑為同步軌道半徑的四分之一,該衛(wèi)星兩次在同一城市的正上方出現(xiàn)的時(shí)間間隔可能是()A.eq\f(T0,4)B.eq\f(3T0,4)C.eq\f(3T0,7)D.eq\f(T0,7)答案CD解析設(shè)地球的質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)量為m,運(yùn)動(dòng)周期為T,因?yàn)樾l(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供,有:eq\f(GMm,r2)=eq\f(4π2mr,T2),解得:T=2πeq\r(\f(r3,GM))。同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)的周期相同,即為T0。已知該人造衛(wèi)星的運(yùn)行半徑為同步衛(wèi)星軌道半徑的四分之一,所以該人造衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的周期之比是:eq\f(T,T0)=eq\r(\f(r3,4r3))=eq\f(1,8),解得:T=eq\f(T0,8)。設(shè)衛(wèi)星每隔t時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次,根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)角速度與所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角的關(guān)系θ=ωt得:eq\f(2π,T)t=2nπ+eq\f(2π,T0)t,解得t=eq\f(nT0,7)(n=1,2,3,…),當(dāng)n=1時(shí)t=eq\f(T0,7),當(dāng)n=3時(shí)t=eq\f(3T0,7),故A、B錯(cuò)誤,C、D正確。考點(diǎn)4航天器的變軌問(wèn)題當(dāng)衛(wèi)星開啟發(fā)動(dòng)機(jī),或者受空氣阻力作用時(shí),萬(wàn)有引力不再等于向心力,衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行,前者是軌道的突變,后者是軌道的漸變。1.衛(wèi)星軌道的漸變(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度增加時(shí),Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r),即萬(wàn)有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng),脫離原來(lái)的圓軌道,如果速度增加很緩慢,衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,軌道半徑變大,當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí),由v=eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)小。例如,由于地球的自轉(zhuǎn)和潮汐力,月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑緩慢增大,每年月球遠(yuǎn)離地球3.8厘米。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度減小時(shí),Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r),即萬(wàn)有引力大于所需要的向心力,衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng),脫離原來(lái)的圓軌道,如果速度減小很緩慢,衛(wèi)星每轉(zhuǎn)一周均可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,軌道半徑變小,當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道運(yùn)行時(shí),由v=eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比在原軌道時(shí)大。例如,人造衛(wèi)星受到高空稀薄大氣的摩擦力,軌道高度不斷降低。2.衛(wèi)星軌道的突變:由于技術(shù)上的需要,有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間內(nèi)啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī),使飛行器軌道發(fā)生突變,使其進(jìn)入預(yù)定的軌道。如圖所示,發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí),可以分多過(guò)程完成:(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ,使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),速率為v。(2)變軌時(shí)在P點(diǎn)點(diǎn)火加速,短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2,這時(shí)eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r),衛(wèi)星脫離原軌道做離心運(yùn)動(dòng),進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ。(3)衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3,此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速,在短時(shí)間內(nèi)將速率由v3增加到v4,使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ,繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。飛船和空間站的對(duì)接過(guò)程與此類似。衛(wèi)星的回收過(guò)程和飛船的返回則是相反的過(guò)程,通過(guò)突然減速,eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r),變軌到低軌道,最后在橢圓軌道的近地點(diǎn)處返回地面。3.衛(wèi)星變軌時(shí)一些物理量的定性分析(1)速度:設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v4,在軌道Ⅱ上過(guò)P、Q點(diǎn)時(shí)的速率分別為v2、v3,在P點(diǎn)加速,則v2>v1;在Q點(diǎn)加速,則v4>v3。又因v1>v4,故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度:因?yàn)樵赑點(diǎn)不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò),P點(diǎn)到地心的距離都相同,衛(wèi)星的加速度都相同,設(shè)為aP。同理,在Q點(diǎn)加速度也相同,設(shè)為aQ。又因Q點(diǎn)到地心的距離大于P點(diǎn)到地心的距離,所以aQ<aP。(3)周期:設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3,軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3,由eq\f(r3,T2)=k可知T1<T2<T3。例4(2018·哈爾濱三中第二次模擬)央視新聞2018年3月11日?qǐng)?bào)道:中國(guó)將建設(shè)324顆衛(wèi)星組星座,“用戶不在服務(wù)區(qū)”將成歷史。即將建設(shè)的全球低軌衛(wèi)星星座被命名為“鴻雁”。據(jù)悉,北京航天飛行控制中心已對(duì)“鴻雁一號(hào)”衛(wèi)星實(shí)施變軌控制。如圖為“鴻雁一號(hào)”衛(wèi)星某次在近地點(diǎn)A由軌道1變軌為軌道2的示意圖,下列說(shuō)法中正確的是()A.“鴻雁一號(hào)”在軌道1的B點(diǎn)處的速度比在軌道1的A點(diǎn)處的速度大B.“鴻雁一號(hào)”在軌道1的A點(diǎn)處的速度比在軌道2的A點(diǎn)處的速度大C.“鴻雁一號(hào)”在軌道1的A點(diǎn)處的加速度與在軌道2的A點(diǎn)處的加速度相等D.“鴻雁一號(hào)”在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能大解題探究(1)衛(wèi)星在近地點(diǎn)A由軌道1變軌為軌道2應(yīng)加速還是減速?提示:加速。(2)衛(wèi)星在軌道1由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),萬(wàn)有引力做什么功?提示:負(fù)功。嘗試解答選C。在軌道1上從A到B過(guò)程中引力做負(fù)功,速度減小,故“鴻雁一號(hào)”在軌道1的B點(diǎn)處的速度比在軌道1的A點(diǎn)處的速度小,A錯(cuò)誤;從軌道1變軌到軌道2,需要在A點(diǎn)點(diǎn)火加速,故“鴻雁一號(hào)”在軌道1的A點(diǎn)處的速度比在軌道2的A點(diǎn)處的速度小,B錯(cuò)誤;“鴻雁一號(hào)”在軌道1的A點(diǎn)處到地心的距離等于在軌道2的A點(diǎn)處到地心的距離,根據(jù)a=eq\f(GM,r2)可知“鴻雁一號(hào)”在軌道1的A點(diǎn)處的加速度與在軌道2的A點(diǎn)處的加速度相等,C正確;因?yàn)樾l(wèi)星在軌道1的A點(diǎn)處點(diǎn)火加速進(jìn)入軌道2,所以在軌道2的機(jī)械能大于在軌道1的機(jī)械能,故D錯(cuò)誤??偨Y(jié)升華航天器變軌問(wèn)題的三點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)航天器變軌時(shí)半徑(半長(zhǎng)軸)的變化,根據(jù)萬(wàn)有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷;穩(wěn)定在新圓軌道上的運(yùn)行速度變化由v=eq\r(\f(GM,r))判斷。兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線速度不相等,同一橢圓上近地點(diǎn)的線速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的線速度,如例4中的A選項(xiàng)。總結(jié)升華2航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同,軌道半徑半長(zhǎng)軸越大,機(jī)械能越大。從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn),萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星做正功,動(dòng)能Ek增大,引力勢(shì)能減小。3兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處加速度a相同。[變式4]目前,在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運(yùn)轉(zhuǎn),其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓,且軌道半徑逐漸變小。若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過(guò)程中,只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用,則下列判斷正確的是()A.衛(wèi)星的動(dòng)能逐漸減小B.由于地球引力做正功,引力勢(shì)能一定增大C.由于氣體阻力做負(fù)功,地球引力做正功,機(jī)械能保持不變D.衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢(shì)能的減少量答案D解析由eq\f(GMm,r2)=meq\f(v2,r)得v=eq\r(\f(GM,r)),由于受到稀薄氣體的阻力,軌道半徑r減小,則v增大,衛(wèi)星的動(dòng)能增大,A錯(cuò)誤;由于衛(wèi)星的高度逐漸降低,所以地球引力對(duì)衛(wèi)星做正功,引力勢(shì)能減小,B錯(cuò)誤;由于氣體阻力做負(fù)功,所以衛(wèi)星和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少,故C錯(cuò)誤;根據(jù)動(dòng)能定理,可知引力與空氣阻力對(duì)衛(wèi)星做的總功為正值,而引力做的功等于引力勢(shì)能的減少量,所以衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢(shì)能的減少量,D正確。建模提能2雙星、多星模型前面我們討論的是類似太陽(yáng)系的單星系統(tǒng),其特點(diǎn)是有一個(gè)主星,質(zhì)量遠(yuǎn)大于周圍的其他星體,可以看做近似不動(dòng),所以其他星體繞它運(yùn)動(dòng)。除此之外,在宇宙空間,還存在兩顆或多顆質(zhì)量差別不大的星體,它們離其他星體很遠(yuǎn),在彼此間的萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng),組成雙星或多星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定,很常見,三星及其他更多星體的系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定,非常罕見。下面介紹具有代表性的雙星模型和三星模型。1.雙星模型(1)兩顆星體繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng),如圖1所示。(2)特點(diǎn):①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供,即eq\f(Gm1m2,L2)=m1ωeq\o\al(2,1)r1,eq\f(Gm1m2,L2)=m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為:r1+r2=L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比,即eq\f(m1,m2)=eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T=2πeq\r(\f(L3,Gm1+m2))。⑥雙星的總質(zhì)量m1+m2=eq\f(4π2L3,T2G)。2.三星模型(1)三星系統(tǒng)繞共同圓心在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)比較穩(wěn)定,三顆星的質(zhì)量一般不同,其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他星體對(duì)該星體的萬(wàn)有引力的合力提供。(2)特點(diǎn):對(duì)于這種穩(wěn)定的軌道,除中央星體外(如果有),每顆星體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同,運(yùn)行的角速度、周期相同。(3)理想情況下,它們的位置具有對(duì)稱性,下面介紹兩種特殊的對(duì)稱軌道。①三顆星位于同一直線上,兩顆質(zhì)量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖3甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖3乙所示)。【典題例證】(2018·河南第二次模擬)(多選)在天體運(yùn)動(dòng)中,把兩顆相距很近的恒星稱為雙星。已知組成某雙星系統(tǒng)的兩顆恒星質(zhì)量分別為m1和m2,相距為L(zhǎng)。在萬(wàn)有引力作用下各自繞它們連線上的某一點(diǎn),在同一平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中二者之間的距離始終不變。已知萬(wàn)有引力常量為G。m1的動(dòng)能為Ek,則m2的動(dòng)能為()A.Geq\f(m1m2,L)-EkB.Geq\f(m1m2,2L)-EkC.eq\f(m1,m2)EkD.eq\f(m2,m1)Ek[解析]對(duì)雙星,都是萬(wàn)有引力提供向心力,故:Geq\f(m1m2,L2)=m1ω2R1=m2ω2R2;其中:L=R1+R2,聯(lián)立解得:R1=eq\f(m2L,m1+m2),R2=eq\f(m1L,m1+m2),根據(jù)v=rω,則eq\f(v1,v2)=eq\f(R1,R2)=eq\f(m2,m1),則eq\f(Ek1,Ek2)=eq\f(Ek,Ek2)=eq\f(\f(1,2)m1v\o\al(2,1),\f(1,2)m2v\o\al(2,2))=eq\f(m2,m1),即Ek2=eq\f(m1,m2)Ek,C正確,D錯(cuò)誤;Geq\f(m1m2,L2)=m2eq\f(v\o\al(2,2),R2)=eq\f(2Ek2,R2),即Ek2=eq\f(R2,2)·eq\f(Gm1m2,L2),同理Ek1=eq\f(R1,2)·eq\f(Gm1m2,L2),則Ek1+Ek2=eq\f(R1+R2,2)·eq\f(Gm1m2,L2)=eq\f(Gm1m2,2L),則Ek2=Geq\f(m1m2,2L)-Ek,B正確,A錯(cuò)誤。[答案]BC名師點(diǎn)睛解決雙星、多星問(wèn)題,要抓住四點(diǎn)(1)雙星或多星的特點(diǎn)、規(guī)律,確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬(wàn)有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識(shí),尋找兩者之間的關(guān)系,正確計(jì)算萬(wàn)有引力和向心力?!踞槍?duì)訓(xùn)練】(2018·哈爾濱調(diào)研)(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三個(gè)星體的質(zhì)量均為M,并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同,則()A.直線三星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v=eq\r(\f(GM,R))B.直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為T=4πReq\r(\f(R,5GM))C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L(zhǎng)=eq\r(3,\f(12,5))RD.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v′=eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))答案BC解析對(duì)直線三星系統(tǒng)中的其中一顆環(huán)繞星,有Geq\f(M2,R2)+Geq\f(M2,2R2)=Meq\f(v2,R),解得v=eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R)),A錯(cuò)誤;根據(jù)T=eq\f(2πR,v),可知B正確;對(duì)三角形三星系統(tǒng)中的任意一顆星體,有2Geq\f(M2,L2)cos30°=Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(L,2),cos30°)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2,三角形三星系統(tǒng)的周期等于直線三星系統(tǒng)的周期T=4πR·eq\r(\f(R,5GM)),聯(lián)立解得L=eq\r(3,\f(12,5))R,C正確;根據(jù)T=eq\f(2πr,v′),若按照r=R計(jì)算,就會(huì)得到v′=eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R)),但r=eq\f(\f(L,2),cos30°)≠R,故D錯(cuò)誤。高考模擬隨堂集訓(xùn)1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)(多選)2017年,人類第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程,在兩顆中子星合并前約100s時(shí),它們相距約400km,繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體,由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí),可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星()A.質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和C.速率之和D.各自的自轉(zhuǎn)角速度答案BC解析依題意已知兩顆中子星的周期T、距離L,各自的自轉(zhuǎn)角速度不可求,D錯(cuò)誤;對(duì)m1:Geq\f(m1m2,L2)=m1ω2r1,對(duì)m2:Geq\f(m1m2,L2)=m2ω2r2,已知幾何關(guān)系:r1+r2=L,ω=eq\f(2π,T),聯(lián)立以上各式可解得:r1=eq\f(m2,m1+m2)L,r2=eq\f(m1,m1+m2)L,m1+m2=eq\f(4π2L3,GT2),B正確;速率之和v1+v2=ωr1+ωr2=ω(r1+r2)=eq\f(2πL,T),C正確;質(zhì)量之積m1m2=eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2,r1r2不可求,故m1m2不可求,A錯(cuò)誤。2.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)2018年2月,我國(guó)500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”,其自轉(zhuǎn)周期T=5.19ms,假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體,已知萬(wàn)有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3答案C解析設(shè)脈沖星質(zhì)量為M,密度為ρ,半徑為R,星體表面一物塊質(zhì)量為m,根據(jù)天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律知:eq\f(GMm,R2)≥meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R,ρ=eq\f(M,V)=eq\f(M,\f(4,3)πR3),代入可得:ρ≥eq\f(3π,GT2)≈5×1015kg/m3,故C正確。3.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)為了探測(cè)引力波,“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)星P,其軌道半徑約為地球半徑的16倍;另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為()A.2∶1B.4∶1C.8∶1D.16∶1答案C解析設(shè)地球半徑為R,根據(jù)題述,地球衛(wèi)星P的軌道半徑為RP=16R,地球衛(wèi)星Q的軌道半徑為RQ=4R,根據(jù)開普勒第三定律,eq\f(T\o\al(2,P),T\o\al(2,Q))=eq\f(R\o\al(3,P),R\o\al(3,Q))=64,所以P與Q的周期之比為TP∶TQ=8∶1,C正確。4.(2018·北京高考)若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律,在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下,需要驗(yàn)證()A.地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的eq\f(1,602)B.月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的eq\f(1,602)C.自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的eq\f(1,6)D.蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的eq\f(1,60)答案B解析設(shè)月球質(zhì)量為M月,地球質(zhì)量為M,地球半徑為r,蘋果質(zhì)量為m,則月球受到的萬(wàn)有引力為F月=eq\f(GMM月,60r2),蘋果受到的萬(wàn)有引力為F=eq\f(GMm,r2),由于月球質(zhì)量和蘋果質(zhì)量之間的關(guān)系未知,故二者之間萬(wàn)有引力的關(guān)系無(wú)法確定,故A錯(cuò)誤;根據(jù)牛頓第二定律eq\f(GMM月,60r2)=M月·a月,eq\f(GMm,r2)=ma,整理可以得到a月=eq\f(1,602)a,故B正確;在月球表面處Geq\f(M月m′,r\o\al(2,月))=m′g月,由于月球本身的半徑大小未知,故無(wú)法求出月球表面和地面表面重力加速度的關(guān)系,故C錯(cuò)誤;蘋果在月球表面受到引力為F′=Geq\f(M月m,r\o\al(2,月)),由于月球本身的半徑大小未知,故無(wú)法求出蘋果在月球表面受到的引力與在地球表面引力之間的關(guān)系,故D錯(cuò)誤。5.(2018·天津高考)(多選)2018年2月2日,我國(guó)成功將電磁監(jiān)測(cè)試驗(yàn)衛(wèi)星“張衡一號(hào)”發(fā)射升空,標(biāo)志我國(guó)成為世界上少數(shù)擁有在軌運(yùn)行高精度地球物理場(chǎng)探測(cè)衛(wèi)星的國(guó)家之一。通過(guò)觀測(cè)可以得到衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期,并已知地球的半徑和地球表面的重力加速度。若將衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng),且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出衛(wèi)星的()A.密度B.向心力的大小C.離地高度D.線速度的大小答案CD解析根據(jù)題意,已知衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期T,地球的半徑R,地球表面的重力加速度g,衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力,故有Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r,等式兩邊衛(wèi)星的質(zhì)量被抵消,則不能計(jì)算衛(wèi)星的密度,更不能計(jì)算衛(wèi)星的向心力大小,A、B錯(cuò)誤;由Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r,Geq\f(Mm,R2)=mg,解得r=eq\r(3,\f(gR2T2,4π2)),而r=R+h,故可計(jì)算衛(wèi)星距離地球表面的高度,C正確;根據(jù)公式v=eq\f(2πr,T),軌道半徑可以求出,周期已知,故可以計(jì)算出衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度,D正確。配套課時(shí)作業(yè)時(shí)間:60分鐘滿分:100分一、選擇題(本題共12小題,每小題6分,共72分。其中1~7為單選,8~12為多選)1.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)2017年4月,我國(guó)成功發(fā)射的天舟一號(hào)貨運(yùn)飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室完成了首次交會(huì)對(duì)接,對(duì)接形成的組合體仍沿天宮二號(hào)原來(lái)的軌道(可視為圓軌道)運(yùn)行。與天宮二號(hào)單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比,組合體運(yùn)行的()A.周期變大B.速率變大C.動(dòng)能變大D.向心加速度變大答案C解析天舟一號(hào)貨運(yùn)飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)接形成的組合體仍沿天宮二號(hào)原來(lái)的軌道運(yùn)行,根據(jù)Geq\f(Mm,r2)=ma=eq\f(mv2,r)=mreq\f(4π2,T2)可知,組合體運(yùn)行的向心加速度、速率、周期不變,質(zhì)量變大,則動(dòng)能變大,C正確。2.(2018·江蘇高考)我國(guó)高分系列衛(wèi)星的高分辨對(duì)地觀察能力不斷提高。今年5月9日發(fā)射的“高分五號(hào)”軌道高度約為705km,之前已運(yùn)行的“高分四號(hào)”軌道高度約為36000km,它們都繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。與“高分四號(hào)”相比,下列物理量中“高分五號(hào)”較小的是()A.周期B.角速度C.線速度D.向心加速度答案A解析設(shè)地球質(zhì)量為M,人造衛(wèi)星質(zhì)量為m,人造衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r)=mω2r=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r=ma,得v=eq\r(\f(GM,r)),ω=eq\r(\f(GM,r3)),T=2πeq\r(\f(r3,GM)),a=eq\f(GM,r2),因?yàn)椤案叻炙奶?hào)”的軌道半徑比“高分五號(hào)”的軌道半徑大,所以A正確,B、C、D錯(cuò)誤。3.我國(guó)計(jì)劃2018年12月進(jìn)行“嫦娥四號(hào)”的發(fā)射和落月任務(wù),進(jìn)一步獲取月球的相關(guān)數(shù)據(jù)。假設(shè)該衛(wèi)星在月球上空繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),經(jīng)過(guò)時(shí)間t,衛(wèi)星行程為s,衛(wèi)星與月球中心連線掃過(guò)的角度是θ,萬(wàn)有引力常量為G,月球半徑為R,則可推知月球密度的表達(dá)式是()A.eq\f(3t2θ,4πGs3R3)B.eq\f(3s3,4θπGt2R3)C.eq\f(4θπR3Gt2,3s3)D.eq\f(4πR3Gs3,3θt2)答案B解析經(jīng)過(guò)時(shí)間t衛(wèi)星行程為s,劃過(guò)弧對(duì)應(yīng)角度為θ,所以衛(wèi)星的線速度v=eq\f(s,t),角速度ω=eq\f(θ,t),衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為r=eq\f(v,ω)=eq\f(s,θ),萬(wàn)有引力提供向心力,Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r),得M=eq\f(s3,Gt2θ),月球密度ρ=eq\f(M,V)=eq\f(s3,Gt2θ)·eq\f(1,\f(4,3)πR3)=eq\f(3s3,4θπGt2R3),故B項(xiàng)正確。4.(2016·四川高考)國(guó)務(wù)院批復(fù),自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國(guó)航天日”。1970年4月24日我國(guó)首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號(hào),目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行,其軌道近地點(diǎn)高度約為440km,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為2060km;1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35786km的地球同步軌道上。設(shè)東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1,東方紅二號(hào)的加速度為a2,固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3,則a1、a2、a3的大小關(guān)系為()A.a(chǎn)2>a1>a3B.a(chǎn)3>a2>a1C.a(chǎn)3>a1>a2D.a(chǎn)1>a2>a3答案D解析對(duì)于東方紅一號(hào)與東方紅二號(hào),由Geq\f(Mm,r2)=ma得:a=eq\f(GM,r2),由此式可知a1>a2。對(duì)于地球同步衛(wèi)星東方紅二號(hào)和地球赤道上的物體,角速度相同,由a=ω2r可知,半徑大的加速度大即a2>a3。綜上可知,a1>a2>a3,故D正確。5.(2018·銀川一中第一次模擬)我國(guó)預(yù)計(jì)于2019年發(fā)射“嫦娥五號(hào)”探月衛(wèi)星,計(jì)劃執(zhí)行月面取樣返回任務(wù)。“嫦娥五號(hào)”從月球返回地球的過(guò)程可以簡(jiǎn)單分成四步,如圖所示,第一步將“嫦娥五號(hào)”發(fā)射至月球表面附近的環(huán)月圓軌道Ⅰ,第二步在環(huán)月軌道的A處進(jìn)行變軌進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ,第三步當(dāng)接近地球表面附近時(shí),又一次變軌,從B點(diǎn)進(jìn)入繞地圓軌道Ⅲ,第四步再次變軌道后降落至地面,下列說(shuō)法正確的是()A.將“嫦娥五號(hào)”發(fā)射至軌道Ⅰ時(shí)所需的發(fā)射速度為7.9km/sB.“嫦娥五號(hào)”從環(huán)月軌道Ⅰ進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ需要加速C.“嫦娥五號(hào)”從A沿月地轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ到達(dá)B點(diǎn)的過(guò)程中其動(dòng)能一直增加D.“嫦娥五號(hào)”在第四步變軌時(shí)需要加速答案B解析因v=eq\r(gR),知月球上g月<g地,R月<R地,所以月球的第一宇宙速度比地球的要小,故A錯(cuò)誤;“嫦娥五號(hào)”從軌道Ⅰ進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ是離心運(yùn)動(dòng),所以需要加速,所以B正確;剛開始的時(shí)候月球?qū)Α版隙鹞逄?hào)”的引力大于地球?qū)Α版隙鹞逄?hào)”的引力,所以動(dòng)能要減小,之后當(dāng)?shù)厍虻囊Υ笥谠虑虻囊r(shí),衛(wèi)星的動(dòng)能就開始增加,故C錯(cuò)誤;“嫦娥五號(hào)”第四步變軌為向心運(yùn)動(dòng),需要減速,故D錯(cuò)誤。6.(2016·天津高考)我國(guó)即將發(fā)射“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室,之后發(fā)射“神舟十一號(hào)”飛船與“天宮二號(hào)”對(duì)接。假設(shè)“天宮二號(hào)”與“神舟十一號(hào)”都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),為了實(shí)現(xiàn)飛船與空間實(shí)驗(yàn)室的對(duì)接,下列措施可行的是()A.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行,然后飛船加速追上空間實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)對(duì)接B.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行,然后空間實(shí)驗(yàn)室減速等待飛船實(shí)現(xiàn)對(duì)接C.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室,兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接D.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室,兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接答案C解析對(duì)于繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的人造天體,由eq\f(GMm,r2)=meq\f(v2,r),有v=eq\r(\f(GM,r))∝eq\f(1,\r(r)),可見v與r是一一對(duì)應(yīng)的。在同一軌道上運(yùn)行速度相同,不能對(duì)接;而從同一軌道上加速或減速時(shí)由于發(fā)生變軌,二者不再處于同一軌道上,亦不能對(duì)接,A、B錯(cuò)誤。飛船處于半徑較小的軌道上,要實(shí)現(xiàn)對(duì)接,需增大飛船的軌道半徑,當(dāng)飛船加速時(shí),飛船所需的向心力大于提供的向心力,飛船做離心運(yùn)動(dòng),則軌道半徑變大,同理,當(dāng)飛船減速時(shí),軌道半徑變小,故C正確,D錯(cuò)誤。7.(2018·福建4月質(zhì)檢)位于貴州的“中國(guó)天眼”(FAST)是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠(yuǎn)鏡。通過(guò)FAST測(cè)得水星與太陽(yáng)的視角為θ(水星、太陽(yáng)分別與觀察者的連線所夾的角),如圖所示。若最大視角的正弦值為k,地球和水星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng),則水星的公轉(zhuǎn)周期為()A.eq\r(3,k2)年B.eq\r(\f(1,k3))年C.eq\r(k3)年D.eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,\r(1-k2))))3)年答案C解析本題應(yīng)先理解最大視角的定義,如圖所示,連接太陽(yáng)、水星和觀察者,構(gòu)成虛線三角形,由正弦定理得eq\f(sinθ,r水)=eq\f(sinα,r地),sinα=1,即α=90°時(shí)θ最大,即此時(shí)觀察者與水星的連線應(yīng)與水星軌道相切,由三角函數(shù)可得,此時(shí)sinθ=eq\f(r水,r地)=k,由萬(wàn)有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r,解得:T=2πeq\r(\f(r3,GM)),故eq\f(T水,T地)=eq\r(\f(r\o\al(3,水),r\o\al(3,地)))=eq\r(k3)(也可以直接由開普勒第三定律得到),得T水=T地·eq\r(k3),而T地=1年,故T水=eq\r(k3)年,故選C。8.(2017·江蘇高考)“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船于2017年4月20日在文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空。與“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)接前,“天舟一號(hào)”在距地面約380km的圓軌道上飛行,則其()A.角速度小于地球自轉(zhuǎn)角速度B.線速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自轉(zhuǎn)周期D.向心加速度小于地面的重力加速度答案BCD解析由eq\f(GMm,R+h2)=m(R+h)eq\f(4π2,T2)知,周期T與軌道半徑的關(guān)系為eq\f(R+h3,T2)=k(恒量),同步衛(wèi)星的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同,但同步衛(wèi)星的軌道半徑大于“天舟一號(hào)”的軌道半徑,則“天舟一號(hào)”的周期小于同步衛(wèi)星的周期,也就小于地球的自轉(zhuǎn)周期,C正確;由ω=eq\f(2π,T)知,“天舟一號(hào)”的角速度大于地球自轉(zhuǎn)的角速度,A錯(cuò)誤;由eq\f(GMm,R+h2)=meq\f(v2,R+h)知,線速度v=eq\r(\f(GM,R+h)),而第一宇宙速度v′=eq\r(\f(GM,R)),則v<v′,B正確;設(shè)“天舟一號(hào)”的向心加速度為a,則ma=eq\f(GMm,R+h2),而mg=eq\f(GMm,R2),可知a<g,D正確。9.(2016·江蘇高考)如圖所示,兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動(dòng)能、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積。下列關(guān)系式正確的有()A.TA>TBB.EkA>EkBC.SA=SBD.eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))=eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))答案AD解析衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有eq\f(GMm,R2)=meq\f(v2,R)=mRω2=mReq\f(4π2,T2),則T=2πeq\r(\f(R3,GM))∝eq\r(R3),故TA>TB,eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))=eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B)),A、D正確;Ek=eq\f(1,2)mv2=eq\f(GMm,2R)∝eq\f(1,R),故EkA<EkB,B錯(cuò)誤;S=eq\f(1,2)ωR2=eq\f(1,2)eq\r(GMR)∝eq\r(R),故C錯(cuò)誤。10.據(jù)天文學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),月球正在以每年3.8cm的“速度”遠(yuǎn)離地球,地月之間的距離從“剛開始”的約2×104km拉大到目前的約38×104km,100萬(wàn)年前的古人類看到的月球大小是現(xiàn)在的15倍左右,隨著時(shí)間推移,月球還會(huì)“走”更遠(yuǎn),最終離開地球的“視線”,假設(shè)地球和月球的質(zhì)量不變,不考慮其他星球?qū)Α暗亍隆毕到y(tǒng)的影響,已知月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為27d(天),eq\r(19)=4.36,eq\r(15)=3.87,以下說(shuō)法正確的是()A.隨著時(shí)間的推移,月球在離開地球“視線”之前的重力勢(shì)能會(huì)緩慢增大B.月球“剛開始”環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度大小約為目前的15倍C.月球“剛開始”環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的周期約為8hD.月球目前的向心加速度約為“剛開始”的eq\f(1,225)倍答案AC解析月球在離開地球“視線”之前

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