2021年河北省保定市第二高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021年河北省保定市第二高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè),是兩條不同的直線,,,是三個不同的平面．有下列四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則．其中錯誤命題的序號是（

）A.①④

B.①③

C.②③④

D.②③參考答案：A2.函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與x軸的交點橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到g（x）=cos（ωx+）的圖象，可將f（x）的圖象（）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由題意可得可得函數(shù)的周期為π，即=π，求得ω=2，可得f（x）=sin（2x+）．再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，可得函數(shù)的周期為π，即：=π，可得：ω=2，可得：f（x）=sin（2x+）．再由函數(shù)g（x）=cos（2x+）=sin[﹣（2x+）]=sin[2（x+）+]，故把f（x）=sin（2x+）的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)g（x）=cos（2x+）的圖象，故選：B．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3.已知集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，則M∪N=（）A．（4，+∞） B．[﹣1，4） C．（4，8） D．[﹣1，+∞）參考答案：D【考點】并集及其運算．【分析】由已知條件，利用并集定義直接求解．【解答】解：∵集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，∴M∪N={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）．故選：D．4.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意的R都有若當(dāng)時，則有（

）A．

B．C．

D．參考答案：C5.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點的運動軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A．，

B．(1，)

C．[，1)

D．[，1)參考答案：C7.已知為常數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)

()在上連續(xù)，則常數(shù)=(

)A.0

B.2

C.3

D.4參考答案：B8.若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A9.等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列．若，則＝()A．7

B．8

C．15

D．16參考答案：C10.已知函數(shù)，則它們的圖象可能是（

）參考答案：B【知識點】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系B11解析：因為二次函數(shù)g(x)的對稱軸為x=－1,所以排除A,D，又因為函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可排除C，所以選B.【思路點撥】發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)與f(x)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，則a＝____________.參考答案：略10.若動直線與函數(shù)的圖象分別交于兩點，則的最大值為

．參考答案：213.已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形的面積為__________.參考答案：6π【分析】先計算扇形的弧長，再利用扇形的面積公式可求扇形的面積．【詳解】根據(jù)扇形的弧長公式可得，根據(jù)扇形的面積公式可得，故答案為6π．【點睛】本題主要考查扇形的弧長與面積公式，正確運用公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為4，則的最小值為

.參考答案：略15.一個幾何體的三視圖及其尺寸如右圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是

cm3.

參考答案：略16.已知，則cos（30°﹣2α）的值為．參考答案：【考點】二倍角的余弦；兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】利用誘導(dǎo)公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），運算求得結(jié)果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，則cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案為．17.已知復(fù)數(shù)滿足,則=

。參考答案：答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為．設(shè)該容器的建造費用為千元．（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．

參考答案：21．解：（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知故由于因此所以建造費用因此

（II）由（I）得由于當(dāng)令所以

（1）當(dāng)時，所以是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。

（2）當(dāng)即時，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以r=2是函數(shù)y的最小值點，綜上所述，當(dāng)時，建造費用最小時當(dāng)時，建造費用最小時19.已知函數(shù)（1）求的最小正周期;（2）求的單調(diào)區(qū)間;（3）求圖象的對稱軸，對稱中心.參考答案：解析：

=

=

（1）T=π；

（2）由可得單調(diào)增區(qū)間（，

由可得單減區(qū)間；

（3）由得對稱軸為由得對稱中心為20.已知橢圓（a＞b＞0）的左焦點F1與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，橢圓E的離心率為，過點作斜率不為0的直線l，交橢圓E于A，B兩點，點，且為定值．（1）求橢圓E的方程；（2）求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo)，即橢圓左焦點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率可得長半軸長，再由b2=a2﹣c2求出短半軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由?為定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，點O到直線AB的距離d=，△OAB面積s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標(biāo)為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0

，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使?為定值，則，解得m=1或m=（舍）當(dāng)m=1時，|AB|=|y1﹣y2|=，點O到直線AB的距離d=，△OAB面積s==．∴當(dāng)t=0，△OAB面積的最大值為.21.若f（x）=其中a∈R（1）當(dāng)a=﹣2時，求函數(shù)y（x）在區(qū)間[e，e2]上的最大值；（2）當(dāng)a＞0，時，若x∈[1，+∞），f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=﹣2，x∈[e，e2]時，f（x）=x2﹣2lnx+2，求其導(dǎo)數(shù)可判函數(shù)在[e，e2]上單調(diào)遞增，進而可得其最大值；（2）分類討論可得函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為，分段令其，解之可得a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣2，x∈[e，e2]時，f（x）=x2﹣2lnx+2，∵，∴當(dāng)x∈[e，e2]時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）=x2﹣2lnx+2在[e，e2]上單調(diào)遞增，故+2=e4﹣2（2）①當(dāng)x≥e時，f（x）=x2+alnx﹣a，，∵a＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=e時，；

②當(dāng)1≤x≤e時，f（x）=x2﹣alnx+a，f′（x）=2x﹣=（x+）（x﹣），（i）當(dāng)≤1，即0＜a≤2時，f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)，當(dāng)x=1時，f（x）min=f（1）=1+a，且此時f（1）＜f（e）=e2；

（ii）當(dāng)，即2＜a≤2e2時，f（x）在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故當(dāng)x=時，，且此時f（）＜f（e）=e2；（iii）當(dāng)，即a＞2e2時，f（x）=x2﹣alnx+a在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=e時，．綜上所述，函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為由得0＜a≤2；由得無解；由得無解；

故所求a的取值范圍是（0，2]．

22.動點滿足.（1）求M點的軌跡并給出標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線l：交M點的軌跡于A，B兩點，設(shè)且，求k的取值范圍.參考答案：（1）（2）或.【分析】（1）由方程知軌跡為橢圓，進而得從而可得解；（2）由得，由直線與橢圓聯(lián)