2019版數(shù)學(xué)（文科 課標(biāo)版）題組訓(xùn)練：第十四章推理與證明（含最新模擬題） 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第十四章推理與證明題組1合情推理與演繹推理1。［2016北京，8，5分］［文］某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位:米)1。961.921。821。801.781。761。741.721.681。6030秒跳繩（單位:次）63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則()A。2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B。5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C。8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽2.[2017北京，14，5分]［文]某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（ii）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；(iii）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為.

3。［2016山東，12,5分][文］觀察下列等式:(sinπ3）-2+(sin2π3)-2=43×(sinπ5)—2+（sin2π5)-2+(sin3π5）-2+（sin4π5）-2=4（sinπ7）-2+(sin2π7)-2+(sin3π7）-2+…+（sin6π7）-2=4(sinπ9)-2+（sin2π9）-2+（sin3π9)—2+…+(sin8π9）-2=4……照此規(guī)律，(sinπ2n+1）—2+(sin2π2n+1）—2+(sin3π2n+1）—2+…4.[2015陜西,16，5分］[文]觀察下列等式1-12=1-12+13-14=1-12+13-14+15—16=……據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為.

5.［2014新課標(biāo)全國Ⅰ,14，5分][文］甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多，但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.

6。[2014福建，15，4分]若集合｛a，b，c，d}=｛1,2,3,4}，且下列四個關(guān)系:①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c,d)的個數(shù)是.

7.[2014安徽,12，5分]［文］如圖14-1，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=22。過點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為A1;過點(diǎn)A1作AC的垂線,垂足為A2;過點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，依此類推.設(shè)BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7=.

圖14-18.[2014陜西，14，5分][文]已知f（x)=x1+x,x≥0，若f1(x）=f（x），fn+1(x)=f（fn(x））,n∈N+，則f2014(x)的表達(dá)式為9。[2013湖北,17,5分][文］在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形。格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L。例如圖14—2中△ABC是格點(diǎn)三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4.圖14—2(Ⅰ)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是;

（Ⅱ)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a,b，c為常數(shù)。若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=71，L=18,則S=（用數(shù)值作答)。

題組2直接證明與間接證明10.［2017北京,20,13分］設(shè)｛an}和{bn｝是兩個等差數(shù)列，記cn=max｛b1-a1n,b2—a2n,…，bn—ann｝(n=1，2，3,…),其中max{x1,x2，…,xs｝表示x1,x2,…,xs這s個數(shù)中最大的數(shù)。(Ⅰ)若an=n，bn=2n-1，求c1,c2,c3的值，并證明｛cn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m,當(dāng)n≥m時,cnn〉M;或者存在正整數(shù)m,使得cm，cm+1，cm+211。［2016浙江,20,15分][文］設(shè)函數(shù)f(x)=x3+11+x,x∈［0，1]（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2;（Ⅱ)34〈f（x)≤312.[2013北京,20，13分］已知{an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列。該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1,an+2,…的最小值記為Bn，dn=An-Bn。（Ⅰ）若{an}為2，1，4，3,2,1，4，3,…,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，an+4=an），寫出d1,d2,d3，d4的值;（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù).證明：dn=-d(n=1，2,3,…）的充分必要條件為｛an}是公差為d的等差數(shù)列；(Ⅲ）證明：若a1=2,dn=1(n=1，2,3，…）,則｛an}的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1。A組基礎(chǔ)題1。[2018鄭州一中高三入學(xué)測試,12]數(shù)學(xué)上稱函數(shù)y=kx+b（k，b∈R，k≠0）為線性函數(shù)。對于非線性可導(dǎo)函數(shù)f（x)，在點(diǎn)x0附近一點(diǎn)x的函數(shù)值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x）≈f（x0)+f'（x0)(x—x0)。利用這一方法，m=4.001的近似代替值(A.大于mB.小于mC。等于mD。與m的大小關(guān)系無法確定2.［2018吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考，5]甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后,甲說：丙被錄用了;乙說：甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤,則下列結(jié)論正確的是（)A。丙被錄用了 B。乙被錄用了C.甲被錄用了 D。無法確定誰被錄用了3。[2017南昌市三模,4]已知13+23=(62）2,13+23+33=（122)2，13+23+33+43=（202)2，…，若13+23+33+43+…+n3=3025，則n=（A.8 B。9 C.10 D。114。[2017長春市高三第二次質(zhì)量監(jiān)測,14]將1,2,3，4，…這樣的正整數(shù)按如圖14-3所示的方式排成三角形數(shù)組，則第10行左數(shù)第10個數(shù)為.

圖14—35.[2017甘肅蘭州高考實(shí)戰(zhàn)模擬,14]觀察下列式子：1,1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…,由以上可推測出一個一般性結(jié)論:對于n∈N＊,則1+2+…+n+…+2+1=.

6.[2017鄭州市高三第三次質(zhì)量預(yù)測,13][數(shù)學(xué)文化題]中國有個名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外.”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放有縱橫兩種形式,如下表:表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示,以此類推，例如6613用算籌表示就是,則5288用算籌可表示為。

B組提升題7.［2017長沙市五月模擬，7]某班級有一個學(xué)生A在操場上繞圓形跑道逆時針方向勻速跑步,每52秒跑完一圈，在學(xué)生A開始跑步時，在教室內(nèi)有一個學(xué)生B,往操場看了一次,以后每50秒他都往操場看一次，則該學(xué)生B“感覺"到學(xué)生A的運(yùn)動是()A.逆時針方向勻速前跑 B.順時針方向勻速前跑C。順時針方向勻速后退 D.靜止不動8.[2017沈陽市高三三模,9][數(shù)學(xué)文化題］“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角"進(jìn)行高次開方運(yùn)算,而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了賈憲三角形數(shù)表,并稱之為“開方作法本源”圖.下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”.該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上"兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是()2017201620152014……654321403340314029……………11975380648060……201612816124…………362820…………A.2017×22016 B。2018×22015C。2017×22015 D.2018×220169.[2018山東省東明一中模擬,15]古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6，10，…，第n個三角形數(shù)為n2+n2，記第n個k邊形數(shù)為N（n,k）(k≥3),以下列出了部分三角形數(shù)：N（n，3)=12n2+12n；正方形數(shù):N(n，4）=n2;五邊形數(shù)：N（n，5）=32n2—12n；六邊形數(shù)：N(n，6）=2n2-n，…，由此推測N10。［2017長春市高三第四次質(zhì)量監(jiān)測，16]有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)老師張老師，期間他們做了一個游戲,張老師的生日是m月n日，張老師把m告訴了甲,把n告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日,5月5日,5月8日，8月4日，8月7日,9月4日,9月6日,9月9日?？赐耆掌诤?甲說：“我不知道，但你一定也不知道?！币衣犃思椎脑捄?說:“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了?！奔捉又f：“哦,現(xiàn)在我也知道了?！闭垎?張老師的生日是.

答案1。B由數(shù)據(jù)可知，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的8人為1～8號，所以進(jìn)入30秒跳繩決賽的6人從1～8號里產(chǎn)生。數(shù)據(jù)排序后可知3號，6號,7號必定進(jìn)入30秒跳繩決賽，則得分為63,a，60，63，a—1的5人中有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽。若1號,5號學(xué)生未進(jìn)入30秒跳繩決賽，則4號學(xué)生就會進(jìn)入決賽，與事實(shí)矛盾,所以1號，5號學(xué)生必進(jìn)入30秒跳繩決賽。故選B.2.612令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為x,y，z，且x>y>z,①若教師人數(shù)為4，則4<y〈x〈8,當(dāng)x=7時，y取得最大值6。②當(dāng)z=1時,1=z<y<x〈2,不滿足條件;當(dāng)z=2時，2=z〈y<x<4,不滿足條件;當(dāng)z=3時，3=z<y〈x〈6，y=4,x=5,滿足條件。所以該小組人數(shù)的最小值為3+4+5=12.3。43n（n+1）根據(jù)已知，歸納可得結(jié)果為43n（n+4。1-12+13—14+…+12n-1—12n=1n+1+1n+2+…+12n觀察所給等式的左右兩邊可以歸納出1-12+135。A根據(jù)甲和丙的回答推測乙沒去過B城市,又知乙沒去過C城市,故乙去過A城市。6。6因?yàn)棰僬_，②也正確，所以只有①正確是不可能的；若只有②正確，①③④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為（2,3,1,4），（3，2,1,4)；若只有③正確,①②④都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(3,1，2,4）；若只有④正確,①②③都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為（2,1，4,3),(3,1，4,2）,（4，1，3,2）。綜上,符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是6。7.14解法一直接遞推歸納:等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=22,所以AB=AC=a1=2，AA1=a2=2，A1A2=a3=1，…，A5A6=a7=a1×（22)6=解法二求通項(xiàng)：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=22,所以AB=AC=a1=2，AA1=a2=2,…，An—1An=an+1=sinπ4·an=22an=2×(22）n，故a7=2×(22）8。x1+2014x由f1(x)=x1+x?f2(x)=f（x1+x)=x1+x1+x1+x=x1+2x；又可得f3（x）=f（f29。(Ⅰ）3，1,6由定義知，四邊形DEFG由一個等腰直角三角形和一個平行四邊形構(gòu)成,其內(nèi)部格點(diǎn)有1個，邊界上格點(diǎn)有6個，S四邊形DEFG=3.(Ⅱ)79由待定系數(shù)法可得12=a故當(dāng)N=71，L=18時，S=1×71+12×18—1=7910。(Ⅰ)c1=b1—a1=1—1=0,c2=max{b1-2a1，b2—2a2｝=max{1-2×1，3—2×2}=—1，c3=max｛b1—3a1，b2-3a2,b3—3a3｝=max｛1-3×1,3-3×2，5-3×3}=-2。當(dāng)n≥3時，(bk+1-nak+1）-(bk—nak）=(bk+1-bk）—n(ak+1-ak）=2-n〈0，所以bk—nak關(guān)于k∈N*單調(diào)遞減。所以cn=max{b1-a1n，b2-a2n，…,bn—ann｝=b1-a1n=1-n。所以對任意n≥1，cn=1-n，于是cn+1-cn=-1,所以{cn}是等差數(shù)列。（Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an｝和{bn}的公差分別為d1,d2，則bk—nak=b1+(k-1）d2-［a1+(k—1）d1]n=b1—a1n+(d2—nd1)(k-1）。所以cn=b①當(dāng)d1>0時,取正整數(shù)m>d2d1,則當(dāng)n≥m時,nd1>d2,因此cn=b1此時,cm，cm+1,cm+2，…是等差數(shù)列.②當(dāng)d1=0時,對任意n≥1，cn=b1-a1n+（n—1)max{d2，0｝=b1—a1+（n—1)（max｛d2,0}—a1）.此時,c1,c2，c3,…，cn,…是等差數(shù)列。③當(dāng)d1〈0時，當(dāng)n>d2d1時,有nd1所以cnn=n（-d1)+d1-a1+d2+b≥n(-d1）+d1-a1+d2-|b1—d2|。對任意正數(shù)M，取正整數(shù)m>max{M+|b故當(dāng)n≥m時，cn11。（Ⅰ）因?yàn)?-x+x2—x3=1-(-x)41-(-x)=1-x41+x,x所以f(x)≥1-x+x2.(Ⅱ)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+1x+1≤x+1x+1=x+1x+1-32+3所以f（x）≤32由（Ⅰ)得f（x)≥1-x+x2=（x—12）2+34≥因?yàn)閒（12)=1924>34,所以f(x)綜上，34〈f（x)≤312.（Ⅰ）d1=d2=1,d3=d4=3.(Ⅱ）(充分性）因?yàn)閧an}是公差為d的等差數(shù)列,且d≥0,所以a1≤a2≤…≤an≤…,因此An=an，Bn=an+1,dn=an—an+1=—d(n=1,2,3，…）.(必要性）因?yàn)閐n=-d≤0(n=1，2，3,…），所以An=Bn+dn≤Bn,又an≤An，an+1≥Bn，所以an≤an+1,于是，An=an，Bn=an+1，因此an+1-an=Bn—An=-dn=d，即｛an}是公差為d的等差數(shù)列。(Ⅲ）因?yàn)閍1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故對任意n≥1，an≥B1=1.假設(shè)｛an｝（n≥2）中存在大于2的項(xiàng).設(shè)m為滿足am>2的最小正整數(shù),則m≥2,并且對任意1≤k〈m，ak≤2.又a1=2，所以Am-1=2,且Am=am〉2.于是,Bm=Am—dm>2-1=1，Bm-1=min｛am,Bm｝≥2。故dm—1=Am-1—Bm-1≤2—2=0，與dm—1=1矛盾。所以對于任意n≥1，有an≤2,即非負(fù)整數(shù)列{an}的各項(xiàng)只能為1或2.因?yàn)閷θ我鈔≥1,an≤2=a1，所以An=2.故Bn=An-dn=2—1=1.因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足m>n，且am=1,即數(shù)列｛an}有無窮多項(xiàng)為1。A組基礎(chǔ)題1.A依題意,取f(x)=x,則f’（x）=12x，則x≈x0+12x0（x-x0)。令x=4。001,x0=4,則4.001≈2+14×0.001，注意到(2+14×0。001）2=4+0.001+(14×0.001）2.C若乙的說法錯誤,則甲、丙的說法都正確,而兩人的說法互相矛盾，據(jù)此可得，乙的說法是正確的，即甲被錄用了。故選C.3.C13+23=(62)2=（2×32）13+23+33=(122）2=（3×42）13+23+33+43=(202)2=(4×52）…由此歸納可得13+23+33+43+…+n3=［n(n+1因?yàn)?3+23+33+43+…+n3=3025,所以[n(n+1)2］2=3025，所以n2（n+1）2=（2×55)4.91由三角形數(shù)組可推斷出，第n行共有2n-1個數(shù),且最后一個數(shù)為n2,所以第10行共19個數(shù)，最后一個數(shù)為100,左數(shù)第10個數(shù)是91。5.n2由1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4