北京市東城區(qū)普通校2012屆高三聯(lián)考試題(數(shù)學(xué)理)

北京市東城區(qū)一般校2012屆高三3月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)（理）2012年3月命題校：65中共150分，考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合題目要求的．選出切合題目要求的一項(xiàng)填在機(jī)讀卡上。1．復(fù)數(shù)11的模為（）A．1B．2C．1D．2i222．若拋物線y22px的焦點(diǎn)與橢圓x2y21的右焦點(diǎn)重合，則p的值為（）62A．4B．2C．2D．43．定義在R上的函數(shù)f(x)在3,上為增函數(shù)，且yf(x3)為偶函數(shù)，則（）A．f(8)f(4)B．f(5)f(1)C．f(6)f(2)D．f(6)f(1)4．設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，則“向量a,b的夾角為銳角”是“函數(shù)f(x)(xab)(ax的b)圖像是一條張口向下的拋物線”的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不用要條件5．設(shè)f(n)2242721023n10(nN)，則f(n)等于（）A．2(8n1)B．2(8n11)C．2(8n31)D．2(8n41)77776．已知直線m、n與平面、，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）A.m//,n//且//，則m//n；B．m,nC．m,n//且，則mnD．m//,n

且，則mn；且，則m//n.7．函數(shù)fx1log2x與gx2x1在同向來(lái)角坐標(biāo)系下的圖象大概是（）8．設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)隨意x[a,b]，都有|f(x)g(x)|1成立，則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“親密函數(shù)”，區(qū)間[a,b]稱為“密切區(qū)間”.若f(x)x23x4與g(x)2x3在[a,b]上是“親密函數(shù)”，則其“親密區(qū)間”能夠是（）A.[1，4]B.[2，3]C.[2，4]D.[3，4]第Ⅱ卷(非選擇題，共110分)二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分。9．log2sin12log2cos的值為；1210．函數(shù)f(x)ln(x1)2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(n,n1)，則正整數(shù)n；x11．?dāng)?shù)列{an}知足anan11(nN*)，且a11，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則22S2011；12．在算式“4130”的、中，分別填入一個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個(gè)數(shù)組成的數(shù)對(duì)(、)應(yīng)為；13．若會(huì)合A{x|x24x50,xZ}，B{x|ylog0.5x3,xZ}，記x0為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則x0AB的概率等于；14．已知函數(shù)f()x(xR)，給出以下命題：x1x（1）對(duì)R，等式f(x)f(x)0恒成立；（2）函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1；（3）若x1x2，則必定有f(x1)f(x2)；（4）函數(shù)g(x)f(x)x在R上有三個(gè)零點(diǎn)．此中正確命題的序號(hào)為_(kāi)__________（把全部正確命題的序號(hào)都填上）．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。215．（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)f(x)cos(2x)sinx．（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB1，f(C)1,324且C為銳角，求sinA的值.（本小題滿分13分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD．2（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值．17．（本小題滿分13分）某城市近來(lái)出臺(tái)一項(xiàng)靈活車駕照考試的規(guī)定：每位考試者一年以內(nèi)最多有4次參加考試的時(shí)機(jī)，一旦某次考試經(jīng)過(guò)，即可領(lǐng)取駕照，不再參加此后的考試，否則就向來(lái)考到第4次為止。李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試經(jīng)過(guò)的概率挨次為0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的散布列和X的數(shù)學(xué)希望；（Ⅱ）求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率。18．（本小題滿分14分）函數(shù)f(x)x3ax2bxc，過(guò)曲線yf(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y3x1，且點(diǎn)P為切點(diǎn)；（Ⅰ）若yf(x)在x2時(shí)有極值，求f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）在（1）的條件下，求yf(x)在3,1上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,1上單一遞加，求b的取值范圍。19.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)M與點(diǎn)N(1,1)對(duì)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線1.MP與NP的斜率之積等于3(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線

MP

和

NP分別與直線

x

3交于

A,B

兩點(diǎn)，問(wèn)：能否存在點(diǎn)

P使得

PMN

與PAB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明原因。20.（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)

6x

2，數(shù)列

{an}

的前

n項(xiàng)和為

Sn，點(diǎn)

(n,Sn)(n

N)均在函數(shù)

y

f(x)的圖像上。（Ⅰ）、求數(shù)列

{an}的通項(xiàng)公式；1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得TnmN都成立（Ⅱ）、設(shè)bn對(duì)全部nanan120的最小正整數(shù)m；高三（理科）數(shù)學(xué)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題:DACA,DBCB二、填空題：9.2；10.1；11.502；12.(5,10)；13.2；314.（1）、（2）、（3）.三、解答題：15.解：(本小題滿分13分)(1)f(x)cos2xcossin2xsin1cos2x2分2331cos2x3sin2x11cos2x13sin2x.4分222222所以當(dāng)2x2k,，即xk,kZ時(shí)，f(x)獲得最大值1＋3.242f(x)的最小正周期T26分2故函數(shù)f(x)的最大值為1＋3.7分2，最小正周期為C113sinC13(2)由f()，即22，解得sinC.2442又C為銳角，所以C.9分3122由cosB求得sinB3.3sinAsin[(BC)]sin(BC)sinBcosCcosBsinC221132232232613分解：（本小題滿分13分）（I）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸成立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）2分則DQ(1,1,0),DC(0,0,1),PQ(1,1,0).所以PQDQ0,PQDC0.即PQDQ,PQDC,故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.6分（II）依題意有B(1,0,1)，CB(1,0,0),BP(1,2,1).設(shè)n(x,y,z)是平面PBC的法向量，則nCB0,即x0,2yz0.nBP0.x所以可取n(0,1,2).設(shè)m是平面PBQ的法向量，則由mBP0,同理可取m(1,1,1),mPQ0.所以cosm,n101(1)1(2)1535.5故二面角QBPC的余弦值為1513分.517解.（本小題滿分13分）(1)X的取值為1,2,3,4.2分P(X1)0.6,P(X2)(10.6)0.70.28P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.0246分∴X的散布列為：X1234P0.60.280.0960.0248分所以，E(X)10.640.0241.544.10分（2）李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為：P1(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.997613分18.（本小題滿分14分）解：（1）由f(x)x3ax2bxc得,f(x)3x22axb1分因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y3x1所以f(1)4，f'(1)332ab32ab0故ca即ca33

①②3分yf(x)在x2時(shí)有極值，故f(2)=04ab12③由①②③式聯(lián)立,解得a2,b4,c5，f(x)x32x24x55分（2）f(x)3x22axb3x24x4(3x2)(x2)6分令f'(x)0得x12,x22，由f(3),f(1),f(2),f(2)，比較大小可知f(x)33在[3,1]上最大值為13。10分（3）yf(x)在區(qū)間[2,1]上單一遞加，又f(x)3x22axb，由（1）知2ab0，f(x)3x2bxb依題意f(x)在[-2，1]上恒有f(x)0,即3x2bxb0在[-2，1]上恒成立。①當(dāng)xb1時(shí)，f(x)小f(1)3bb0，b66②當(dāng)xb2時(shí)，f(x)小f(2)122bb0，b6③當(dāng)2b1時(shí)，f(x)小12bb20，∴0≤b≤6612綜合上述議論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b≥0。14分注：轉(zhuǎn)變成b3x21在[-2，1]上恒成立，借助分別常數(shù)及均值不等式的可酌情給分。x19．（本小題滿分13分）（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A(1,1)對(duì)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B(1,1).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)y1y11由題意得1x13x化簡(jiǎn)得x23y24(x1).故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x23y24(x1)6分（II）若存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)則1|PA||PB|sinAPB1|PM||PN|sinMPN.8分22因?yàn)閟inAPBsinMPN,|PA||PN|所以||PB||PM所以|x01||3x0||3x0||x1|即(3x0)2|x021|，解得x053因?yàn)閤023y024，所以y03312分9故存在點(diǎn)PS使得PAB與PMN的面積相等，且P的坐標(biāo)為(5,33).13分39（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0),則f'(x)2axb,因?yàn)閒'(x)6x2得a3,b2f(x)3x22x┄┄┄┄┄6分因?yàn)辄c(diǎn)(n,Sn)(nN)在函數(shù)yf(x)的圖像上，所以Sn3n22n當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n22n)[