拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其用

拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其用作者:日期:

\/拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其應(yīng)用拋物線中有一些常見(jiàn).常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題.填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問(wèn)題，在做解答題時(shí)也可迅速打開(kāi)思路結(jié)論一:若AB是拋物線y2=2pXp>0）的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）,且A(x,y)，B(x,y)，則：xx=P,yy=-p2。112212412例:已知直線AB是過(guò)拋物線’2=2px（p>0）焦點(diǎn)F,求證：11\aF求證：11\aF+\bf\為定結(jié)論二：（1）若入8是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為a,則,,2p（a#0）°（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸ABI=-sin2a的弦）最短。例：已知過(guò)拋物線y2=9x的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12，則直線AB傾斜角為—。AB傾斜角為/號(hào)。結(jié)論三:兩個(gè)相切：（1）結(jié)論三:兩個(gè)相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的與準(zhǔn)線相切。（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,以兩垂足為直徑端點(diǎn)的與焦點(diǎn)弦相切。以兩垂足為直徑端點(diǎn)的與焦點(diǎn)弦相切。例:已知入8是拋物線2y22px（p>0）的過(guò)焦點(diǎn)F的弦,求證:（1）以AB為直徑的與能物線的準(zhǔn)線相切。例:已知入8是拋物線2y2（2）分別過(guò)人.8做準(zhǔn)線的垂線，垂足^M.N,求^:以MN^直徑的與M^AB相切。

結(jié)論四：若拋物線方程為y2=2pXp>0y過(guò)(2p,0)的直線與之交于A、B兩點(diǎn),則OA±OB。反之也成立。結(jié)論五:對(duì)于拋物線x2=2py(p>0)，其參數(shù)方程為F=2p設(shè)拋物線x2=2py上動(dòng)點(diǎn)P[y=2pt2坐標(biāo)為(2pt,2pt2)，O為拋物線的頂點(diǎn)，顯然k=星①，即t的幾何意義為過(guò)拋物線Op2pt頂點(diǎn)O的動(dòng)弦OP的斜率.例直線y=2x與拋物線y2=2px(p>0)相交于原點(diǎn)和A點(diǎn)，B為拋物線上一點(diǎn),OB和OA垂直，且線段AB長(zhǎng)為5而，求P的值.解析：設(shè)點(diǎn)AB分別為(2pt2,2pt),(2pt2,2pt)，則t=工=1，t=工=—k=-2.Ak2BkOAAB的坐標(biāo)分別為、一一，p、一一，p，(8p,-4p)...|AB|=)|V13p=5而..??p=2-1.過(guò)拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是pq，則1+1=故1+1=4a】pqpq2.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于AB兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC//x軸.證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【證明:拋物線焦點(diǎn)為f]p，小設(shè)直線ab的方程為x=my+p，代入拋物線方程，得y2-2pmy-p2=0.若設(shè)A(x，y),B(x，y)，TOC\o"1-5"\h\z1122則yy=-p2.BC//x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線k=旦；12COy^1又由y2=2px，得k=七=里，故k=k，即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.】11aoxycoao

3.已知拋物線的焦點(diǎn)是mi),準(zhǔn)線方程是""2=0，求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程.【解：設(shè)P(x,y)是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義得I1寸心_1)2+("1)2整理，得2—2”虹蹌=0，此即為所求拋物線的方程.拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)是過(guò)焦點(diǎn)尸⑴)且與準(zhǔn)線疽"2=0垂直的直線，因此有對(duì)稱軸方程y=X.設(shè)對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為肱，可求得肱(_1,_1),于是線段依的中點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)是(0,0)]1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是W0)，準(zhǔn)線Z的方程是廠2》-2=0,試求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對(duì)稱軸方程為2x+y—2=0.設(shè)對(duì)稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是M，可以求得肱僅_邛設(shè)焦點(diǎn)為八則或的中點(diǎn)是A，槌5；故得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.再設(shè)用,y)是拋物線上的任一點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得L_4V+r_2V=|x-2j-2|