湖南省湘潭市部分學校2022-2023學年高三上學期期末線上聯(lián)考數(shù)學試題（ 含答案 解析 ）

第1頁/共1頁2022-2023學年上學期期末考試高三數(shù)學注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得復數(shù)z，可得其共軛復數(shù)，根據(jù)模的計算可得答案.【詳解】復數(shù)，故，所以，故選：C2.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（）A. B. C.-4 D.4【答案】A【解析】【分析】作出圖形，取單位向量，從而可用分別表示出向量,再由根據(jù)平面向量基本定理即可建立關(guān)于二元一次方程組，解出，從而得出的值．【詳解】設(shè)網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，在網(wǎng)格線上取互相垂直的單位向量，如圖所示，則有，，，由，得，則，解得，∴.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將改寫成的形式，利用誘導公式和二倍角公式即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，，由二倍角公式可得；即故選：A4.在正項等比數(shù)列中...滿足=.則（）A.4 B.3 C.5 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比為正數(shù)，利用的關(guān)系求得公比的值，進而得到通項公式，然后代入已知等式=，得到關(guān)于的指數(shù)方程，求解即得.【詳解】由題意得公比，首項，∴，由，可得，解得,故選：A.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用，求得通項公式是關(guān)鍵，將通項公式代入已知等式，對左邊各項的積按照同底數(shù)的冪的乘法運算，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式化簡，是解決此題的一個小難點.5.函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；故選：D.6.北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統(tǒng)的主色包括霞光紅?迎春黃?天霽藍?長城灰?瑞雪白；間色包括天青?梅紅?竹綠?冰藍?吉柿；輔助色包括墨?金?銀.若各賽事紀念品的色彩設(shè)計要求：主色至少一種?至多兩種，間色兩種?輔助色一種，則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白?冰藍?銀色這三種顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)組合知識得出所有基本事件的總個數(shù)以及滿足條件基本事件的個數(shù)，再由古典概型概率公式求解即可.【詳解】當主色只選一種時，共有種當主色選兩種時，共有種其中，若主色只選一種時，某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白?冰藍?銀色這三種顏色的共有種；若主色選兩種時，某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白?冰藍?銀色這三種顏色的共有種；則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白?冰藍?銀色這三種顏色的概率為故選：B【點睛】本題主要考查了由古典概型概率公式計算概率，涉及了組合的應用，屬于中檔題.7.已知橢圓C：的左焦點為F，右頂點為，上、下頂點分別為，，線段的中點E和坐標原點O的連線OE與垂直，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率乘積為得的關(guān)系式，變形后可求得離心率．【詳解】由已知，，，，則，∵，∴，，即，，解得（舍去），故選：C．8.點分別是棱長為2的正方體中棱的中點，動點在正方形(包括邊界)內(nèi)運動.若面，則的長度范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，的中點F，連結(jié)，，，取EF中點O，連結(jié)，證明平面平面，從而得到P的軌跡是線段，從而得出長度范圍.【詳解】取的中點，的中點F，連結(jié)，，，取EF中點O，連結(jié)，,∵點M，N分別是棱長為2的正方體中棱BC，的中點，，,，四邊形為平行四邊形，，而在平面中，易證，∵平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面，∴平面平面，∵動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且平面AMN，∴點P的軌跡是線段EF，，，∴，∴當P與O重合時，的長度取最小值，為等腰三角形，∴在點或者點處時，此時最大，最大值為.即的長度范圍為故選：B．二、多選題（本大題共4小題，共20分）9.已知的展開式的二項式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（）A.B.展開式中各項系數(shù)的和為C.展開式中第項的系數(shù)為D.展開式中含項的系數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】由展開式的二項式系數(shù)和為求出，即可判斷A，令即可得到展開式各項系數(shù)和，從而判斷B，利用展開式的通項判斷C、D.【詳解】對于A，因為的展開式的二項式系數(shù)和為，所以，則，故A正確；對于B，令，則，所以展開式中各項系數(shù)的和為1，故B正確；對于C，因為的展開式通項為，令可得第4項的系數(shù)為，故C不正確；對于D，在選項C中的通項公式中，令，得，則，所以含項的系數(shù)為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)恒滿足B.直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.函數(shù)在上為增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)誘導公式可判斷A選項；利用正切型函數(shù)的對稱性可判斷BC選項；利用正切型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，A正確；對于B選項，函數(shù)無對稱軸，B錯；對于C選項，由可得，當時，可得，所以，點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，C對；對于D選項，當時，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，D錯.故選：AC.11.已知圓錐曲線與（，）的公共焦點為，．點M為，的一個公共點，且滿足，若圓錐曲線的離心率為，則下列說法錯誤的是（）A.的離心率為 B.的離心率為C.的漸近線方程為 D.的漸近線方程為【答案】AD【解析】【分析】不妨取點M為，第一象限的一個公共點，令根據(jù)兩曲線有公共焦點,和圓錐曲線定義得到離心率的關(guān)系.即可求出.可以判斷選項A、B；由，解得：，求出漸近線方程，可以判斷選項C、D.【詳解】不妨取點M為，第一象限的一個公共點，令則曲線的方程為,曲線的方程為.又由兩曲線有公共焦點,則,由圓錐曲線定義可得:,解得：.又，所以，可得：,整理得.因為，所以.故A錯誤；B正確；由，得：，解得：，所以漸近線方程為.故C正確，D錯誤.故選：AD12.e是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)建函數(shù)根據(jù)題意分析可得，對A、D：取特值分析判斷；對B、C：根據(jù)的單調(diào)性，分類討論分析判斷.【詳解】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當時，，則，即；當時，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當，即時，則，即；當，即時，由在時單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當，即時，顯然成立；當，即時，令，∵，當且僅當，即時等號成立，∴當時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：指對同構(gòu)的常用形式：（1）積型：，①構(gòu)造形式：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).（2）商型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】將目標式轉(zhuǎn)化為，應用柯西不等式求的取值范圍，進而可得目標式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)，，則，又，∴，當且僅當時等號成立，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為.故答案為：.14.我國古代數(shù)學名著《張丘建算經(jīng)》有“分錢問題”如下：“今有人與錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還數(shù)聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？”則分錢問題中的人數(shù)為________．【答案】195【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)系式求解即可.【詳解】解：依題意得，初次分錢時，每人所得錢數(shù)依次構(gòu)成首項為3，公差為1的等差數(shù)列，設(shè)人數(shù)為，則總錢數(shù)為，平均分時每人得100，則總錢數(shù)為，可得，解得：，即分錢問題中的人數(shù)為195．故答案為：195.15.已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線相交于兩點，點，以為直徑的圓與相交于兩點，若為線段的中點，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點坐標關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長.【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因為為線段的中點，所以的坐標為.又以為直徑的圓與相交于兩點，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2.16.已知為奇函數(shù)，若對任意，存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，再根據(jù)題意推得的關(guān)系式，結(jié)合的范圍，即可求得答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，故，即，由于,故，則，由于，故，所以，由，可得，即或，對任意，存在，滿足，故，則,，，k取負值，則只能，此時，或，則，則,綜合可得或，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分，17題為10分，18至22題為12分）17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若，的面積為，求c.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式、特殊角的正切值進行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理進行求解即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理由因為，所以，所以由，因為，所以【小問2詳解】因為，的面積為，所以有，舍去，即，所以.18.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，通項公式（2）設(shè)數(shù)列中滿足，求和【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件利用等差等比數(shù)列的通項公式列方程可得公差，公比，進而可得通項公式；（2）由（1）得數(shù)列的通項公式，然后利用分組分解法可求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，，，解得，，即，；【小問2詳解】由（1）得，.19.如圖，用四類不同的元件連接成系統(tǒng)，當元件正常工作且元件都正常工作，或當元件正常工作且元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知元件正常工作的概率依次為.（1）求元件不正常工作的概率；（2）求元件都正常工作概率；（3）求系統(tǒng)正常工作的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）元件不正常工作是元件正常工作的對立事件，所以元件不正常工作的概率為1減去正常工作的概率；（2）根據(jù)元件都正常工作是三個相互獨立事件即可計算概率；（3）系統(tǒng)正常工作可分為都正常工作和正常但不都正常工作兩種情況，概率是兩種情況的概率和.【小問1詳解】設(shè)元件正常工作為事件，元件正常工作為事件，元件正常工作為事件，元件正常工作為事件.由元件正常工作的概率，所以它不正常工作的概率；【小問2詳解】元件都正常工作的概率【小問3詳解】系統(tǒng)正常工作可分為都正常工作和正常但不都正常工作兩種情況，都正常工作的概率為，?正常但不都正常工作的概率為，所以系統(tǒng)正常工作的概率是.20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，.以AC中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M.（1）證明：M為PD的中點.（2）若二面角B-AM-C的余弦值為，求AB.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由幾何關(guān)系依次證、、平面PAD、、平面PCD、，結(jié)合即可得證（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，由向量法建立二面角B-AM-C余弦值的方程，即可求解.【小問1詳解】證明：因為AC是所作球面的直徑，所以.因為平面ABCD，平面ABCD，所以.因為，平面PAD，所以平面PAD，因為平面PAD，所以，因為平面PCD，所以平面PCD，因為平面PCD，所以.因為，所以M為PD的中點.【小問2詳解】以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則.設(shè)平面ABM的法向量為，因為，，所以令，則.設(shè)平面ACM的法向量為，因為，，所以令，得.設(shè)二面角B-AM-C為α，則，解得，即.21.已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理表示弦長，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．22.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))，若，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先對求導，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，分類討論與兩種情況，利用導數(shù)研究的圖像，再將問題轉(zhuǎn)化為大于的極大值或小于的極小值，從而得解.【小問1詳解】因為，所以，所以，當時