分形大自然的幾何學(xué)

分形大自然的幾何學(xué)第1頁(yè)/共62頁(yè)分形幾何產(chǎn)生的背景但在自然界中，卻存在很多“不規(guī)則”的、“不可名狀的”、“病態(tài)的”復(fù)雜的幾何對(duì)象，如山脈、云煙、波浪、樹(shù)木、閃電，以及星團(tuán)、短痕、浸潤(rùn)、沖積扇、泥裂、凍豆腐、水系、晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹(shù)冠、支氣管、星系、材料斷口、小腸絨毛、大腦皮層……第7頁(yè)/共66頁(yè)第2頁(yè)/共62頁(yè)第8頁(yè)/共66頁(yè)第3頁(yè)/共62頁(yè)第9頁(yè)/共66頁(yè)第4頁(yè)/共62頁(yè)這些對(duì)象如何描述和研究？如何用計(jì)算機(jī)來(lái)生成？用經(jīng)典幾何圖形來(lái)描述？Never！人們發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型蒼白無(wú)力！因?yàn)樗鼈儾辉倬哂形覀兯缫咽熘倪B續(xù)、光滑可微這一基本性質(zhì)了。第10頁(yè)/共66頁(yè)第5頁(yè)/共62頁(yè)分形幾何的歷史萌芽期：十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)初.Cantor集，Weierstrass函數(shù)等的提出.形成期：二十世紀(jì)六、七十年代.Mandelbrot的大量工作.1.1967年，Science,英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？

2.1975年，《分形對(duì)象：形，機(jī)遇和維數(shù)》.

分形(fractal)這個(gè)詞源于這本書(shū).它從拉丁語(yǔ)“fractus”意思是“不規(guī)則的或者斷裂的”派生來(lái)的.第11頁(yè)/共66頁(yè)第6頁(yè)/共62頁(yè)分形幾何的歷史發(fā)展期：二十世紀(jì)八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形與自相似.

給出了自相似集合的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).2.Mandelbrot,1982,《自然界的分形幾何》.3.Barnsley,1988,《Fractaleverywhere》.4.Falconer,1990,《分形幾何——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用》.第12頁(yè)/共66頁(yè)第7頁(yè)/共62頁(yè)

德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯這位分析學(xué)大師在1872年發(fā)現(xiàn)了處處連續(xù)但處處不可微分的函數(shù)：這一結(jié)果的發(fā)表曾經(jīng)使數(shù)學(xué)界為之震驚?，F(xiàn)在維爾斯特拉斯函數(shù)已有許多變形。例如：第13頁(yè)/共66頁(yè)第8頁(yè)/共62頁(yè)英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？？？測(cè)量方法：我們想象一個(gè)人沿著一段海岸線揀盡可能短的道路步行，并規(guī)定每步長(zhǎng)度不超過(guò)η

，設(shè)這樣測(cè)得的海岸線長(zhǎng)度為L(zhǎng)(η).然后重新開(kāi)始，并使他在海岸線上最長(zhǎng)的步長(zhǎng)越來(lái)越短。用一只小老鼠代替人測(cè)量。用蒼蠅代替小老鼠測(cè)量。測(cè)量結(jié)論：隨著步長(zhǎng)η越來(lái)越短，我們測(cè)量出來(lái)的海岸線長(zhǎng)度越來(lái)越長(zhǎng)。第14頁(yè)/共66頁(yè)第9頁(yè)/共62頁(yè)英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？？？第15頁(yè)/共66頁(yè)第10頁(yè)/共62頁(yè)動(dòng)力系統(tǒng)（迭代）的問(wèn)題第16頁(yè)/共66頁(yè)第11頁(yè)/共62頁(yè)Julia集第17頁(yè)/共66頁(yè)第12頁(yè)/共62頁(yè)第18頁(yè)/共66頁(yè)第13頁(yè)/共62頁(yè)Julia集第19頁(yè)/共66頁(yè)第14頁(yè)/共62頁(yè)Mandelbrot集第20頁(yè)/共66頁(yè)第15頁(yè)/共62頁(yè)

牛頓行星非線性系統(tǒng)中的分形吸引域第21頁(yè)/共66頁(yè)第16頁(yè)/共62頁(yè)分形的定義和特征

F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。分形圖不管被放大多少倍，都能看到細(xì)節(jié)具有與整體相似的結(jié)構(gòu)，這一特征非常接近于自然界中大多數(shù)的對(duì)象。F是不規(guī)則的，其整體與局部都不能用傳統(tǒng)幾何學(xué)來(lái)描述；F通常具有自相似形式(統(tǒng)計(jì)意義上的自相似)；自仿射性,即局部到整體在不同方向上存在不等比例變換；分?jǐn)?shù)維。描述自相似性的一個(gè)重要參數(shù)，為認(rèn)識(shí)世界中的復(fù)雜形態(tài)提供了一個(gè)新的尺度，在復(fù)雜性科學(xué)的研究過(guò)程中，分維是測(cè)量這些形態(tài)復(fù)雜度的一種度量，是人們對(duì)復(fù)雜性做定量分析的工具。在大多數(shù)情形下，F(xiàn)可通過(guò)簡(jiǎn)單的迭代過(guò)程產(chǎn)生。第22頁(yè)/共66頁(yè)第17頁(yè)/共62頁(yè)分形幾何的研究對(duì)象

—自相似集Cantor集Sierpinski墊片Koch曲線海岸線分形圖像壓縮分形山分形植物模擬。。。。。。第23頁(yè)/共66頁(yè)第18頁(yè)/共62頁(yè)Cantor集C第24頁(yè)/共66頁(yè)第19頁(yè)/共62頁(yè)1883年，康托爾(G.F.P.Cantor,1845-1918)構(gòu)造了三分集，也叫康托爾非連續(xù)統(tǒng)(Cantordiscontinuum)。1890年，皮亞諾(G.Peano,1858-1932)提出充滿空間的曲線——皮亞諾曲線。1891年，希爾伯特(D.Hilbert,1862-1943)在《數(shù)學(xué)年刊》(MathematischeAnnalin)上發(fā)表短文，提出了能充滿平面區(qū)域的著名的希爾伯特曲線。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯赫(H.vonKoch,1870-1924)構(gòu)造出柯赫雪花曲線。第25頁(yè)/共66頁(yè)第20頁(yè)/共62頁(yè)1915-1916年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基(W.Sierpinski,1882-1969)構(gòu)造了謝氏曲線、海綿、墓垛。謝氏地毯是平面萬(wàn)有曲線(planeuniversalcurve),謝氏海綿是空間萬(wàn)有曲線。1918-1920年左右，法國(guó)數(shù)學(xué)家朱麗亞(G.Julia,1893-1978)、法圖(P.J.L.Fatou,1878-1929)研究復(fù)迭代。朱麗亞于1918年(當(dāng)時(shí)他25歲)在《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了長(zhǎng)達(dá)199頁(yè)的杰作，一舉成名。1924年11月20日Mandelbrot生于波蘭。第26頁(yè)/共66頁(yè)第21頁(yè)/共62頁(yè)Koch曲線第27頁(yè)/共66頁(yè)第22頁(yè)/共62頁(yè)第28頁(yè)/共66頁(yè)第23頁(yè)/共62頁(yè)雪花曲線—三段Koch曲線連在一起構(gòu)成

隨機(jī)Koch曲線—對(duì)海岸線的模擬第29頁(yè)/共66頁(yè)第24頁(yè)/共62頁(yè)第30頁(yè)/共66頁(yè)第25頁(yè)/共62頁(yè)Sierpinsk墊片的生成過(guò)程第31頁(yè)/共66頁(yè)第26頁(yè)/共62頁(yè)L系統(tǒng)L系統(tǒng)是一個(gè)基于字符串的并行重寫(xiě)系統(tǒng)，其核心概念就是重寫(xiě)。“重寫(xiě)”的基本思想：通過(guò)對(duì)植物形態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)、概括和抽象，可預(yù)先定義出一系列的生長(zhǎng)規(guī)則和初始狀態(tài),根據(jù)生成規(guī)則最終得到模擬對(duì)象。第32頁(yè)/共66頁(yè)第27頁(yè)/共62頁(yè)表1字符串替換過(guò)程Tab.1stringreplacementprocess迭代次數(shù)生成規(guī)則生成結(jié)果開(kāi)始公理Q第一次Q→PP第二次P→PQPQ第三次P→PQ;Q→PPQP第四次P→PQ;Q→PPQPPQ第五次P→PQ;Q→PPQPPQPQP第六次P→PQ;Q→PPQPPQPQPPQPPQ第七次P→PQ;Q→PPQPPQPQPPQPPQPQPPQPQP第33頁(yè)/共66頁(yè)第28頁(yè)/共62頁(yè)第29頁(yè)/共62頁(yè)

三維Sierpinski金字塔三維Sierpinski海綿

3-DSierpinski3-DSierpinski第30頁(yè)/共62頁(yè)(a)(b)

單規(guī)則L系統(tǒng)模擬的植物

plantsimulationbasedonSinglerulesL-system第31頁(yè)/共62頁(yè)同一個(gè)隨機(jī)L系統(tǒng)4次產(chǎn)生的不同植物形態(tài)4differentplantmorphologygeneratedbyastochasticL-system第32頁(yè)/共62頁(yè)用微分L系統(tǒng)模擬的植物連續(xù)生長(zhǎng)過(guò)程ContinuoussimulationofplantgrowthprocessusingdL-system第33頁(yè)/共62頁(yè)

通常在所模擬對(duì)象的植物學(xué)意義較為明確的情況下，上下文相關(guān)L系統(tǒng)用來(lái)表達(dá)植物體內(nèi)部各部分之間的相互影響。以Hogeweg和Hesper應(yīng)用2L系統(tǒng)構(gòu)造的植物圖形為例：第34頁(yè)/共62頁(yè)第35頁(yè)/共62頁(yè)DLA算法第36頁(yè)/共62頁(yè)迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)

一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)由一組滿足一定條件的映射函數(shù)ωｉ及一組變換發(fā)生的概率Pi組成。可表示為IFS={(ωi,Pi),i=1,2,3…n}.對(duì)應(yīng)于每一個(gè)ωn有一個(gè)伴隨概率0<Pn<1，且ΣPn=1。壓縮映射集ωn和對(duì)應(yīng)的伴隨概率Pn確定了IFS碼。由分形空間的壓縮映射定理可知，如果獲取了某個(gè)給定圖形的IFS碼，則用較少的代碼就可以生成極為復(fù)雜的分形圖。第37頁(yè)/共62頁(yè)隨機(jī)IFS生成圖形的流程圖第38頁(yè)/共62頁(yè)

第39頁(yè)/共62頁(yè)IFS分形樹(shù)的拼貼示意圖IFS分形樹(shù)第40頁(yè)/共62頁(yè)分形樹(shù)的IFS碼IFS-codeoffractaltreeiaibicidieifipi10.195-0.490.350.440.440.250.220.4610.415-0.250.4360.250.570.23-0.055-0.070.45-0.110.60.10.254-0.0350.07-0.47-0.0220.490.5050.155-0.635000.50.8550.250.160.080.25-0.120.150.8050.70.1第41頁(yè)/共62頁(yè)Barnsley也指出，迭代函數(shù)系統(tǒng)并不僅僅用于描述分形圖形。常用于圖像的壓縮和變換。另外，用于IFS的仿射變換必須是壓縮仿射變換，IFS的保形性取決于它的收縮性。第42頁(yè)/共62頁(yè)對(duì)某一個(gè)靜態(tài)場(chǎng)景的分形壓縮第43頁(yè)/共62頁(yè)分形山第44頁(yè)/共62頁(yè)分形山第45頁(yè)/共62頁(yè)分形圖形藝術(shù)

根據(jù)非線性科學(xué)原理，通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，生成某種同時(shí)具有審美情趣和科學(xué)內(nèi)涵的圖形、動(dòng)畫(huà)，并以某種方式向觀眾演示、播放、展覽，這樣的一門(mén)藝術(shù)叫做分形圖形藝術(shù)。

科學(xué)求“真”的同時(shí)，也求“善”，也求“美”。科學(xué)家有探索真理的自由，但真理并不只是某種“符合”，科學(xué)家對(duì)社會(huì)承擔(dān)責(zé)任。科學(xué)家探索自然、社會(huì)和人生，追求簡(jiǎn)單性，追求規(guī)律之美。第46頁(yè)/共62頁(yè)第47頁(yè)/共62頁(yè)分形圖形藝術(shù)的特點(diǎn)第一，有科學(xué)內(nèi)涵，作品有內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；第二，一般采用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算；第三，畫(huà)面一般具有多重自相似結(jié)構(gòu)；第四，有后現(xiàn)代主義的風(fēng)味，一般不強(qiáng)調(diào)作品的稀缺性，美感是其第一考慮。第48頁(yè)/共62頁(yè)《性命圭旨》中的“化身五五圖”芒德勃羅集局部的一個(gè)“五五分形”過(guò)程

第49頁(yè)/共62頁(yè)第50頁(yè)/共62頁(yè)第51頁(yè)/共62頁(yè)第52頁(yè)/共62頁(yè)國(guó)王映射圖譜1994年“科學(xué)與藝術(shù)奇才”皮克歐沃(C.A.Pickover)出版了《混沌奇境：分形世界虛擬